第4.5节 函数的应用（二） 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 4.5 4.5 函数的应用（二） 2 4.5 第4.5节综合训练 刷能力 3 高中必刷题 主讲老师 1.[吉林长春东北师大附中2024高一月考] 已知函数，下列区间中包含 零点 的区间是( ) C A. B. C. D. 5 解析 函数为减函数,由, , 可得,所以由零点存在定理可知函数的零点在区间 内.故选C. 6 高中必刷题 主讲老师 2.[浙江金华2023高一段考] 若关于的一元二次方程有实数根， ，且 ，则下列结论中错误的是( ) C A.当时，， B. C.当时， D.二次函数的图象与轴的交点坐标为和 8 解析 画出二次函数 的图象,如图所示. 当时,, 成立,故选项A正确. 根据二次函数图象的对称性可知,当时, 取得最 小值为,要使 有两个不相等的实数根,只需函数 的图象与直线有两个交点,所以 ,故选项B正确. 9 当时,根据图象可知, ,故选项C错误. 由展开得 ,根据一元二次方程根与系数的关系得 , . 所以 ,故 函数的图象与轴的交点坐标为和 ,故选项D正确. 故选C. 10 高中必刷题 主讲老师 3.[四川成都七中2024高一期中] 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶.研究发 现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量、放电时间 和放 电电流之间关系的经验公式：，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为 常数）. 某蓄电池在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为 时，放电时间为，则该蓄电池的常数 约为（参考数据：， ） ( ) B A.0.82 B.1.15 C.3.87 D.5.5 12 解析 根据题意可得两式相除可得 , 所以,可得 .故选B. 13 高中必刷题 主讲老师 4.[河北邢台部分学校2024联考] 已知定义域为的函数满足 ，且曲线 与曲线有且只有两个交点，则函数 的零点之和是( ) A A.2 B. C.4 D. 15 解析 由题意定义域为的函数满足 , 则的图象关于点 成中心对称, 函数的图象是由 的图象向右平移一个单位长度得到, 故的图象关于点 成中心对称, 又曲线与曲线 有且只有两个交点, 则这两个交点关于点 对称,故这两个交点的横坐标之和为2. 而函数的零点即为曲线与曲线 交点的横坐标, 故函数 的零点之和是2,故选A. 16 高中必刷题 主讲老师 5.已知函数在上单调递减，且关于 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 18 解析 由在上单调递减,得 ,又由 且在上单调递减,得,解得 , 所以 . 作出函数且在 上的大致图 象,如图所示. 由图象可知,在上,有且仅有一个解,故在 上, 有且仅有一个解. 当,即时,联立,即 ,则令 ,解得 ； 当,即 时,由图象可知,符合条件. 综上, .故选C. 19 高中必刷题 主讲老师 6.[重庆一中2024高一期中] 已知函数是偶函数，， 在 上的解析式为,，则与 的图象交点个数为( ) B A.104 B.100 C.52 D.50 21 解析 因为函数是偶函数,所以 , 所以的图象关于直线 对称, 令,则,得 , 所以 , 所以,所以 , 所以 是以4为周期的周期函数, 因为在上的解析式为,的图象关于直线 对称, 所以 的图象如图所示, 22 的图象关于直线对称,的值域为 . 当时,,令,得 ； 当时,,令,得 , 因为 ,由图象可知两函数图象在每个周期内有2个交点, 所以与的图象交点个数为 ,故选B. 23 高中必刷题 主讲老师 7.[江苏南通海安高级中学2024段考] 函数的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 25 解析 由已知,即 , ,即 , 令,则 . 又因为与的图象关于直线对称,的图象关于直线 对称, 所以与的图象分别与图象的交点关于直线 对称, 所以直线,即 . 因为, , 所以由零点存在定理可知 , 又,即,所以 . 26 对于A： ,A错误； 对于B： ,B错误； 对于C：因为,所以 , 所以 , 当且仅当,即时等号成立,又 , 所以 ,C正确； 对于D： , 当且仅当,即 时等号成立,不可能, 所以 ,D错误.故选C. 27 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）[安徽合肥第一中学2023学业质量检测] 某同学在研究函数 时，分 别得出下面几个结论，其中正确的结论是( ) ABC A.等式在时恒成立 B.函数的值域为 C.若，则一定有 D.方程在 上有三个根 29 解析 对于A,, ,A正确. 对于B,当时,,又, 当时, . 由A知为奇函数, 当时,,的值域为 ,B正确. 对于C,由B知,当时,,则在 上单调递增； 又为奇函数,则在上单调递增,在上单调递增, 若 ,则一定有 ,C正确. 对于D,当时,令,解得；当时,令 ,方程无解. 在上有且仅有一个解,D错误.故选 . 30 高中必刷题 主讲老师 9.已知函数的两个零点都在内，则实数 的取值范围为________. 解析 因为函数的两个零点都在 内, 所以即 解得,所以实数的取值范围为 . 32 高中必刷题 主讲老师 10.光线经过一块玻璃，强度损失 ，那么至少经过____块这样的玻璃，光线强度能减弱到原 来的以下 16 解析 由题意得经过第块玻璃后,其光线的强度变为原来的 ,由 ,可得.所以 的最小值为16,即 至少经过16块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的 以下. 34 高中必刷题 主讲老师 11.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位：， 为 环境温度，为物体初始温度， 为冷却后温度，单位：， 为常数）.假设一杯开水的初始温 度，环境温度，常数．（参考数据：， ） （1）大约经过几分钟水温降为 ？ 【解】由题意可得 ,故 大约经过水温降为 . （2）经过 水温大约降为多少？ 36 [答案] 由题意可得 , , 即 , ,,故经过 水温大约降为 . 37 高中必刷题 主讲老师 12.[山东聊城2023高一期末] 已知函数， . （1）若，恒成立，求实数 的取值范围； 【解】当时,,则 不恒成立； 当时,,恒成立,则解得 . 综上可得,若,恒成立,则实数的取值范围是 . （2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数 的取值范围. 39 [答案] 若,由,得 ,符合题意; 若,当,即时,,零点为 ,符合题 意； 当,即且 时, ,解得,或 . 又令,得,此时方程的另一根为 , 符合题意； 令,得,此时方程的另一根为 ,符 合题意. 综上,若函数在区间内恰有一个零点,则实数的取值范围是 . 40 高中必刷题 主讲老师 13.[湖南长沙雅礼中学2024高一期中] 已知为偶函数， 为奇函数，且满足 . （1）求， 的解析式； 【解】因为为偶函数,为奇函数,所以, , 由 , 得,即 , 可得 , 可得 . （2）若，且方程有三个解，求实数 的 取值范围. 42 图① [答案] 由（1）得 . 方程,即为 , 可得或 , 即或 . 43 作出函数的图象,由图①可得与 的图象有两个交点, 所以要使方程 有三个解, 则 只有一个解, 即与 的图象只有一个交点, 图② 由图②可得或 , 解得或 . 综上,实数的取值范围为, . 44 高中必刷题 主讲老师 14.[重庆部分学校2024高一联考] 已知函数 . （1）若在上的最大值为，求实数 的值； 【解】因为函数和在上单调递增,所以在 上单调递增,又因为 在上的最大值为,所以,因为,所以 . （2）证明：函数有且只有一个零点，且 . 46 【证明】当时,,所以在 上不存在零点.由（1） 得在上单调递增,且, , 所以在上有唯一零点,且 . 方法一：因为,所以, . 又,所以 , 所以, , 由于,, 所以, 又 , 所以,即 ,得证. 47 方法二：因为,所以 , 所以 , 又在上单调递减,所以 . 当时,有,所以 , 则有,即 . 因为在上单调递增,所以 , 所以 ,得证. 48 $$