第10讲 点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第10讲 点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离 两点间距离公式 求两点间的距离 点到直线的距离公式 求点到直线的距离 平行线间的距离 转化为点到直线的距离 二.学法指导 1．对点到直线的距离公式的两点说明 (1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离． (2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根． 提醒：在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式． 2.对两条平行直线间的距离的两点说明 (1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)． (2)两条平行直线间的距离公式． 除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝. 三.知识点贯通 知识点一 点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0为d＝。 例题1．求点P(3，－2)到下列直线的距离： 1 y＝x＋；②y＝6；③x＝4. 知识点二 两条平行线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝。 例题2.已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 五 易错点分析 易错一 两条平行线间的距离 例题3两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B． C． D． 六、核心素养聚焦 考点一 逻辑推理-距离公式的综合应用 例题4.　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 考点二 直观想象-求距离的最大值 例题5.已知直线l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，求点M到直线l1的距离d的最大值． 考点三 数学运算-由距离求参数的范围 例题6、点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________． 练习： 一、选择题 1．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ） A． B． C． D．0 2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ） A． B． C． D． 3．点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ） A． B．2 C． D．2 4．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ） A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0 5．与直线3x＋2y－4＝0和3x＋2y＋8＝0距离相等的点的轨迹是（ ） A．直线3x＋2y＋2＝0 B．直线3x＋2y－2＝0 C．直线3x＋2y±2＝0 D．以上都不对 6．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ） A．6 B．3 C．4 D．7 7．(多选体)若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为（ ） A．3x－4y－5＝0 B．3x－4y－35＝0 C．3x－4y－23＝0 D．3x－4y－17＝0 8．（多选题）已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1 二、填空题 9．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________． 10．已知，到直线的距离相等，则实数a为________. 11．已知正方形的两边所在直线方程分别为，，则正方形的面积为________. 12．已知点P(－2,0)和直线：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，该直线过定点__________，点P到直线的距离d的最大值为____________． 三、解答题 13．求点P(3，－2)到下列直线的距离： （1）； （2）y＝6； （3）x＝4. 14．在中，已知，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 15．已知直线，． （Ⅰ）若，求，间的距离； （Ⅱ）求证：直线必过第三象限． 第10讲 例题1．求点P(3，－2)到下列直线的距离： ①y＝x＋；②y＝6；③x＝4. 【解析】①把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝. ②把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8. ③因为直线x＝4平行于y轴， 所以d＝|4－3|＝1. 例题2.已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 【解析】当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝， ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 例题3两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B． C． D． 【答案】D　 【解析】∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2. ∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0. 根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝. 例题4.　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由得正方形的中心坐标为P(－1,0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝，得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 考点二 直观想象-求距离的最大值 例题5.已知直线l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，求点M到直线l1的距离d的最大值． 【解析】直线l1：3x＋4ay―2＝0(a＞0)过定点N， 又M，∴点M到直线l1的距离d的最大值为|MN|＝＝. 考点三 数学运算-由距离求参数的范围 例题6、点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________． 【答案】a>7或a<－3 【解析】根据题意，得>3，解得a>7或a<－3. 练习： 一、选择题 1．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】 点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为， 故选：B 2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0， 又l2：9x＋12y－10＝0， 所以，由平行线间的距离公式得， 两条平行线间的距离d＝＝. 故选：C. 3．点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【详解】 点到的距离为：， 所以的最小值为． 故选：B. 4．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ） A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0 【答案】A 【详解】 当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大， 因为，所以 所以l1的方程为，即. 故选：A. 5．与直线3x＋2y－4＝0和3x＋2y＋8＝0距离相等的点的轨迹是（ ） A．直线3x＋2y＋2＝0 B．直线3x＋2y－2＝0 C．直线3x＋2y±2＝0 D．以上都不对 【答案】A 【详解】 直线平行于直线到两平行直线距离相等的点的轨迹是与两直线平行的直线， 可设该直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为， 故选：A. 6．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ） A．6 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【详解】 由直线方程变形为：， 由，解得， 所以直线恒经过定点， 故点到直线的距离是， 故选：B. 7．(多选体)若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为（ ） A．3x－4y－5＝0 B．3x－4y－35＝0 C．3x－4y－23＝0 D．3x－4y－17＝0 【答案】AB 【详解】 设l1的方程为3x－4y＋m＝0. 由题意得＝3， 解得m＝－5或m＝－35， 所以l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0． 故选：AB. 8．（多选题）已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1 【答案】BC 【详解】 A. 点M(5，0)到直线 y=x+1的距离为：，故错误； B. 点M(5，0)到直线y=2的距离为：，故正确； C. 点M(5，0)到直线的距离为：，故正确； D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为：，故错误； 故选：BC 二、填空题 9．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________． 【答案】x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 【详解】 设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 10．已知，到直线的距离相等，则实数a为________. 【答案】1或 【详解】 两点，到直线的距离相等， ，化为． ， 解得或． 故答案为：1或． 11．已知正方形的两边所在直线方程分别为，，则正方形的面积为________. 【答案】2 【详解】 由条件知两直线平行，则正方形的边长为这两条平行直线间的距离， 即边长，所以正方形的面积为2. 故答案为：2. 12．已知点P(－2,0)和直线：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，该直线过定点__________，点P到直线的距离d的最大值为____________． 【答案】 ； 【详解】直线, 化为， 令，解得， 因此直线l经过定点， 当直线时，点P到直线l的距离d有最大值： . 三、解答题 13．求点P(3，－2)到下列直线的距离： （1）； （2）y＝6； （3）x＝4. 【答案】（1）；（2）8；（3）1. 【详解】 （1）化为 到直线的距离； （2）因为直线y＝6平行于x轴， 所以P(3，－2)到直线y＝6的距离d＝|6+2|＝8.； （3）因为直线x＝4平行于y轴， P(3，－2)到直线x＝4的距离 d＝|4－3|＝1. 14．在中，已知，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1），， 边所在的直线方程为，即； （2）设到的距离为， 则， ， 方程为：即： . . 15．已知直线，． （Ⅰ）若，求，间的距离； （Ⅱ）求证：直线必过第三象限． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【详解】 （Ⅰ）若，直线，， 则有，求得，故直线即：， 故，间的距离为． （Ⅱ）证明：直线，即， 必经过直线和直线的交点，而点在第三象限， 直线必过第三象限． 学科网（北京）股份有限公司 $$