专题14 反比例函数中K的压轴小题专项训练（40道）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题14 反比例函数中K的压轴小题专项训练（40道） 一、填空题 1．如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，是边上一点，过作交的延长线于，．若反比例函数的图象经过点，且的面积为，则的值是 ． 3．如图，的顶点A在反比例函数的图像上，，如果四边形的面积为24，则k的值为 ． 4．如图，，分别为反比例函数上的点，连接并延长；为轴上的一点，连接并延长；，交于点．若，，且，则 ． 5．如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 6．如图， 和 都是等腰直角三角形， 过点 作 交反比例函数 于点 过点 作 于点 若 则的值为 ． 7．如图，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数的图象上，且，连接交反比例函数图象于点D，若，则k的值为 ． 8．如图，A，B为反比例函数第一象限图象上任意两点，连接并延长交反比例函数图象另一支于点C，连接交x轴于点F，交y轴于点G，连接，连接并向两侧延长分别交x轴于点E，交y轴于点D．已知，，则 ，k的值为 ． 9．如图，经过原点的直线与反比例函数（）的图象交于，两点（点在第一象限），点，，在反比例函数（）的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32．（1）连接，则的面积为 ；（2） ， ． 10．如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点，两点，若，，则 ． 11．如图，在中，，反比例函数的图象经过，两点，在直线上方作，且轴，轴，若，四边形的面积为27，则的值为 .    12．如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为6，则的值为 ．    13．如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ． 14．如图，已知在平面直角坐标系中，点P是对角线的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若的面积为30，且y轴将的面积分为，则k的值为 ．    15．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为 ．    16．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为 ，k的值为 ． 17．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过A，两点，过点作∥y轴交双曲线于点．若，则的值是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，的交点与坐标原点重合，点E是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且，的面积为15，则的值为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，轴，点、分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过、两点，为轴正半轴上一点，且，的面积为，则的值为 ． 20．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上，的延长线交x轴于点C，的延长线交y轴于点D， 已知的面积为， 则 ．    21．如图，在平面直角坐标系中，点A是第二象限内的点，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别是B和C，将矩形对折，使点A与坐标原点O重合，折痕分别与边交于点D、E，点B的对应点为点F．经过点D的双曲线恰好经过折痕的中点．若矩形的面积是，则k的值是 ；点F的坐标是 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是，则的值为 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数（）的图象于点D，若，平行四边形的面积为18，则k的值为 ． 24．新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ． 25．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 26．如图，在反比例函数图象的两支上分别取点，，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，．若四边形的面积为15，且，则 ． 27．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为 ．    29．如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为 ． 30．如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图像上一点，是轴正半轴上一点，以、为邻边作．若点及中点都在反比例函数图像上，则的值为 ． 32．如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 33．如图，在中，，，CB与y轴交于点D，，点C在反比例函数的图象上，且x轴平分，则k的值为 ． 34．如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 35．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ． 36．如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线交于点F．若，则k的值为    37．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，坐标原点在边上，反比例函数（）的图象恰好经过顶点，，并与边交于点若：，的面积为，则的值为 ． 38．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 39．如图，矩形，双曲线分别交、于F、E两点，已知，求： （1）当E为中点，则的面积为 ． （2）当，则k的值为 ． 40．如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 反比例函数中K的压轴小题专项训练（40道） 一、填空题 1．如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】9 【分析】作轴于点，与，证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值． 【详解】解：作直线轴于点，直线与， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ ，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ，， ， 设向上平移个单位， 则，则， 又点和在该比例函数图象上， ， 解得， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化平移，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识． 2．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，是边上一点，过作交的延长线于，．若反比例函数的图象经过点，且的面积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，利用得到，再利用得到，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴ ， ∵反比例函数的图象经过点， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，的顶点A在反比例函数的图像上，，如果四边形的面积为24，则k的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数图像的性质以及相似三角形的性质和判定是解题的关键． 过点A作轴于点F，设，则，，，即可得到，即，进而推出，，再根据四边形的面积为24，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点F，设， 则，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即， ∴， ∵四边形的面积为24 ∴ 解得 ∴ 故答案为：36． 4．如图，，分别为反比例函数上的点，连接并延长；为轴上的一点，连接并延长；，交于点．若，，且，则 ． 【答案】// 【分析】过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，连接并延长交的延长线于，则，，证得，则，再证明得，则，证明得，则，由此得，然后根据得，再根据得，进而得，据此可得，由此可得的值． 【详解】解：过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，连接并延长交的延长线于，如下图， ∵点，分别为反比例函数上的点， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得，， ∵轴，轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的边和的边上的高相同， ∴， ∴， ∵，的边和的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数与几何图形的关系，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 作于点，作轴于点，根据直角三角形的性质，角平分线的性质可得，可求出的值，从而求出的值，根据相似三角形的判定和性质可证，可求出点的坐标，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，且，，， ∴， 解得，，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为： ． 6．如图， 和 都是等腰直角三角形， 过点 作 交反比例函数 于点 过点 作 于点 若 则的值为 ． 【答案】6 【分析】过A点作AM⊥y轴于点M，可得四边形AMDC是矩形，即有MD=AC，AM=DC，设A点坐标为(m,n)，即，根据△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，AC=BC，DO=BD，根据A点坐标，有OM=n，DC=m，可得DO+AC=n，DO-AC=m，△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，即，，根据，可得，即有，则问题得解． 【详解】过A点作AM⊥y轴于点M，如图， 结合AC⊥BD，△BOD是等腰直角三角形，可得四边形AMDC是矩形， 即有MD=AC，AM=DC， 设A点坐标为(m,n)， ∵A点在反比例函数上， ∴，即， ∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，AC⊥BD， ∴∠ACB=90°=∠BDO，AC⊥x轴， ∴AC=BC，DO=BD， ∵A点坐标为(m,n)， ∴OM=n，DC=m， ∴DO=OM-OD=n-AC， ∴DO+AC=n，DO-AC=BD-BC=DC=m， ∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB=90°=∠BDO， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵DO-AC=m，DO+AC=n， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式等知识，根据，得到，是解答本题的关键． 7．如图，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数的图象上，且，连接交反比例函数图象于点D，若，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，可得∽，设，，可得，结合，可得，由点C、点D都在反比例函数的图象上，可求，从而可得点的坐标，则k的值即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴∽， ∴． ∵直线交x轴于点A、交y轴于点B， 令，得；令，得， ∴，， ∴，， ∴， 即； 设，， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴，即EF=2OF， ∴， ∵， ∴， 所以， ∴， ∵点C、点D都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想求出点点C、点D的坐标． 8．如图，A，B为反比例函数第一象限图象上任意两点，连接并延长交反比例函数图象另一支于点C，连接交x轴于点F，交y轴于点G，连接，连接并向两侧延长分别交x轴于点E，交y轴于点D．已知，，则 ，k的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点A作轴于M，过点B作轴于N，证明推出；设，则，推出；求出直线的解析式为，则，即可得到，同理可证，得到，则；由对称性可知，同理可得直线的解析式为，则，即可得到，再由，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于M，过点B作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴； 由对称性可知， 同理可得直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 9．如图，经过原点的直线与反比例函数（）的图象交于，两点（点在第一象限），点，，在反比例函数（）的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32．（1）连接，则的面积为 ；（2） ， ． 【答案】 12 18 【分析】（1）连接，，，延长交的延长线于，设交轴于．求出证明四边形是平行四边形，推出，可得； （2）结合（1）可知，，则，即．再证明，证明，推出，再证明，可得，进而得，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接，，，延长交的延长线于， 设交轴于． 由题意，关于原点对称， ∴，的纵坐标的绝对值相等， ∵， ∴，的纵坐标的绝对值相等， ∴，在反比例函数的图象上， ∴，关于原点对称， ∴，，共线， ∵， ∴，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， 设，则，，， ∴，∴，∴，即 则， 故，． 故答案为：12；18；． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，反比例函数值的几何意义，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，学会添加常用辅助线，构造平行线是解题的关键． 10．如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点，两点，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的图象关于直线对称，可知直线，即可求出，接着推论出，进而证明是含角的直角三角形，即可求出，代入反比例函数直接求出即可． 【详解】连接，过作于，过作于， ∵函数的图象关于直线对称， ∴， 设， 将代入， ∴，解得或， ∵， ∴， ∴，， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将代入， 可得，解得． 故答案为：. 【点睛】此题考查反比例函数的几何综合，解题关键是先根据对称性求出点坐标，然后根据菱形的性质推论出角的直角，即可分别求出三边的长，得到点坐标，最后将点的坐标代入解析式直接求解． 11．如图，在中，，反比例函数的图象经过，两点，在直线上方作，且轴，轴，若，四边形的面积为27，则的值为 .    【答案】 【分析】延长交y轴于点E，延长交x轴于点F，如图，先证明四边形是矩形，，可得，设（），则，根据，两点在上和四边形的面积为27，构建关于m、n的方程组，解方程组求出m、n，即可求解. 【详解】解：延长交y轴于点E，延长交x轴于点F，如图， ∵轴，轴， ∴轴，轴， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， 设（）， 则， ∴， ∴， ∵，两点在上，∴，整理，得①， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴，整理，得②， 联立①②解得：（负值已舍去）， ∴； 故答案为：.    【点睛】本题是反比例函数与几何综合，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形的判定和性质、一元二次方程的求解以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、构建相似三角形是解题的关键. 12．如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为6，则的值为 ．    【答案】 【分析】连接，过点E作于点F，过点C作于点G，则，证明，推出，，再证明，得，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点E作于点F，过点C作于点G，则， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∵反比例函数的图象经过上的两点C、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的斜边的中点与坐标原点重合， ∴， ∴， ∵平分， ∴，   ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，直角三角形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 13．如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ． 【答案】 【详解】利用函数的对称性质确定l2的解析式，再联立方程，通过方程跟与系数的关系求出的值． 解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x=1对称， ∴反比例函数l2为：y， ∵直线y=k2x与l2交于A，B两点， ∴， 整理得：， ∴，（根与系数的关系）， ∵A为中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系，求出函数l2的解析式是解题关键． 14．如图，已知在平面直角坐标系中，点P是对角线的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若的面积为30，且y轴将的面积分为，则k的值为 ．    【答案】4 【分析】如图所示，过点P作轴于E，过点A作轴于F，连接，设于y轴交于H，先根据反比例函数比例系数的几何意义证明，进而得到，设点P的坐标为，由平行四边形的性质可得，，再根据y轴将的面积分为证明，得到点H为的中点，则点C的横坐标为，进而求出，由此可得，解得． 【详解】解：如图所示，过点P作轴于E，过点A作轴于F，连接，设于y轴交于H， ∵点A、P都在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，   设点P的坐标为， ∵点P是对角线的中点， ∴，； ∵y轴将的面积分为， ∴， 又∵， ∴， ∴点H为的中点， 又∵点H在y轴上， ∴点C的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4．    【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为 ．    【答案】/ 【分析】根据点的坐标求出的长，从而得到是等腰直角三角形，过点作于，过点作轴于点，然后求出，再利用“”证明，从而得到，再求出的长，得到的坐标，用待定系数法即可得到答案． 【详解】解：，，， ，轴，， 是等腰直角三角形， 过点作于，过点作轴于点，    则， ， 是旋转得到的， ， ， 在和中，，， ， ，， 把代入得，， 反比例函数解析式为：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形全等的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，是解题的关键． 16．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为 ，k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，首先根据题意设出，，则，，，然后表示出，，然后利用将四边形的面积分成的两部分列方程求出，延长，交于点E，根据代入可求出k的值． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴设，， ∵点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∵将四边形的面积分成的两部分， ∴，即， ∴解得， 如图所示，延长，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得， 经检验，时原方程的解， 故答案为：，． 17．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过A，两点，过点作∥y轴交双曲线于点．若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数的中心对称性，平行线分线段成比例定理，反比例函数图像上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意正确添加辅助线，表示出各点的坐标是解题关键．过作于点，设与轴的交点为，，则，，根据反比例函数的中心对称性得到是线段的中点，从而得到，，根据三角形面积公式即可求出． 【详解】解：如图，过作于点． 设与轴的交点为，，则，， 由题意知，，即是线段的中点， ∵，， ，轴， ∴， ∴， ， ， ， ，， ， ． 故答案为： 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，的交点与坐标原点重合，点E是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且，的面积为15，则的值为 ． 【答案】10 【分析】如图，连接，过点A作于点N，过点F作于点M，再说明是的中位线，即；再根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到，即；然后再根据矩形的性质求得，进一步求得，最后根据反比例函数k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点N，过点F作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A，F在反比例函数图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于反比例函数与几何的综合题，主要考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、平行线分线段成比例，三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，轴，点、分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过、两点，为轴正半轴上一点，且，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过作轴于点，交于点，设，，，，又因为，，则，，，，利用相似得到方程组解出、关于、、的代数式，利用面积关系建立方程得到即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过作轴于点，交于点， 设，，，， ，， ，，，， ，，，， 轴，轴，轴轴， ， 又， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 的面积为， ， ， ， 将点，代入得： ， 整理可得：， 将其代入得，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定、反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是用含字母的式子表示相关点的坐标． 20．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上，的延长线交x轴于点C，的延长线交y轴于点D， 已知的面积为， 则 ．    【答案】 【分析】如图，作轴于，作于，轴于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，同理，，设，，则，证明，则，即，解得，同理可求，， 则，，，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解即可． 【详解】解：如图，作轴于，作于，轴于，    ∵是的两条外角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，同理，， 设，，∴， ∵，∴， ∴，即，解得， 同理可求，， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 整理得，，∴， 将代入得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数解析式．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A是第二象限内的点，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别是B和C，将矩形对折，使点A与坐标原点O重合，折痕分别与边交于点D、E，点B的对应点为点F．经过点D的双曲线恰好经过折痕的中点．若矩形的面积是，则k的值是 ；点F的坐标是 ． 【答案】 【分析】连接交于Q，由折叠性质可得：，，先证明得到，过点Q作轴，证明，得到，即可求出k的值；过点F作轴，可以推出，设，则，根据勾股定理可求出a的值，再利用利用三角形面积法求出即可． 【详解】连接交于Q， 由折叠性质可得：，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即点Q为的中点， 过点Q作轴， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∵点Q在反比例函数上， ∴； 过点F作轴， ∵点D在反比例函数上 ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴ ∴，解得： ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点F的坐标为. 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识；过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵的面积是， ∴，则 ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为： 23．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数（）的图象于点D，若，平行四边形的面积为18，则k的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义． 过点D作轴于N，过点B作轴于M，可得，设，，则，根据的面积为18表示出的长度，从而表示出点C的坐标，由得到，根据求出的长，从而表示出点D的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出． 【详解】过点D作轴于N，过点B作轴于M， ∴， ∴， ∵， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴点C的坐标为 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D点坐标分别为， ∵点，都在反例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：40 24．新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论． 分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可． 【详解】解：如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点E， 设， ∴， ， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， （负舍），则， ∴ 如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点F， 设， 由题意，，∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴ 故答案为：或． 25．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F， ∵点是菱形对角线的中点， ∴点三点共线．轴 设点，则， 故直线 故直线 点是的中点， 故答案为：． 26．如图，在反比例函数图象的两支上分别取点，，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，．若四边形的面积为15，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，如图，延长和，相交于点，设，，则，，，证明得，设的面积为，则的面积为，求出的面积为1，进一步可得出的值． 【详解】解：如图，延长和，相交于点，设，，则，，， ， ；， ， ，即， 整理得，； 设的面积为，则的面积为， ，即， 解得，， 经检验，是原方程的解； ． 故答案为：6． 27．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 【答案】或． 【分析】设点，则，进而得点，由此可得直线的表达式为，解方程组，得点，再由两点间的距离公式得，，，当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，由勾股定理得，则，由此解出，②当时，由勾股定理得，则，由此解出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：设点的横坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点在直线上， 点， 又点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， 点， 设直线的表达式为：， ， ， 直线的表达式为：， 解方程组：，得，（不合题意，舍去）， 点， 点， ，，， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 即：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当为直角三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交，直角三角形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求正比例函数解的析式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 28．如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数值的几何意义，待定系数法求解析式，相似三角形的判定的性质，掌握反比例函数图象的性质，比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作轴于点，可得，，设，用含的式子表示点的坐标，由此可得直线，的解析式， 从而求出的坐标，分别求出的长，再根据可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作轴于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，且在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令，则    ， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，，，， ∴，，， ∴， ，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 29．如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式；根据平行四边形的性质求得的面积是解题的关键． 设点的横坐标为，代入求得点、的坐标，求得，，根据平行四边形的对边平行且相等可求得点、的坐标，求得，推得，结合平行四边形的平行和三角形的面积公式可求得的值，结合图象即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， 故设点的横坐标为， 将代入得， ∴设点的坐标为， ∵轴，点在轴上， ∴点的坐标为， 故，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即， 结合图象可得点的横坐标为：， 将代入得， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴轴， 又∵点在轴上， ∴点的坐标为， 故， ∴； 连接，如图： 在中，点、在轴上， ∴是的对角线， 故， ∵， ∴， ∵，∴， 解得：或， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴． 故答案为：． 30．如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于，交轴于，设，，可得，结合为的中点，可得，可得：，可得，解得，由，可得，再结合，可得：，，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于，交轴于， ∵菱形， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴菱形的面积为： ； 故答案为：， 【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数的几何应用，一元二次方程的解法，平行线分线段成比例的应用，本题难度大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 31．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图像上一点，是轴正半轴上一点，以、为邻边作．若点及中点都在反比例函数图像上，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形、直角坐标系的知识，先假设点、坐标，继而利用反比例函数和线段中点的性质，计算得的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点在反比例函数图像上，是反比例函数图像上一点 ∴设点坐标为，点， ∵点是的中点，是轴正半轴上一点， ∴点的横坐标为， ∴点坐标为， ∴点的坐标为，即， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分，及中点和中点相同， 根据题意，中点坐标为，即， 中点坐标为，即， ∴，， ∴，， ∴， 又∵是反比例函数图像上一点， ∴， 故答案为：12． 32．如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何图形综合．正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，即由证明，，最后利用的面积列方程求解即可． 【详解】解：过作于，则四边形是矩形， ，， ． ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去） 实数的值为3． 故答案为：3． 33．如图，在中，，，CB与y轴交于点D，，点C在反比例函数的图象上，且x轴平分，则k的值为 ． 【答案】 【分析】作y轴的垂线，构造相似三角形，利用和B可以求出C的横坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确定的值． 【详解】解：过C作轴，垂足为E，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，    又∵x轴平分，， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵ ∴， ∴ ，   设，则，， ∴，解并检验得， ， ∴点C坐标为 ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求C的坐标，依据C在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用． 34．如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，则，由此得，设，，则，从而得点，点，证和相似从而得，证得，则，从而得，再证和全等得，则，然后根据的面积为6可求出的值． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，如图所示： ∴， ， 可设，，则， 点，在反比例函数的图象上， 点，点， ， ， ， 即：， ， 轴， ，， ，轴， ，， ， ， ， 即， ， ， 轴，轴，， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为6， ， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 35．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知． 【详解】过点A作于点E，于点F， ， ， 轴， ， ， 设，则，， ， ， ，， ， ，， ，， 点A在反比例函数的图象上， ， ． 36．如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线交于点F．若，则k的值为    【答案】4 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点，则，．证明，结合相似三角形的性质以及可得，再证明，结合相似三角形的性质以及可得，即有，然后根据，可求得的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图    设点则 轴 又 轴，轴， 又 点F的纵坐标为 轴 点H的横坐标为， 是的对角线，， 即 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象与性质等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 37．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，坐标原点在边上，反比例函数（）的图象恰好经过顶点，，并与边交于点若：，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴于点，轴于点．根据，的面积为，可求出，再设，则，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于点，轴于点， ∴， ∵，的面积为， ∴， 设，则， ∵的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积梯形的面积， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数与几何图形的面积关系，根据已知条件求出的面积是解题的关键． 38．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线． 过点作轴的垂线，得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， ∵垂直轴，， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 39．如图，矩形，双曲线分别交、于F、E两点，已知，求： （1）当E为中点，则的面积为 ． （2）当，则k的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及性质和矩形的性质等知识点， (1) 由E为的中点，得到，进而可得，利用面积的和差即可得解； (2)设F点坐标为，则E点坐标为，根据三角形面积公式得到，解得m的值，即可求得F点的坐标，根据即可求得； 利用面积求得点坐标是解题的关键． 【详解】（1）∵E为的中点， ∴， 即反比例函数解析式为， ∴， ， 故答案为：； （2） ∵四边形是矩形，，， ∴设F点坐标为，点E的坐标为， ∴，解得， ∴E点坐标为， 则， 整理得：，解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∵双曲线分别交、于F、E两点， ∴， 故答案:． 40．如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 【答案】6 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去），，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$