专题12 一元一次方程特殊解的四种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学上学期题型全攻略（北师大版2024）

专题12 一元一次方程特殊解的四种考法 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、整数解问题】 2 【考法二、分类讨论解一元一次方程】 2 【考法三、换元法解一元一次方程】 3 【考法四、拆项法解一元一次方程】 4 【课后训练】 5 【知识点归纳】 1.方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等 2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。 如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.例：；；3m-2n=5；3m=5；6x2-12=0 2.等式的性质 1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子） 2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。 即：（此处字母可表示数字，也可表示式子） 3. 解一元一次方程的步骤： ①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。 例： 2x-3=4x-7 2x-4x=-7+3 移项 -2x=-4 合并同类项 X=2 未知数系数化为1 【考法一、整数解问题】 例．关于x的方程有正整数解，且a为正整数，则a的值是（    ） A．2 B．4 C．1或3 D．2或4 变式1．关于x的方程的解为整数，则整数m的所有可能的取值之和为 ． 变式2．关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ． 变式3．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 【考法二、分类讨论解一元一次方程】 例．解关于x的方程 变式1．解关于的方程：． 变式2．解方程：． 变式3．解关于的方程：． 【考法三、换元法解一元一次方程】 例．在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 变式1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． （1）若关于的一元一次方程与是“友好方程”，则 ． （2）若关于的一元一次方程和是“友好方程”，则关于的一元一次方程的解为 ． 变式2．已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 变式3．关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 【考法四、拆项法解一元一次方程】 例．的解为（   ） A． B． C． D． 变式1．方程的解是 ． 变式2．解方程，（1） （2） 【课后训练】 1．满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 3．若关于x的方程有无数解，则的值为 ． 4．如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 5．方程的解是 ． 6．方程的解为 ． 7．已知关于x的方程有无数多个解，求常数a、b的值． 8．解方程． 9．关于的方程，分别求为何值时，原方程： （1）有唯一解 （2）有无数多解 （3）无解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 一元一次方程特殊解的四种考法 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、整数解问题】 2 【考法二、分类讨论解一元一次方程】 4 【考法三、换元法解一元一次方程】 5 【考法四、拆项法解一元一次方程】 8 【课后训练】 10 【知识点归纳】 1.方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等 2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。 如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.例：；；3m-2n=5；3m=5；6x2-12=0 2.等式的性质 1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子） 2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。 即：（此处字母可表示数字，也可表示式子） 3. 解一元一次方程的步骤： ①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。 例： 2x-3=4x-7 2x-4x=-7+3 移项 -2x=-4 合并同类项 X=2 未知数系数化为1 【考法一、整数解问题】 例．关于x的方程有正整数解，且a为正整数，则a的值是（    ） A．2 B．4 C．1或3 D．2或4 【答案】D 【分析】此题考查的是一元一次方程的解，用a表示x，然后根据，且x为整数来解出a的值． 【详解】解：原方程，可化为， ， 由题意，且为整数， ∴，且或3， ∴或4 故选：D 变式1．关于x的方程的解为整数，则整数m的所有可能的取值之和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得或，求出m的值，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 关于x的方程的解为整数， 或， 解得m的值为4或2或5或1， 整数m的所有可能的取值之和为：， 故答案为：12． 变式2．关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解，依据方程的解为整数求得m的值是解题的关键．先解关于x的方程，求得，然后由方程的解为整数可求得m的值． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1得：． ∵方程的解为正整数， ∴，， ∴或3， ∴满足条件的所有整数m的积为． 故答案是：6． 变式3．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．正确求出，进而得到或，是解题的关键． 先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程解是正整数， ∴且为整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或10． 【考法二、分类讨论解一元一次方程】 例．解关于x的方程 【答案】当时，方程无解；当时，． 【分析】本题考查了含有字母系数的一元一次方程，解答时注意未知数的字母系数不为零时，才能未知数系数化为1． 【详解】解：原方程可化为： ， 移项，得 ， 则有， 当时， ，方程无解， 当时， 变式1．解关于的方程：． 【答案】当时，；当时，x一切实数． 【分析】本题考查了解一元一次方程，将原方程化为，分两种情况：当时；当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：， 当时，， 当时，一切实数． 变式2．解方程：． 【答案】时，；时 【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值. 【详解】解：①当时，， ，不存在； ②当时，，； ③当时，，， 的解是时，；时． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程． 变式3．解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解；当时，原方程的解为 【分析】本题考查了解方程，将方程整理为，再分两种情况：当时；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 当时，方程无解， 当时，方程的解为， 当时，原方程无解；当时，原方程的解为． 【考法三、换元法解一元一次方程】 例．在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】 本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 变式1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． （1）若关于的一元一次方程与是“友好方程”，则 ． （2）若关于的一元一次方程和是“友好方程”，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于的方程解答即可； （）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解； 【详解】解：（1）∵方程的解为， 方程的解为， 而一元一次方程与是“友好方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）方程的解为， ∵关于的一元一次方程和是“友好方程”， ∴关于的方程的解为， ∵关于的一元一次方程变形得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为：， 故答案为：． 变式2．已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令，则可化为，从而得到，继而得解． 【详解】 解：令， 则可化为， ∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴的解为， ∴，解得：， 故答案为：． 变式3．关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 【答案】2025 【分析】此题考查解一元一次方程，根据两个方程的特点得到所解方程的解为，由此求出x的值． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴方程的解是, ∴, 故答案为2025． 【考法四、拆项法解一元一次方程】 例．的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，∴，∴， 故选：． 变式1．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，乘法和解一元一次方程，根据裂项求和进行简便运算即可，将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 变式2．解方程，（1） （2） 【答案】（1）x=6；（2）. 【分析】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）先变形为，再整理得，即可解. 【详解】解：（1）方程变形为， 去分母得， 去括号合并同类项得-10x+60=0, 移项得-10x=-60,系数化为1得x=6. （2）方程变形为， ∴ ∴ ∴，∴. 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． 【课后训练】 1．满足方程的整数x有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分类讨论：，，时，分别解方程求得答案. 【详解】当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得x=，不合题意舍去； 当时，原方程为： ，得2=2，说明当时关系式恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1. 故选：C. 【点睛】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的值. 2．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 【答案】70 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系，灵活利用整体思想是关键． 由题意可得，求出即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， 即为的解是，故， ∴， 故答案为：70． 3．若关于x的方程有无数解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，再根据方程有无数解得到，据此求出，然后代值计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于x的方程有无数解， ∴关于x的方程有无数解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，再由关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，得到当时，关于k的方程有无数解，则，据此求出m、n的值，再代值计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： ∵关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先把方程化成即可求解，解题关键是灵活应用，对方程转换． 【详解】解：原方程变为：， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 6．方程的解为 ． 【答案】或 【分析】由绝对值的性质可得出，从而可分类讨论：①当时和②当时，再根据方程有意义可得出x的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴； 分类讨论：①当时， ∵方程有意义， ∴， 解得：， ∴， ∴ 解得，，舍去； ②当时， ∵方程有意义， ∴， 解得：， ∴，即或， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关键． 7．已知关于x的方程有无数多个解，求常数a、b的值． 【答案】， 【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得的值，进而得出b的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得： 解得：， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 8．解方程． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键，先移项，将最简公分母较小，易于通分的整式放在一起，再通分计算，即得答案． 【详解】移项得， 通分得， ， ， 解得． 9．关于的方程，分别求为何值时，原方程： （1）有唯一解 （2）有无数多解 （3）无解 【答案】（1）m≠3时方程有唯一解； （2）当m=3,n=-4时方程有无数多解； （3）当m=3, n≠-4时方程无解． 【分析】方程ax=b的解有三种情况：当a=0,b≠0方程无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解.根据以上三条可解本题. 【详解】解： ， （3-m）x=n+4， （1）当3-m≠0时，即m≠3时方程有唯一解； （2）当3-m=0且n+4=0时，即m=3,n=-4时方程有无数多解； （3）当3-m=0且n+4≠0时，即m=3, n≠-4时方程无解． 【点睛】本题考查了一元一次方程三种解的情况，熟知当a=0,b≠0方程ax=b无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解是解此题的关键． 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