专题01 命题与四种命题间的相互关系与应用（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

专题01 命题与四种命题间的相互关系与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题的概念 1 题型二、判断命题的真假 2 题型三、已知命题的真假求参数 3 题型四、四种命题的转换 5 题型五、原命题与逆否命题等价性的应用 6 题型六、逆否命题在证明中的应用--反证法 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、命题的概念 1．（多选题）王维，字摩诘，号摩诘居士，唐代山水田园派诗人、画家。北宋苏轼在《书摩诘蓝田烟雨图》中评价道：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。”在王维所做的五言绝句《相思》中，以下诗句不可以作为命题的是（    ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【答案】BCD 【详解】对于A，红豆生南国，是陈述句，是正确的，这句诗是命题， 对于B，春来发几枝，是疑问句，这句诗不是命题， 对于C，愿君多采撷，是祈使句，这句诗不是命题， 对于D，此物最相思，是感叹句，这句诗不是命题. 故选：BCD． 2．下列语句：①；②作射线AB；③；④有一个根是－1；⑤. 其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．③ D．②⑤ 【答案】B 【详解】解析②是祈使句，故不是命题，⑤无法判断真假，故不是命题. ①③④符合命题的定义， 故选：B. 3．下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【详解】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误. 故选：B. 4．（2020·山东济南·二模）能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次为 ． 【答案】，，答案不唯一，，分别取大于0，小于0的整数即可 【详解】取，，满足，但，得到命题为假命题. 故答案为：，； 题型二、判断命题的真假 5．（多选题）下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】A选项，若，则，A正确. B选项，若，则，B错误. C选项，时，不能得到，C错误. D选项，，但，D错误. 故选：BCD 6．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 7．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 8．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B 题型三、已知命题的真假求参数 9．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 【答案】D 【详解】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}， 又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<. 故选：D 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系，属于基础题. 10．（多选题）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，， ∴， ∴实数的取值范围是， 故选：BC. 11．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 12．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 题型四、四种命题的转换 13．命题“若，则或”的否命题是（　　） A．若，则或 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则且 【答案】D 【详解】解：根据否命题的定义可知：命题“若，则或”的否命题是： 若，则且. 故选：D 14．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【答案】B 【详解】试题分析：根据四种命题的概念，可知命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”，故选B． 考点：四种命题． 15．命题“若，则”的逆否命题是 A．若，则或 B．若，则 C．若或，则 D．若或，则 【答案】D 【详解】其逆否命题是：若或，则． 16．下列命题为真命题的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题 C．命题“若，则”的否命题 D．命题“若，则”的逆否命题 【答案】A 【详解】命题“若，则”的逆命题是若，则，由于，因此为真命题； 命题“若，则”的否命题是若，则，这是假命题，如时，； 命题“若，则”的否命题是若，则，是假命题，如时，， 命题“若，则”本身是假命题，如时，，但，其逆否命题也是假命题． 故选：A． 题型五、原命题与逆否命题等价性的应用 17．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（    ） A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖 C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒 【答案】C 【分析】根据原命题和其逆否命题同真假即可解. 【详解】“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”. 故选：C. 18．已知，则“或”是“”的（  ） A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】若，，则，可知“或”是“”的非充分条件； 若，则或的逆否命题为：若且，则；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“或”是“”的必要条件； 则“或”是“”的必要非充分条件 本题正确选项： 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立. 19．（2020·河南·二模）南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则“、不总相等”是“，不相等”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】命题：如果“、不总相等”，那么“，不相等”的等价命题是： 命题：如果“，相等”，那么“、总相等”， 根据祖暅原理，当两个截面的面积、总相等时，这两个几何体的体积，相等， 所以逆命题为真，则是必要条件， 当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不充分， 所以“、不总相等”是“，不相等”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 20．已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）若是真命题，则， 解得，则； （2）当，即时，，此时，满足； 当，即时，， 因为，所以，则或，解得. 综上，实数的取值范围为. 题型六、逆否命题在证明中的应用--反证法 21．在中，、、的对边分别为、、证明：若，则为锐角． 【答案】证明见解析 【详解】假设为直角或钝角，则、必都为锐角， 则，，，． 即与已知矛盾，∴假设不成立，即为锐角． 22．若集合，．证明：集合与不可能相等． 【答案】证明见解析 【详解】假设集合，则且， 即且，这不可能． 故假设不成立，即集合与不可能相等． 23．判断命题“若与的积不是有理数，则至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由. 【答案】真命题，理由见解析. 【详解】真命题，理由如下： 原命题的逆否命题：若都是有理数，则与的积是有理数. 由，则可设且， 则，即原命题的逆否命题是真命题，故原命题为真命题. 24．证明：若，则. 【详解】证明：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.由得.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题.故若，则. 【点睛】原命题的真假不易判断时，可通过判断其逆否命题的真假，来证明原命题的真假。 1．下列语句为命题的是（    ） A．0不是偶数 B．求证对顶角相等 C． D．今天心情真好啊 【答案】A 【详解】根据命题的定义：能判定真假的语句，可得： 对于A中，不是偶数，能判定是错误的，所以是命题； 对于B、C、D给出的语句，不能判定其真假，所以不是命题. 故选：A. 2．（18-19高二上·安徽宿州·期末）下列语句中：①；②；③；④；是命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为能够判断真假的陈述句是命题， ①无法判断真假；②③④都能判断真假. 故是命题的个数为. 故选：C. 3．（2021·广东佛山·模拟预测）已知命题，则该命题是 （填“真命题”或“假命题”）. 【答案】假命题 【详解】当时，，所以命题为假命题. 故答案为：假命题. 4．（24-25高一上·北京·期中）给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值： ； . 【答案】 （答案不唯一，满足且即可） 【详解】由，得到，即， 若，则是假命题，则有，即， 所以符合题意的一组的值为， 故答案为：；（答案不唯一，满足且即可） 5．（2023·河南平顶山·模拟预测）下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 【答案】C 【详解】对A，若，则，所以A正确． 对B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的两个人，所以B正确． 对C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C错误． 对D，若点P到三边的距离相等，则P可能是内心，也可能在所在平面外，所以D正确． 故选：C. 6．（2015·山东·高考真题）设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 【答案】D 【详解】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D. 考点：四种命题. 7． “若整数a不能被2整除，则a是奇数”的否命题是 ． 【答案】若整数a能被2整除，则a是偶数 【详解】“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的否命题是“若整数a能被2整除，则a是偶数”. 故答案为：若整数a能被2整除，则a是偶数. 8．（2023·全国·模拟预测）若整数N被p整除后余数为q，则表示为，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为6的因数包含2、3，且， 故“”是“且”的充要条件， 由逆否命题的等价性，则“或”是“”的充要条件. 故选：C. 9．（2022·四川雅安·模拟预测）已知命题“若，则”，在它的逆命题､否命题､逆否命题中，真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】由原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真同假可知，原命题“若，则”显然为真，故逆否命题为真；逆命题为：“若，则”，逆命题为假，则否命题也为假，故真命题个数为1个. 故选：B 10．（21-22高三下·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【详解】①，错误； ②，而，故，正确； ③当且时，，而，显然成立，正确. 故选：C 11．判断命题“若为锐角三角形，则”的真假，并证明． 【答案】真，证明见解析 【详解】命题“若为锐角三角形，则”的逆否命题为： 若，则不是锐角三角形． 若，则，所以为钝角三角形或直角三角形．故逆否命题为真，从而原命题为真． 12．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 命题与四种命题间的相互关系与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题的概念 1 题型二、判断命题的真假 2 题型三、已知命题的真假求参数 2 题型四、四种命题的转换 3 题型五、原命题与逆否命题等价性的应用 3 题型六、逆否命题在证明中的应用--反证法 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、命题的概念 1．（多选题）王维，字摩诘，号摩诘居士，唐代山水田园派诗人、画家。北宋苏轼在《书摩诘蓝田烟雨图》中评价道：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。”在王维所做的五言绝句《相思》中，以下诗句不可以作为命题的是（    ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 2．下列语句：①；②作射线AB；③；④有一个根是－1；⑤. 其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．③ D．②⑤ 3．下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 4．（2020·山东济南·二模）能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次为 ． 题型二、判断命题的真假 5．（多选题）下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 7．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 8．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 题型三、已知命题的真假求参数 9．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 10．（多选题）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 题型四、四种命题的转换 13．命题“若，则或”的否命题是（　　） A．若，则或 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则且 14．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 15．命题“若，则”的逆否命题是 A．若，则或 B．若，则 C．若或，则 D．若或，则 16．下列命题为真命题的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题 C．命题“若，则”的否命题 D．命题“若，则”的逆否命题 题型五、原命题与逆否命题等价性的应用 17．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（    ） A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖 C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒 18．已知，则“或”是“”的（  ） A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件 19．（2020·河南·二模）南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则“、不总相等”是“，不相等”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 题型六、逆否命题在证明中的应用--反证法 21．在中，、、的对边分别为、、证明：若，则为锐角． 22．若集合，．证明：集合与不可能相等． 23．判断命题“若与的积不是有理数，则至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由. 24．证明：若，则. 1．下列语句为命题的是（    ） A．0不是偶数 B．求证对顶角相等 C． D．今天心情真好啊 2．（18-19高二上·安徽宿州·期末）下列语句中：①；②；③；④；是命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2021·广东佛山·模拟预测）已知命题，则该命题是 （填“真命题”或“假命题”）. 4．（24-25高一上·北京·期中）给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值： ； . 5．（2023·河南平顶山·模拟预测）下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 6．（2015·山东·高考真题）设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 7． “若整数a不能被2整除，则a是奇数”的否命题是 ． 8．（2023·全国·模拟预测）若整数N被p整除后余数为q，则表示为，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2022·四川雅安·模拟预测）已知命题“若，则”，在它的逆命题､否命题､逆否命题中，真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（21-22高三下·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．判断命题“若为锐角三角形，则”的真假，并证明． 12．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$