第4章 指数函数与对数函数 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 4 第四章素养检测 刷速度 2 高中必刷题 主讲老师 1.化简 的值为( ) A A. B. C. D. 4 解析 . 故选A. 5 高中必刷题 主讲老师 2.[河北邢台部分学校2024高一联考] 设,, ，则( ) B A. B. C. D. 7 解析 因为在上单调递增,且,所以,即 . 因为在上单调递减,且,所以,即 . 因为在上单调递减,且,所以,即 , 所以 .故选B. 8 高中必刷题 主讲老师 3.已知，，且.若，那么与 在同一坐 标系内的图象可能是( ) C A. B. C. D. 10 解析 由指数函数和对数函数的单调性知, 函数与,且在 上单调性相同,可排除B,D, 再由关系式可知 , 则与 均单调递减,排除A.故选C. 11 高中必刷题 主讲老师 4.[重庆北碚区2023高一期末] 函数 的零点个数为( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 13 解析 本题转化为求函数和函数 图象的交点个数, 作出两个函数的图象,如图所示. 根据图象可得,两个函数图象交点的个数为4,所以函数 的零点个数为4.故选 C. 14 高中必刷题 主讲老师 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定： 血液中 酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝 了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到 .如果在停止喝酒以后，他血液中酒 精含量会以每小时 的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小时数为（参考数据： ， ）( ) C A.1 B.3 C.5 D.7 16 解析 设经过小时才能驾驶,则,即 . 又函数在定义域上单调递减,, 他至少要 经过5小时才能驾驶.故选C. 17 高中必刷题 主讲老师 6.设， ，则( ) D A. B. C. D. 19 解析 ,,,, . 又,故 .故选D. 20 高中必刷题 主讲老师 7.若 ，则( ) B A. B. C. D. 22 解析 ,.设 ,则原不 等式等价于.函数在上单调递增,则, ,故选 B. 23 思路导引 观察题中不等式,不等号两侧的底数对应相同,但是指数参数不相同,可以尝试移项得 ,则可构造函数,利用函数的单调性判断, 之间 的关系. 24 高中必刷题 主讲老师 8.[河南名校联盟2024高一期中联考] 已知函数是定义在 上的奇函数，且对任意 ，不等式恒成立，则实数 有( ) D A.最大值 B.最小值 C.最小值 D.最大值 26 解析 因为是定义在上的奇函数,所以,得, ,从 而由复合函数单调性可知在 上单调递增, 又是定义在 上的奇函数, 所以不等式等价于 , 即等价于 , 亦即 , 27 该不等式对任意恒成立,则不大于, 的最小值. 由复合函数单调性可知 在区间 上单调递增, 所以当时,,的最小值 , 所以 .故选D. 28 高中必刷题 主讲老师 9.[重庆第八中学2023期中] 已知正数，，满足 ，则( ) ABD A. B. C. D. 30 解析 设,,则,, , 所以 ,A正确. 因为,所以 . 因为,所以,所以 ,B正确. 因为,所以 ,D正确. 因为,所以,所以,C错误.故选 . 31 高中必刷题 主讲老师 10.设函数若函数有四个零点分别为,,, ，且 ，则下列结论正确的是( ) BCD A. B. C. D. 33 解析 画出函数 的图象,如图所示. 要想函数有四个零点,则 ,A错误； 由于当时,图象的对称轴为直线,所以 ,B正确； 当时,,所以,所以 ,C正确； 因为,所以,故,又,所以 ,函数 在上单调递增,故,D正确.故选 . 34 高中必刷题 主讲老师 11.[河北邯郸部分学校2024高一联考] 已知函数（， 为自然 对数的底数），则( ) ABC A.函数 至多有2个零点 B.当时，，总有 成立 C.函数 至少有1个零点 D.当时，方程 有3个不同实数根 36 解析 对于A选项,令,可得,令,得,可得 , 故当时,函数有2个零点,所以函数 至多有2个零点,A正确. 对于B选项,当时,函数在 上单调递增, 函数在上单调递增,且 , 所以当时,函数在 上为增函数, 故当时,,不妨设,则,则 ,B正确. 对于C选项,当时,函数在上无零点,在上有唯一零点 ； 当时,函数 有两个零点； 当时,函数在上有唯一零点,在 上无零点. 综上所述,函数 至少有一个零点,C正确. 37 对于D选项,当时, 令,则方程为 . 当时,由可得,解得 ； 当时,由可得,解得 . 当时,由可得,即,解得 , 由可得,即,解得 ； 当时,由可得,即 ,该方程无解, 由可得,解得 . 综上所述,方程的解集为,,, , 所以当时,方程有4个不同实数根,D不正确.故选 . 38 高中必刷题 主讲老师 12.[河北保定2023高一期末] 已知且，对任意 , 且，不等式恒成立，则实数 的取值范围是_________. 解析 因为对任意, ,且,不等式 恒成立, 所以在上单调递减,因为在 , 上单调递减,由复合函数的单调性 可知 . 又由对数函数的定义域知,当 ,时, 恒成立, 可得,解得 . 综上可得,所以实数的取值范围为 . 40 高中必刷题 主讲老师 13.[四川南充高级中学2024高一月考] 已知函数，任意给定一个非零常数 ， 均有，试写出一个满足条件的解析式 _________________. （答案不唯一） 解析 设,则,所以 为奇函数, 即 . 所以由,得 , 所以,所以 应为一个奇函数, 故 ,且答案不唯一. 42 高中必刷题 主讲老师 14.如图，矩形的三个顶点，，分别在函数， ， 的图象上， 且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点 的坐标为______. 44 解析 由题中图象可知,点在函数的图象上,所以,即 . 因为点在函数 的图象上, 所以 . 因为点在函数的图象上,所以 . 又因为,,所以点的坐标为 . 45 高中必刷题 主讲老师 15.（本小题满分13分）[湖南娄底2023高一期末] 求值： （1） ； 【解】原式 . （2） . [答案] 原式 . 47 高中必刷题 主讲老师 16.（本小题满分15分）已知指数函数且的图象经过点 . （1）求及 的值； 【解】 指数函数且的图象经过点 , ,, . . （2）若，求 的取值范围. [答案] 函数在上单调递减, 不等式等价于,解得,即 的取值范围 为 . 49 高中必刷题 主讲老师 17.（本小题满分15分）[广东深圳实验中学2024高一段考] 在国家大力发展新能源汽车产业政策 影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2021年底新能源汽车保有量为1 500辆， 2022年底新能源汽车保有量为2 250辆，2023年底新能源汽车保有量为3 375辆. （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为 辆，根据以上数据，试从 ,且和,且 两种函数模型中选择一个最 恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，求出新能源汽车保有量关于 的函 数关系式； （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆，且传统能源汽车保有量每年下降 ， 若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量 将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：，， ） 51 [答案] 设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆,则有 , 令 , 即 , 化简得 , 解得 , 故从2021年底起经过9年后,即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量. 【解】由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快,因此应该选择指数模型, 应选函数模型是,且 , 由题意得解得所以 . 52 高中必刷题 主讲老师 18.（本小题满分17分）[浙江绍兴2024高一期中] 已知定义在上的函数满足：对任意 , 都有，且当时， . （1）求的值，并证明： 为奇函数； 【解】令,可得,可得 . 因为函数的定义域为 , 在等式中,令,有 , 所以,所以 为奇函数. （2）证明：函数在 上单调递增； （3）若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 54 【证明】令, , 则 , 设,则,所以 . 所以 , 即 , 所以函数在 上单调递增. 55 【解】因为 , 所以 , 又函数在上单调递增,所以,则 . 令,则,于是 , 当且仅当时, 取最大值1, 所以实数的取值范围为 . 56 高中必刷题 主讲老师 19.（本小题满分17分）[福建龙岩2024高一月考] 已知函数且 是 定义域为的奇函数，且 . （1）求的值，并判断和证明 的单调性； 【解】 函数且是定义域为的奇函数, , ,即,解得 , 代入函数,则有 , , （2）是否存在实数且，使函数在 上的最大值为0，如果存在，求出实数 所有的值；如果不存在，请说明理由. 58 ,,即,解得或 , ,, . 在 上单调递增,证明如下： 任取实数,,且 ,则 , ,,又, ,在 上单调递增. 59 [答案] , 设,则 , ,,记 , 当,即时,要使的最大值为0,则要 , 60 ,, , 在 上单调递增, , 由,得 , , 满足题意. 当,即时,要使的最大值为0,则要,且 , 由得 , 61 ①若,则,解得 , 由 , 得,由于, 不合题意； ②若,即 , 则, ,不合题意. 综上所述,只存在 满足题意. 62 $$