第11讲 同角三角函数关系及诱导公式-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第11讲 同角三角函数关系及诱导公式 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．角的定义 2．同角三角函数及诱导公式的相关计算 1．角的概念 (1)分类 (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 ①弧度与角度的换算：360°＝2π rad,180°＝π rad. ②弧长公式：l＝αR. ③扇形面积公式：S扇形＝lR和S扇形＝αR2. 说明：②③公式中的α必须为弧度制． 3．三角函数的概念 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)． ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)． 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数． (2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦) 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. (1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号． (2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化． (3)掌握变形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，sin2α＝，cos2α＝. 5．诱导公式 公式一 sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z 公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 公式五 sin＝cos α， cos＝sin α 公式六 sin＝cos α， cos＝－sin α (1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． (2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤： 也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”． 考点1　象限角及终边相同的角 1．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　) A．－是第二象限角 B．是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 ． 4．若角α是第二象限角，则是第 象限角． 考点2　扇形的弧长、面积公式 例1．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 练习1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 练习2．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(　　) A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米 考点3　三角函数的定义及应用 考向1　三角函数的定义 例2． (1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　) A．(2cos θ，sin θ) B．(－2cos θ，2sin θ) C．(－2cos θ，－2sin θ) D．(2cos θ，－2sin θ) (2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A． B．－ C．± D．± 考向2　三角函数值的符号 例3． (1)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．大于等于0 (3)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 练习1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 练习2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin 2θ＝(　　) A． B．－ C. D．－ 3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 考点4　同角三角函数基本关系的应用 考向1　知弦求切 例1．已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈，则tan α＝ ． 变式：若本例的条件改为“＝2，α∈”．求tan α的值． 考向2　知切求弦 例2．已知＝－1，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋sin αcos α＋2. 考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 例3．已知－π<x<0，sin x＋cos x＝，求sin x－cos x的值． 变式：本例中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值． 练习1．已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 练习2．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　) A．－ B． C． D．－ 练习3．已知曲线f (x)＝x3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则的值为 ． 考点5　诱导公式的应用 例4．(1)点A(sin 2 021°，cos 2 021°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是 ． 练习1．已知sin(π＋α)＝－，则tan＝(　　) A．2 B．－2 C． D．±2 2．已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 一题多解分析： 已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值． 练习：已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值． 1．log2的值为(　　) A．－1　 　　B．－　　 　C．　　 　D． 2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　) A．－2 B．2 C．±2 D． 3． cos2＋cos2＝(　　) A． B． C．1 D． 4．若θ∈，则等于(　　) A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ 5．已知sin＝，则cos等于(　　) A． B． C．－ D．－ 6．sin π·cos π·tan的值是 ． 7．已知点(－2，y)在角α终边上，且tan(π－α)＝2，则sin α＝ ． 8．已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α的值为 ． 9．已知cos α－sin α＝，α∈． (1)求sin αcos α的值； (2)求的值． 10．已知α是第三象限角，且cos α＝－． (1)求tan α的值； (2)化简并求的值． 1．(多选题)下列化简正确的是(　　) A．tan(π＋1)＝tan 1 B．＝cos α C．＝tan α D．＝1 2．(多选题)已知a＝＋(k∈Z)，则a的值可以为(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 3．已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝ ，cos α＝ ． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一个单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为 ． 5．在△ABC中， (1)求证：cos2＋cos2＝1. (2)若cossintan(C－π)<0， 求证：△ABC为钝角三角形． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 同角三角函数关系及诱导公式 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　象限角及终边相同的角 1．BCD　 2．C　 3．－675°或－315°　 4．一或三　 考点2　扇形的弧长、面积公式 例1．解：(1)因为α＝60°＝， 所以l＝α·R＝×10＝(cm)． (2)由题意得解得(舍去)或 故扇形的圆心角为. (3)由已知得l＋2R＝20(cm)． (方法一)S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2. (方法二)S＝lR＝l(2R)≤＝25， 当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2， 此时α＝2. 练习1．C　 练习2．B　 考点3　三角函数的定义及应用 考向1　三角函数的定义 例2． C　 (2)A 考向2　三角函数值的符号 例3． D (2)A (3)C　 练习1．D　 练习2．D　 3．A　 考点4　同角三角函数基本关系的应用 考向1　知弦求切 例1．－2　 变式：解：因为＝2，所以sin α＝2＋2cos α. 两边平方，得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α， 即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α， 整理得，5cos2α＋8cos α＋3＝0， 解得cos α＝－1或cos α＝－. 当cos α＝－1时，1＋cos α＝0，无意义； 当cos α＝－时，sin α＝，所以tan α＝＝－. 考向2　知切求弦 例2．解：由已知得tan α＝. (1)＝＝－. (2)sin2α＋sin αcos α＋2 ＝＋2 ＝＋2 ＝＋2＝. 考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 例3．解：由已知，得sin x＋cos x＝， 两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－. 因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝， 所以sin x－cos x＝±. 由－π<x<0知，sin x<0， 又sin xcos x＝－<0， 所以cos x>0.所以sin x－cos x<0. 故sin x－cos x＝－. 变式：解：因为0<x<π，2sin xcos x＝－， 所以sin x>0，cos x<0， 所以sin x－cos x>0， 故sin x－cos x＝. 练习1．D　练习2．D　练习3．　 考点5　诱导公式的应用 例4． C　(2)0　 练习1．D　2．C　 一题多解分析： 思路参考：解方程组 解：由消去cos x， 整理得(5sin x－4)2＝0. 解得sin x＝，cos x＝. 故tan x＝＝. 练习：已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值． 解：因为sin θ－2cos θ＝－，所以sin θ＝2cos θ－. 所以＋cos2θ＝1. 所以5cos2θ－cos θ－＝0， 即＝0. 又因为θ为第一象限角，所以cos θ＝， 所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝. 1．B　2．B　3．C　4．A　5． A　6．－　7．　8．－　 9．解：(1)因为cos α－sin α＝，α∈， 平方得1－2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝. (2)sin α＋cos α＝＝＝， 所以，原式＝ ＝ ＝(cos α＋sin α)＝. 10．解：(1)因为α是第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝3. (2)原式＝＝＝.将tan α＝3代入，得原式＝＝. 1．AB　2．BD　3．　　4．(2－sin 2,1－cos 2)　 5．证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 所以＝－. 所以cos＝cos＝sin. 所以cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1. (2)因为cossin·tan(C－π)<0， 所以(－sin A)(－cos B)tan C<0， 即sin Acos Btan C<0. 因为在△ABC中，0<A<π，0<B<π，0<C<π且sin A>0，则cos Btan C<0. 所以或 所以B为钝角或C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形． $$