第1讲 代数公式灵活用-2024年初升高数学衔接讲义

第1讲 代数公式灵活用 数学公式的学习与应用，是高中数学学习中的一项重要内容．在高中数学学习中，会遇到大量公式，如高中数学（基本初等函数）中的指数与对数运算公式、《三角函数》中的三角函数公式、《数列》中的数列概念及各类公式等，几乎每一章内容都有新的公式要学习．如何掌握好数学公式，并在解题中熟练地应用公式，其方法是相通的．下面我们以衔接内容中的公式学习为例，体会数学公式的学习与应用． 【知识方法】 在初中数学中有很多数学公式，高中数学中，有更多的数学公式，有些是对某一数学概念的定义，如t中，,角，，对边分别为，，，我们定义，，这类公式其实就是一个定义，只要记住公式并理解公式的意义，遇到直角三角形即可直接利用上述公式解题．更多的公式，是在代数运算中很常用且很重要的某种关系式，就把这样的一个关系式作为一个公式来掌握并可直接用于解题，这就是关系型公式，以下就是初中学过的，可以在此基础上推导出来的一组关系型公式： （1）平方差公式：； （2）完全平方公式． （3）立方和公式； （4）立方差公式； （5）三数和平方公式； （6）两数和立方公式； （7）两数差立方公式． 要灵活应用这些数学公式，首先，要理解公式中量的含义，公式所表达的关系，公式中的运算关系可通过书写，口头表达，联想记忆来熟练掌握．其实，要熟悉公式成立的条件，能熟练推到公式．另外，还要熟悉公式的变形，能顺用，逆用，变用公式．如平方差公式，反映了两数和与差即与及平方差的关系；立方和与两数和的立方公式中，都有这一式子，解题时看到类似立方和，要求能联想起这一公式．依据数学公式额水平，可以把数学公式的应用分为六种层次:能记会套用，能顺用会逆用，能退会变用，特征应用(应用公式的某部分特征式)，数形转用（能利用公式的几何意义），联想类用（看到公式类似结构能联想到公式）. 【典例讲解】 一、公式基本应用 记住公式，熟悉公式形式特征，能熟练地应用公式是公式应用的基本要求，主要体现在公式的顺用与逆用两方面 例1．（1）计算:． (2)已知，，求的值 例2．根式运算中，把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与．一般地，与，与，与互为有理化因式．其实也是平法差公式的应用，根据以上知识，求解以下问题： （1）已知，求的值． （2）比较大小（1）和；（2）和． 二、公式变形与应用 公式的应用还体现在公式的变式应用上，关键是熟悉公式各部分的特征，把公式当成一个关系式来用． ※例3．已知为正数，证明． 【实战演练】 1．选择题： （1）若是一个完全平方式，则等于（ ） A． B． C． D． （2）比较大小：_______（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 2．填空： （1）_________； （2）若，则______． 3．正数满足，求的值． 4．化简：（1）； （2）； （3）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 代数公式灵活用 数学公式的学习与应用，是高中数学学习中的一项重要内容．在高中数学学习中，会遇到大量公式，如高中数学（基本初等函数）中的指数与对数运算公式、《三角函数》中的三角函数公式、《数列》中的数列概念及各类公式等，几乎每一章内容都有新的公式要学习．如何掌握好数学公式，并在解题中熟练地应用公式，其方法是相通的．下面我们以衔接内容中的公式学习为例，体会数学公式的学习与应用． 【知识方法】 在初中数学中有很多数学公式，高中数学中，有更多的数学公式，有些是对某一数学概念的定义，如t中，,角，，对边分别为，，，我们定义，，这类公式其实就是一个定义，只要记住公式并理解公式的意义，遇到直角三角形即可直接利用上述公式解题．更多的公式，是在代数运算中很常用且很重要的某种关系式，就把这样的一个关系式作为一个公式来掌握并可直接用于解题，这就是关系型公式，以下就是初中学过的，可以在此基础上推导出来的一组关系型公式： （1）平方差公式：； （2）完全平方公式． （3）立方和公式； （4）立方差公式； （5）三数和平方公式； （6）两数和立方公式； （7）两数差立方公式． 要灵活应用这些数学公式，首先，要理解公式中量的含义，公式所表达的关系，公式中的运算关系可通过书写，口头表达，联想记忆来熟练掌握．其实，要熟悉公式成立的条件，能熟练推到公式．另外，还要熟悉公式的变形，能顺用，逆用，变用公式．如平方差公式，反映了两数和与差即与及平方差的关系；立方和与两数和的立方公式中，都有这一式子，解题时看到类似立方和，要求能联想起这一公式．依据数学公式额水平，可以把数学公式的应用分为六种层次:能记会套用，能顺用会逆用，能退会变用，特征应用(应用公式的某部分特征式)，数形转用（能利用公式的几何意义），联想类用（看到公式类似结构能联想到公式）. 【典例讲解】 一、公式基本应用 记住公式，熟悉公式形式特征，能熟练地应用公式是公式应用的基本要求，主要体现在公式的顺用与逆用两方面 例1．（1）计算:． (2)已知，，求的值 解析：（1）解法一：原式=． 解法二：原式= （2）注意到三个数的和的平方公式各部分的特征的特征，得 点评：应用公式时，要注意观察代数式的特征与公式特征的共同点，注意到（1）中公式与立方差，立方和左边特征相同，因而可用这两个公式化简；若注意到代数式刚好是两个和差式的积，因而可用平方差公式化简．（2）中则利用三数和平方公式的特征及题中各式关系，用三数和平方公式求解． 例2．根式运算中，把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与．一般地，与，与，与互为有理化因式．其实也是平法差公式的应用，根据以上知识，求解以下问题： （1）已知，求的值． （2）比较大小（1）和；（2）和． 解析：各分式分别在分子分母乘以分母的有理化因式，或同分可得解，因为 所以 (2)(1)因为， ．又 所以 （2）因为，又 所以所以. 点评：有理化因式是无理式运算的重要方法，关键是熟悉有理化因式基本形式， 二、公式变形与应用 公式的应用还体现在公式的变式应用上，关键是熟悉公式各部分的特征，把公式当成一个关系式来用． ※例3．已知为正数，证明． 解析：考虑立方和和公式与全立和公式中均有特征式子，所以，考虑先用这两个公式，但对用了立方和公式后，分解出的式子与剩下的式子关系很难找， 所以，用全立方和公式变形：得： 原式左边= = = = 接下去只要证明：，式子中有平方和特征，所以，考虑用完全平方公式：． 三式相加得： ， 所以，原式（因为为正数）． 所以，不等式得证． 点评：熟悉数学公式的形式特征、公式的运算特征以及公式的变形，是解题能顺利地联想到公式，并熟练利用公式解题的关键． 【实战演练】 1．选择题： （1）若是一个完全平方式，则等于（ ） A． B． C． D． （2）比较大小：_______（ ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 2．填空： （1）_________； （2）若，则______． 3．正数满足，求的值． 4．化简：（1）； （2）； （3）． 实战演练参考答案 1．(1)D (2)A 2．(1) (2) 3． 解：因为，又化为 得，所以 4． 解：(1)原式=； (2)原式=，因为．所以，所以，原式=； (3) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$