第2章 常用逻辑用语（章末题型归纳总结）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

第2章 常用逻辑用语 章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 经典题型二：全称量词命题与存在量词命题 经典题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 经典题型四：充要条件的证明或探求 经典题型五：命题的否定 经典题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③方程思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 例1．（天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题）若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．（2024·天津河北·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5．（2024·高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 经典题型二：全称量词命题与存在量词命题 例7．（2024·高一·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·高一·广东广州·阶段练习）下列命题中真命题的个数是（    ） ①； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③x是无理数}，是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 例9．（2024·高一·北京通州·期中）给出下面四个命题： ①，； ②，； ③，的个位数字等于3； ④，. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例10．（2024·高一·全国·课后作业）以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是 A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 例11．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 例12．（2024·高一·河北·阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 经典题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 例13．（2024·高一·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 例14．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 例15．（2024·高一·江西南昌·期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答． 间题：已知集合． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 例16．（2024·高一·山东菏泽·期中）设全集，集合，． (1)若，求集合； (2)若“”是“”必要条件，求实数m的取值范围． 例17．（2024·高一·福建莆田·期中）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 例18．（2024·高一·河北保定·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 例19．（2024·高一·湖北襄阳·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围. 例20．（2024·高一·云南红河·阶段练习）已知命题：方程没有实数根，若是真命题，实数的取值集合为． (1)求实数的取值集合； (2)集合，若是的必要条件，求的取值范围． 例21．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设p:;q:，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 经典题型四：充要条件的证明或探求 例22．（2024·高二·全国·专题练习）已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为 ． 例23．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 例24．（2024·高一·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 例25．（2024·高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 例26．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 例27．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 经典题型五：命题的否定 例28．（2024·高一·云南昆明·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 例29．（2024·高一·江苏·假期作业）命题“”的否定是（   ） A．不存在 B． C． D． 例30．（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 例31．（2024·高一·四川成都·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例32．（2024·高三·湖北黄冈·期末）若：所有实数的平方都是正数，则为（    ） A．所有实数的平方都不是正数 B．至少有一个实数的平方不是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．有的实数的平方是正数 经典题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 例33．（2024·高一·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 例34．（2024·高一·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 例35．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 例36．（2024·高一·山东菏泽·阶段练习）已知命题，，若p为假命题，求a的取值范围. 例37．（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 例38．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知集合，． (1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． (2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围． 例39．（2024·高一·吉林长春·阶段练习）已知集合，且. (1)若“”是真命题，求实数m的取值范围. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例40．（2024·高一·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 例41．（2024·高一·江西南昌·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 例42．已知集合，，全集 当时，求 若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 例43．设集合， 若，求a的值； 设条件p：，条件q：，若q是p的充分条件，求a的取值范围． 例44．已知集合，在①②"”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题． 当时，求 若__________，求实数a的取值范围． ②转化与化归思想 例45．（2024·高三·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例46．（2024·高一·江西景德镇·期中）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 例47．（2024·高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件. ③方程思想 例48．已知，，，，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围． 例49．已知，命题，命题， 若命题p为真命题，求实数a的取值范围； 若命题q为真命题，求实数a的取值范围． 例50．已知，关于x的一元二次方程①和②，求方程①和②的根都是整数的充要条件． 例51．已知，命题存在，不等式成立，若p为真命题，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 常用逻辑用语 章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 经典题型二：全称量词命题与存在量词命题 经典题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 经典题型四：充要条件的证明或探求 经典题型五：命题的否定 经典题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③方程思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 例1．（天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例2．（重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题）若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，， 当时，即，即， 则有或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 例3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 例4．（2024·天津河北·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可得，解得， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例5．（2024·高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 例6．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解 ，解得：， 易见B选项是充要条件，不成立； A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，A正确； C选项中，不可推导出，C错误； D选项中， 不可推导，D错误， 故选：A. 经典题型二：全称量词命题与存在量词命题 例7．（2024·高一·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，.故选项A判断错误； 由可得，.故选项B判断错误； .故选项C判断正确； 由，可得选项D判断错误. 故选：C 例8．（2024·高一·广东广州·阶段练习）下列命题中真命题的个数是（    ） ①； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③x是无理数}，是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】对于①，当时，，故①正确； 对于②，由是整数，且它既不是合数，也不是素数，故②正确； 对于③，假设x是无理数}，是有理数，则可设，则，， 故为有理数，而与题设矛盾，故③正确， 故选：D. 例9．（2024·高一·北京通州·期中）给出下面四个命题： ①，； ②，； ③，的个位数字等于3； ④，. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，，所以①对； 对于②，当时，，当时，，所以，成立，所以②对； 对于③，设，，，的个位数字等于的个位数字， 所以的个位数字都不等于3，所以③错； 对于④，因数，所以方程无实数解，所以④错. 故选：B. 例10．（2024·高一·全国·课后作业）以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是 A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】B 【解析】逐一考查所给的命题： A选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题； B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题； C选项为全称量词命题，取，则为有理数，所给的命题为假命题； D选项为存在量词命题，若，则，所给的命题为假命题. 故选B. 例11．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【答案】D 【解析】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确. 故选：D 例12．（2024·高一·河北·阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 【答案】A 【解析】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假， A是真命题，符合题意； 对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意； 对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意， 故选：A. 经典题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 例13．（2024·高一·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，得或， 若“”是“”的必要不充分条件，得或， 所以，即的最大值为. 故答案为： 例14．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出， 则，即. 故答案为： 例15．（2024·高一·江西南昌·期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答． 间题：已知集合． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【解析】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得， 则，所以． （2）由集合或和， 若选择①：由，即，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择②：由“”是“”的必要条件，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择③：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为. 例16．（2024·高一·山东菏泽·期中）设全集，集合，． (1)若，求集合； (2)若“”是“”必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，，又或， 所以． （2）“”是“”必要条件，故． 当时，，所以，符合题意； 当时，需满足，解得， 综上所述，m的取值范围为或． 例17．（2024·高一·福建莆田·期中）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，，解得， 所以实数的取值范围是， （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是的必要不充分条件，则， 当即时，，满足题意， 当即时， 则， 所以实数的取值范围是{或}． 例18．（2024·高一·河北保定·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，则或， 若，则， 所以． （2）若是的必要条件，则． 当时，即时，，符合题意； 当时，即时，， 要满足，可得，解得； 综上，实数m的取值范围为或． 例19．（2024·高一·湖北襄阳·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，由，得，符合题意； 当时，可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或． （2）由题意可知且. 可得解得， 综上，实数的取值范围是．. 例20．（2024·高一·云南红河·阶段练习）已知命题：方程没有实数根，若是真命题，实数的取值集合为． (1)求实数的取值集合； (2)集合，若是的必要条件，求的取值范围． 【解析】（1）若是真命题，则，解得， 所以； （2）若是的必要条件，则， 又，所以， 所以，解得. 例21．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设p:;q:，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 又， 分类讨论如下： ①当 时， 解得; ②当 时， 或 ，解得m 5； 综上所述：实数m 的取值范围为 . （2）因为p是q的必要不充分条件， 所以是A的真子集 ， ①当 B 时，，解得; ②当 B 时， （等号不能同时成立）， 解得 ； 综上所述：实数m 的取值范围为 . 经典题型四：充要条件的证明或探求 例22．（2024·高二·全国·专题练习）已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为 ． 【答案】 【解析】因为是一元二次方程，所以． 又另一方程为，且两方程都要有实根， 所以，解得． 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以，所以m为4的约数．又，所以或． 当时，第一个方程的根为非整数； 而当时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是． 例23．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 【答案】3或4 【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． ，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程 有整数根． 例24．（2024·高一·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 例25．（2024·高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【解析】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 例26．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【解析】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 例27．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【解析】.证明如下： 充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形， ，最大，即，， 过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D， 由勾股定理，得 ，与已知矛盾， △ABC为锐角三角形. 必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A 作BC的垂线，垂足为D， 由勾股定理知，得 . 综上，为锐角三角形的一个充要条件为. 经典题型五：命题的否定 例28．（2024·高一·云南昆明·期末）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题的否定是“”. 故选：D. 例29．（2024·高一·江苏·假期作业）命题“”的否定是（   ） A．不存在 B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“”为存在量词命题，其否定为“”. 故选：D. 例30．（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”的否定是“”. 故选：C 例31．（2024·高一·四川成都·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”的否定是，. 故选：C. 例32．（2024·高三·湖北黄冈·期末）若：所有实数的平方都是正数，则为（    ） A．所有实数的平方都不是正数 B．至少有一个实数的平方不是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．有的实数的平方是正数 【答案】B 【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知， “所有实数的平方都是正数”的否定为：“至少有一个实数的平方不是正数”． 故选：B 经典题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 例33．（2024·高一·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 例34．（2024·高一·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 例35．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 【解析】（1）因为命题是真命题，所以， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上m的取值范围为； （2）因为“命题：，”是假命题，所以， 当时，，解得， 当时，则或，解得， 综上的取值范围为. 例36．（2024·高一·山东菏泽·阶段练习）已知命题，，若p为假命题，求a的取值范围. 【解析】由题意p为假命题，即，，即方程有解， （1）当时，有解成立； （2）当时，，即且； 综上. 例37．（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为命题，是真命题，所以． 当时，满足，此时，解得； 当时，由，可得，解得． 综上，实数m的取值范围为． （2）因为，是真命题，所以， 所以，则即，所以， 要使，仍需满足，即． 综上，实数m的取值范围为． 例38．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知集合，． (1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． (2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）①当为空集时，，即，原命题成立； ②当不是空集时，是A的真子集，所以，解得； 综上①②，的取值范围为或. （2），使得，为非空集合且， 所以，即， 当时或， 所以或， 的取值范围为． 例39．（2024·高一·吉林长春·阶段练习）已知集合，且. (1)若“”是真命题，求实数m的取值范围. 【解析】，则，解得， “”是真命题，则， 若，则或，解得，因为，所以， 所以当，， 综上所述. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例40．（2024·高一·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【解析】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 故答案为： 例41．（2024·高一·江西南昌·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）， 可得， 当时解得， 则，可得， 又，可得， 即，可得， 所以， （2）因为“”是“”的必要不充分条件 所以, 集合中， 当时解为， 又，可得解得， 当时解为， 又，可得解得， 当时无解，集合为空集， 又，所以不合题意舍去， 综上可得：或. 例42．已知集合，，全集 当时，求 若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】当时，集合，或， 故 由题知：，即且， 当时，，解得； 当时，，解得， 由得，， 综上所述：实数a的取值范围为 例43．设集合， 若，求a的值； 设条件p：，条件q：，若q是p的充分条件，求a的取值范围． 【解析】， ， 解得； ，依题意， ①若； ②若或时，，， 此时； ③若，解得， 综上：a的取值范围是 例44．已知集合，在①②"”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题． 当时，求 若__________，求实数a的取值范围． 【解析】当时，，而， 所以，或 选①，由可知：， 当时，则，即，满足，则， 当时，，由得：，解得， 综上所述，实数a的取值范围为或 选②，因“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，则，即，满足，则， 当时，，由得：，且不能同时取等号，解得 综上所述，实数a的取值范围为或 选③，当时，则，即，满足，则， 当时，由得：或，解得或， 又，所以或 综上所述，实数a的取值范围为或 ②转化与化归思想 例45．（2024·高三·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 例46．（2024·高一·江西景德镇·期中）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 【解析】（1）：，故：， 又因为是的充分不必要条件，所以或， 解得或， 故实数的取值范围为或. （2）:，又是的必要不充分条件， 因为，所以对应的集合不是空集， 所以，解得， 故实数的最大值为. 例47．（2024·高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件. 【解析】的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得. 上述方程有两个负根的充要条件是且，即， ∴. 于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是. 故的充要条件为. ③方程思想 例48．已知，，，，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】，，若p真，可得， 而，时，取得最小值，则； ，，若q真，可得， 解得 若p，q都是真命题，可得，则 故实数m的取值范围是 例49．已知，命题，命题， 若命题p为真命题，求实数a的取值范围； 若命题q为真命题，求实数a的取值范围． 【解析】命题为真命题， 即，又， 实数a的取值范围为 命题，为真命题， 即亦即在上有解， 又当求得二次函数的范围，即二次函数最大值为10，最小值是， 实数a的取值范围为： 例50．已知，关于x的一元二次方程①和②，求方程①和②的根都是整数的充要条件． 【解析】解是一元二次方程， 另一方程为，两方程都要有实根， 解得 两根为整数，故和与积也为整数， ， 为4的约数，或1， 当时， 第一个方程的根为非整数，不符合题意； 而当时，两方程均为整数根， 两方程的根均为整数的充要条件是 例51．已知，命题存在，不等式成立，若p为真命题，求m的取值范围． 【解析】存在，不等式成立， ， 又函数在时的最大值为0， 即解得 因此，若p为真命题时，m的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$