专题11 动角问题压轴题的三种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学上学期题型全攻略（北师大版2024）

专题11 动角问题压轴题的四种考法 目录 【考法一、求角度问题】 1 【考法二、角度之间的数量关系问题】 12 【考法三、定值问题】 21 【考法四、角度旋转问题】 30 【课后训练】 38 【考法一、求角度问题】 例．特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移 （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究 （）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 【答案】（）线段的长度不会发生变化，理由见解析； （）；，理由见解析； （）． 【分析】（）由线段中点得到，再根据线段的和差关系即可求解； （）由角平分线得到，再根据角的和差关系即可求解； ．根据的方法即可求解； （）根据，代入已知条件即可求解； 本题考查了线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：（）线段的长度不会发生变化， ∵、分别是的中点， ，， ， ，， ， ， ； （）∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ， 理由：和分别平分和， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 即； （）， ， ， ， ， ， ． 变式1．综合与探究 特例感知： （1）如图，线段，为线段上的一个动点，，分别是，的中点．若，则线段的长为________cm； 知识迁移： （2）①如图，是直线上一点，平分，平分，请直接写出的度数为________； ②如图，，射线在内部，平分，平分，求的度数； ③观察①，②的条件与计算结果，直接写出你发现的结论：________； 拓展探究： （3）若，射线在的外部，平分（小于平角），平分（小于平角），直接写出的度数为________． 【答案】（1）10；（2）①，②，③；（3）或 【分析】本题主要考查角的计算、角平分线和线段的中点的定义，解题的关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的定义和角之间的和差关系． （1）由，，即可推出，然后根据点、分别是和的中点，即可推出，，即可推出的长度； （2）①由角平分线的性质，可得，，，可得，进而可得的值； ②由角平分线的性质，可得，，，可得，进而可得的值； ③观察①，②的条件与计算结果，写出结论即可； （3）分两种情形：如图3作，平分，平分，可得，；令，，则，，，，即，进而可得．如图4中，同法可求． 【详解】（1），， ， 又点，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：10； （2）①平分，平分， ，， ， ， ， ； 故答案为：； ②平分，平分， ，， ， ， ， ； ③观察①，②的条件与计算结果，直接写出你发现的结论：； 故答案为：； （3）如图3所示， 平分，平分， ，， 令，， 则，， ， ， ， ， ． 如图4中， ． 故答案为：或． 变式2．阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 【答案】(1)16 (2)①；② (3) 【分析】（1）由点C和点D分别是的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）①由和分别平分和，得，，从而，进而解决此题； ②与①同理求解即可； （3）由可得，，，所以，根据可得结论． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：16． （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴ ． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 变式3．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． 若，则线段______； 若，则线段______． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图所示，，，且，，请直接写出______（用含的式子表示） 【答案】（1）7，7；（2）；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）利用求解即可；利用求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先求出，，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）点D，E分别是和的中点，，， ，， ， ， 点D，E分别是和的中点，，， ，， ， ， （2）射线平分，射线平分， ，， ， ， 即度数为； （3），， ，， ，， ， 即的度数为． 变式4．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】 解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米， 厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 【考法二、角度之间的数量关系问题】 例．【问题初探】 （1）数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点C在线段上，点D在线段的延长线上，若，，点E是线段的中点．探究与之间的数量关系，并说明理由． ①小聪同学先用刻度尺测量与的长度，猜测两线段的关系是，然后举一个具体数值验证猜测．他假设，依次求出了、、的长．小聪最后得出． ②小慧同学则说：小聪的做法有道理，但只是猜测，验证也只适合的情况，不具有普遍性，不能作为说理的依据．可以设，用含a的式子表示出的长，进而得到与之间的数量关系． 请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程． 【类比分析】 （2）通过小慧的做法，李老师与同学们总结出：用字母表示一个基本量，把其它相关的量（线段、的长度）用含这个字母a的式子表示，就能发现一些量与量之间的数量关系（与之间的数量关系）．为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答． 如图2，，射线在内部，将射线绕O点逆时针旋转得到射线（即），平分．探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，点O是直线上一点，射线在直线上方，且，射线，，与射线位于直线的同侧，与互补，平分．请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析； （3）①，②，③ 【分析】本题主要考查线段之间的关系和角度之间的关系、线段中点和角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）设，得，根据线段中点求得以及，即可得到答案； （2）设，得到以及，根据角平分线性质得到，即可得到答案； （3）分类讨论将所有的可能列举出，并应用角平分线定义和角度的和差关系求解． 【详解】解：（1）设，则， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 则． （2）．理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 则． （3）①，如图 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ③，如图， ∵，， ∴，∴， ∵平分，∴， ∴； 变式1．【问题背景】已知，O是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见详解 【分析】（1）先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数． （2）先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来． （3）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据即可得出与的关系． 本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）且， ． ∵平分， ， ． （2），且， ． ∵平分， ， ． （3），理由如下： ， ． ∵平分， ， ． 变式2．如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图． 运动停止时，直接写出______； 请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)；(2)小田的发现是正确的，这个定值是； (3)；当时，；当时，． 【分析】（）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； 由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 本题考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． 【详解】（1）如图， ∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）小田的发现是正确的，这个定值是，理由，如图， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； （3）如图，∵，∴，， 设运动时间为，则，则， 运动停止时，即时，如图，旋转的角度为， ∴，故答案为：； 当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 变式3．直线相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过） (1)若， ①将绕点旋转至图①的位置，，______． ②将绕点旋转至图②的位置，与有怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与的数量关系． 【答案】(1)①75；②，理由见解析 (2)或；或 【分析】（1）①根据，可得，再由，可得，然后根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据，可得，从而得到，根据角平分线的定义可得，，从而得到，即可求解； （2）根据题意分四种情况讨论，然后利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 故答案为： ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵射线平分， ∴， 当均在的左侧时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当均在的右侧时，如图， ， ， ∴； 当在的左侧，在的右侧时，如图， ∵ ∴， ， ∴； 当在的上方，在的右侧时，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ， ∴． 综上所述，或；或． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差．根据题意得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【考法三、定值问题】 例．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 变式1．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒． ①当时， ； ②求当为何值时，使得； (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①；② (2)①；②不变化， 【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由，结合题意可得，从而得出，，进而求出时间； （2）①根据平分，平分，可得，则可以将整理为，进而得出答案； ②根据平分，平分，可得，，进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴秒， ∴当为秒时，； （2）①∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故答案为：； ②的度数不发生变化， 理由：平分， ∴， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． 变式2．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时． ①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①②是的角平分线，理由见解析 (2)会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，正确识图，理清角度之间的和差关系，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）①先求出的度数，角平分线，求出的度数，利用即可得出结果；②根据角度之间的和差关系，用含的式子表示出的度数，即可得出结论； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②是的角平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）发生变化，理由如下： ①当在的内部时： 由（1）可知，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴； ②当在的外部时， ， 综上：当在的内部时：， 当在的外部时， 故：的值发生变化． 变式3．（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数． （2）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转到图2所示的位置，、仍然是，的平分线．试求的度数． （3）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转，、仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，的度数会发生改变，见解析 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）结合角平分线的定义以及，进行求解即可； （2）设，则，，同法（1）进行求解即可； （3）分，和，三种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）设，则，， ∵、分别平分、， ∴， ， ∴ ； （3）的度数会发生改变． 当时， 如图，设，则，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； 当时，如图， 设，则， ∵、分别平分、， ∴， ， ∴ ， ， ∴， ∴， 当时，如图2，， 综上所述，当时，的度数会发生改变． 【考法四、角度旋转问题】 例．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒． (1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒； (2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由； (3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止． ①试用字母t分别表示与； ②在旋转的过程中，当t为何值时平分． 【答案】(1)9 (2)，仍成立．理由见解析 (3)①，，②秒 【分析】（1）绕过的角度为，据此除以旋转速度，即可作答； （2）、在直线的异侧，用很含式子表示出与，即可作答；、在直线的右侧，同理可证明； （3）①根据题意直接列式即可；②若平分，则有，根据①的结果列式：，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意可知：（秒）， 故答案为：9； （2）∵，，，， 、在直线的异侧，如图2所示， ∵，， ∴， ∴即， 、在直线的右侧，仍成立． 理由如下： 如图3所示，∵，， ∴； （3）当三角板旋转的同时，另一个三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ①当旋转t秒时，，, ∴． ②若平分， 则有， 根据①的结果列式：， 解得：． 答：在旋转的过程中，当t为秒时，平分． 【点睛】本题考查三角形综合题、三角形板中的角度的计算、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 变式1．如图，平面上顺时针排列射线，，，，，为钝角，且，射线，分别平分，． (1)如图1，若，求和的度数； (2)如图2，当的大小发生改变时，和之间是否存在着固定的等量关系？如果存在，求出他们之间的等量关系；如果不存在，说明理由； (3)在（1）的条件下，与重合的（，的对应边分别是，）绕点以每秒的速度顺时针旋转，与此同时与重合的（，的对应边分别是，）绕点顺时针以每秒的速度旋转．则第一次在内部时持续了______秒（直接写出结果即可）． 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2)存在等量关系，等量关系为： (3)4 【分析】（1）设，则，由，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可以得出、的度数，再结合平分，即可求出的度数； （2）假设存在，设，则，分别用含的代数式表示出、的度数，消掉即可得出结论； （3）根据（1）找出、的度数，分别求出追上的时间以及追上的时间，二者作差即可得出结论． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 即：， 解得：， ，， 平分， ， ； （2）解：假设存在， 设，则， ， ， 平分， ， ，，， ， 平分， ， 由得：， ， ， 所以存在等量关系，等量关系为：； （3）解：由（1）可得： ， ， 追上的时间为：（秒）， 追上的时间为：（秒）， （秒）， 所以第一次在内部时持续了4秒， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据圆周角等于，列出关于的一元一次方程；（2）用含的代数式表示出、的度数；（3）根据求出追上的时间以及追上的时间． 变式2．[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] (1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)是；不是 (2)①t的值为或；②的度数为或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可； （2）①由题意得：，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：，，，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； ∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：是；不是． （2）解：①由题意得：，． ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； 如图所示：当时，即：，则：，解得：， ∴； 综上，当射线位于射线左侧且射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 变式3．小明同学学习角平分线后，借助一副三角尺的运动操作探索变化过程中的不变的量． 操作1：如图1所示放置，其中，；，．分别作出、的平分线、，得到________； 操作2：将三角尺固定，三角尺绕点A以的速度逆时针旋转，当边与边重合时，此时A、D、B、M在同一条直线上，作出的平分线，如图2所示，得到________； 猜想、验证：由操作1和2，猜想图3中为一固定值，其中、分别是、的平分线，请你结合图3，说明猜想是否成立； 质疑：小明同学继续操作，在操作过程中发现当旋转到如图4所示位置时，继续作出、的平分线、，通过度量发现为另一值，求出此时的度数； 发现：三角尺固定，三角尺从图1位置开始绕点A以的速度逆时针旋转一周的过程中，只有某一时间段为另一值，请直接写出这一时间段的时长． 【答案】操作1：；操作2：；猜想、验证：成立；质疑：；发现：． 【分析】本题考查有关角平分线的动角问题，根据角度的运动及三角板角度得到相关角度，结合角平分线计算即可得到答案； 【详解】解：操作1，图1中，∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 操作2，图2中，∵，， ∴， ∵、是、的平分线，∴， ∴， 故答案为：，； 猜想：图3中，设为，则， ， ∵、是、的平分线， ∴， ， ∴； 质疑：图4中，设为，则， ， ∵、是、的平分线， ∴， ，∴， ∵，∴， ∴发现：． 【课后训练】 1．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，、分别是、的角平分线，求的度数； (2)如图2，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （2）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，，、分别是、的角平分线， ，， ； （2）解：．理由如下， ， 设，则， 设， 平分， ， ， ， ， ，则， ． 2．平面上顺时针排列射线，，，，，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于）． (1)如图，若，则___________，___________； (2)如图，探究与的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点以每秒逆时针旋转，若旋转时间为秒，当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)当时，或或或． 【分析】（1）先根据，射线平分求出，进而得到，即可求出，再根据射线平分求出，最后计算即可； （2）先由，射线平分求出，再由射线分别平分求出，最后根据计算即可． （3）先根据题意得到，，进而求出旋转前 ，再由“将绕点O以每秒的速度顺时针旋转”得到恒定，然后分类讨论即可． 【详解】（1）∵，射线平分， ∴， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为，； （2）∵，射线平分， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴度数恒定， 即恒定， 在和相遇前， ∵，射线平分， ∴， ∵，， 当时， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得：； 在和相遇后， 此时， ∵射线平分， ∴， ∵，， 当时， ∴，解得：， 当，∴，解得：， 综上：当时，或或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与角平分线有关的计算，解题的关键是读懂题意，能分类列出一元一次方程，分类讨论思想． 3．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1)；；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 4．【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．    (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角的和差倍分，角平分线的定义，第三问需分情况讨论： （1）根据角的和差关系求出，再根据角平分线的定义求出，，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，代入，可得； （3）分两种情况：当在三角形内部时，根据角的和差关系，结合可得；当在三角形外部时，根据角的和差关系，结合可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 射线分别是和的角平分线， ，， ； （2）解：射线分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 当在三角形内部时，如下图所示：    射线分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， ； 当在三角形外部时，如下图所示：    射线分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 5．如图，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，，如果将三角板移动使得直角顶点与点重合． (1)如图若，当直角三角板的边与重合时，则______； (2)如图若，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若，将直角三角板绕点转动到某个位置，若恰好平分，直接写出的度数（用含的式子表达），并画出草图． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）画出图像,结合图形即可求解； （2）分情况讨论，分别作出当在外时和当在内时的图形，结合图形逐步分析即可得出和的数量关系； （3）分别作出当在内时和当在外时的图形，根据恰好平分可得，，根据角的关系即可用来表示的度数． 【详解】（1）解：如下图所示： 此时， 故答案为：． （2）解：如图所示： 当在外时， 有， ，， ； 当在内时， ， ， ， ． 故或． （3）解：如图所示： 当在内时， 平分， ， 依图得：， ， ， ， ， 即； 当在外时， 平分， ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查的知识点是几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算，解题关键是正确分类讨论并根据图形正确推理角的关系． 6．已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． (1)如图1，当与重合时，求的度数． (2)如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由． (3)在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不会随位置的变化发生改变，见解析 (3)或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，等量代换及准确识图是解题的关键．注意使用分类讨论思想． （1）通过平分，平分，，分别求出，即可求解； （2）通过平分，平分，表示出由即可求解； （3）由（2）结合可得，分在右侧，在左侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：与重合，，平分， ． ，平分， ， ； （2）不会随位置的变化发生改变． 理由：平分， 平分， ， 故不会随位置的变化发生改变； （3）由（2）可知，，，， ， ． 如图1， 当在右侧时，． ， ． 如图2， 当在左侧时，， ， ． 综上所述，的度数为或． 7．如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数； (3)将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 【答案】(1) (2)当时，为或． (3)的值为或． 【分析】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义的理解，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）先求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）分两种情况讨论：先分别画出图形，再结合角的和差运算计算即可； （3）分情况讨论，先画出图形，再结合图形与角的和差运算建立简单方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 如图，    当时， ∴， ∴， 如图，    当时， ∴， ∴， ∴； 综上：当时，为或． （3）如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，    ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 如图，    ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 综上：的值为或． 8．（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）10（ⅱ）；（2）（ⅰ）75（ⅱ）①的值为，，②当或时，存在 【分析】（1）（ⅰ）根据线段中点，可得答案；（ⅱ）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）（ⅰ）根据平角的定义即可得到结论；（ⅱ）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为的中点 ∴． 故答案为：10； （ⅱ）存在， ①∵P的速度2，Q的速度是1， ∴， 又， ∴ ∴不是线段的中点； ②为线段的中点，得 ，解得； ③为线段的中点，得 ，解得 综上所述：或． （2）（ⅰ），， ， 故答案为：75； （ⅱ）①当平分时， ，， ， ， ， 当平分时， ， ， ； 当平分时， ， ， ， 综上所述，旋转角度的值为，，； ②当在的左侧时，则，， ， ， ； 当在的右侧时，则，， ，，， 综上所述，当或时，存在． 【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 9．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】 本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 动角问题压轴题的四种考法 目录 【考法一、求角度问题】 1 【考法二、角度之间的数量关系问题】 4 【考法三、定值问题】 7 【考法四、角度旋转问题】 9 【课后训练】 11 【考法一、求角度问题】 例．特例感知 （）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； 知识迁移 （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则__________； ②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由； 类比探究 （）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数． 变式1．综合与探究 特例感知： （1）如图，线段，为线段上的一个动点，，分别是，的中点．若，则线段的长为________cm； 知识迁移： （2）①如图，是直线上一点，平分，平分，请直接写出的度数为________； ②如图，，射线在内部，平分，平分，求的度数； ③观察①，②的条件与计算结果，直接写出你发现的结论：________； 拓展探究：（3）若，射线在的外部，平分（小于平角），平分（小于平角），直接写出的度数为________． 变式2．阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 变式3．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． 若，则线段______； 若，则线段______． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图所示，，，且，，请直接写出______（用含的式子表示） 变式4．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【考法二、角度之间的数量关系问题】 例．【问题初探】 （1）数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点C在线段上，点D在线段的延长线上，若，，点E是线段的中点．探究与之间的数量关系，并说明理由． ①小聪同学先用刻度尺测量与的长度，猜测两线段的关系是，然后举一个具体数值验证猜测．他假设，依次求出了、、的长．小聪最后得出． ②小慧同学则说：小聪的做法有道理，但只是猜测，验证也只适合的情况，不具有普遍性，不能作为说理的依据．可以设，用含a的式子表示出的长，进而得到与之间的数量关系． 请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程． 【类比分析】 （2）通过小慧的做法，李老师与同学们总结出：用字母表示一个基本量，把其它相关的量（线段、的长度）用含这个字母a的式子表示，就能发现一些量与量之间的数量关系（与之间的数量关系）．为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答． 如图2，，射线在内部，将射线绕O点逆时针旋转得到射线（即），平分．探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，点O是直线上一点，射线在直线上方，且，射线，，与射线位于直线的同侧，与互补，平分．请直接写出与之间的数量关系． 变式1．【问题背景】已知，O是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系，并说明理由． 变式2．如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图． 运动停止时，直接写出______； 请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 变式3．直线相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过） (1)若， ①将绕点旋转至图①的位置，，______． ②将绕点旋转至图②的位置，与有怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与的数量关系． 【考法三、定值问题】 例．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 变式1．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒． ①当时， ； ②求当为何值时，使得； (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数． 变式2．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时． ①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 变式3．（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数． （2）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转到图2所示的位置，、仍然是，的平分线．试求的度数． （3）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转，、仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【考法四、角度旋转问题】 例．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒． (1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒； (2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由； (3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止． ①试用字母t分别表示与； ②在旋转的过程中，当t为何值时平分． 变式1．如图，平面上顺时针排列射线，，，，，为钝角，且，射线，分别平分，． (1)如图1，若，求和的度数； (2)如图2，当的大小发生改变时，和之间是否存在着固定的等量关系？如果存在，求出他们之间的等量关系；如果不存在，说明理由； (3)在（1）的条件下，与重合的（，的对应边分别是，）绕点以每秒的速度顺时针旋转，与此同时与重合的（，的对应边分别是，）绕点顺时针以每秒的速度旋转．则第一次在内部时持续了______秒（直接写出结果即可）． 变式2．[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] (1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 变式3．小明同学学习角平分线后，借助一副三角尺的运动操作探索变化过程中的不变的量． 操作1：如图1所示放置，其中，；，．分别作出、的平分线、，得到________； 操作2：将三角尺固定，三角尺绕点A以的速度逆时针旋转，当边与边重合时，此时A、D、B、M在同一条直线上，作出的平分线，如图2所示，得到________； 猜想、验证：由操作1和2，猜想图3中为一固定值，其中、分别是、的平分线，请你结合图3，说明猜想是否成立； 质疑：小明同学继续操作，在操作过程中发现当旋转到如图4所示位置时，继续作出、的平分线、，通过度量发现为另一值，求出此时的度数； 发现：三角尺固定，三角尺从图1位置开始绕点A以的速度逆时针旋转一周的过程中，只有某一时间段为另一值，请直接写出这一时间段的时长． 【课后训练】 1．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，、分别是、的角平分线，求的度数； (2)如图2，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 2．平面上顺时针排列射线，，，，，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于）． (1)如图，若，则___________，___________； (2)如图，探究与的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点以每秒逆时针旋转，若旋转时间为秒，当时，直接写出的值． 3．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 4．【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．    (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）． 5．如图，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，，如果将三角板移动使得直角顶点与点重合． (1)如图若，当直角三角板的边与重合时，则______； (2)如图若，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若，将直角三角板绕点转动到某个位置，若恰好平分，直接写出的度数（用含的式子表达），并画出草图． 6．已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． (1)如图1，当与重合时，求的度数． (2)如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由． (3)在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 7．如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数； (3)将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 8．（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 9．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$