精品解析：湖北省武汉市黄陂区第七高级中学2024届高三模拟考试（一）数学试题

黄陂一中2024届高三模拟考试（一） 数学试题 命题教师：罗启斌 审题教师：刘振军 陈英 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可. 【详解】因为所以,所以, 因为，所以. 故选：A. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念和复数的运算解求解. 【详解】设复数，， 又，可得，解得， 所以复数的虚部为. 故选：D. 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因，所以或5时，取得最大值. 故选：C 4. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为或． 故选：D． 5. 规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据“家族”的定义逐一判断四个选项即可得正确答案. 【详解】对于①：因为，所以，故①正确； 对于②：因，所以，故②错误； 对于③：若a与b属于同一“家族”，则，，（其中），故③正确； 对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④正确结论． 故选：C． 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数可证明，据此可判断，再由时判断. 【详解】设，则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递增，在单调递减， 所以时，，所以，即， 所以， 又，对任意恒成立. 因此， 故选：. 7. 已知函数（，，）部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】首先求出，再代入点坐标得到，分析得到，再代入计算即可. 【详解】设的最小正周期为T，由图象可知，，所以， 则，于是，又的图象过点， 所以，，所以， 又，则， ，则，由， 得，则， 又当时，，所以，得， 则，， 结合知，所以，所以. 故选：D. 8. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点(包括四条边上的点)，且满足，则四棱锥的体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图象，根据，求出，设，，则，，，由，得，即，求出的解析式，可得的最大值，再由棱锥体积公式求解． 【详解】解：作于，在长方体中， 平面，平面， 在和中，，， ，，， 设，，则，，， 由，得，即， 整理得，，，开口向下，对称轴为， 在，单调递减，则时，取到最大值，即的最大值为． 四棱锥的体积的最大值是． 故选：． 【点睛】考查棱柱、棱锥的体积的计算，利用了构造函数法及单调性和最值，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小. 【详解】令在内单调递增. 时，，即A选项正确； 令在内单调递增， ，即，B选项正确； 令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误； 当时，，D错误 故选：AB 10. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 时， C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可. 【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，， 故A正确， 对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布， 则， 所以， ， 所以，故B正确， 对于C,D选项，， 当时，为正项且单调递增的数列， 故随着的增大而增大故选项C正确， 当时，为正负交替的摆动数列， 故选项D不正确. 故选：ABC. 11. 在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆外切矩形面积的最小值为48 B. 椭圆外切矩形面积的最大值为48 C. 点为蒙日圆上任意一点，点，，当取最大值时， D. 若椭圆的左､右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求得椭圆的蒙日圆方程，然后利用外切矩形的面积结合二次函数求最值可判断A，B选项， 利用两角和的正切公式，椭圆的定义，向量运算的转化来判断C，D选项 【详解】对于，：如图，设对于椭圆上任意点，过点作椭圆的切线交圆于，两点， ，关于原点对称的点分别为，，则椭圆的一个外切矩形为， 则，由图象易知， 圆心到直线的距离，所以. 又，所以外切矩形为的面积， 因此对，错. 对于：当与圆相切且切点在圆下方时，最大，， 对. 对于， ， ①②得，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用函数求最值问题， 另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导的关系，体现了数形结合的思想 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______. 【答案】256 【解析】 【分析】将二项式化为并写出其展开式通项，进而判断的符号，再将目标式去绝对值符号，应用赋值法求值即可. 【详解】由，则展开式通项为， 所以，，则， 令时，. 故答案为：256. 13. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，设，则，，椭圆的定义可得，再由余弦定理可得，在中，由余弦定理即可求出椭圆C的离心率. 【详解】由，得为线段的中点，且点在椭圆外，所以， 则，又，所以为线段的中点，所以， 设，则，又，所以， 由椭圆的定义可知：，得， 如图，延长交椭圆C于点，连接，则由椭圆的对称性可知， ，又，故， 由余弦定理可得：， 在中，，由余弦定理可得， 即， 所以椭圆C的离心率为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 14. 已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将恒成立，转化为恒成立，令，求得其最大项即可. 【详解】解：由，得， 所以. 设， 则. 设，则， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得，即在上单调递减， 又，，， 所以当时，，即， 所以. 当时，，即，所以. 综上，，所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项为正数，其前项和满足． （1）求实数的值，使得是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由题可知，数列的代数表达式是很复杂的，需要进行恒等变换； （1）当和同时出现在代数表达式中的时候，往往需要利用，把转换成，但是本题是要证明为等比数列，所以要把转换成，再利用等比数列的定义即可证明； （2）依题意很显然应该是裂项相消求和. 【小问1详解】 当时，，，解得； 当时，把代入题设条件得: ，即， 很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列， ∴； 【小问2详解】 由（1）知是首项为，公比的等比数列， 所以，． 故数列的前项和为： . 16. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，E为的中点， 所以； 在和中， 因为， 所以， 所以， 又因为E为的中点， 所以； 又因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）与平面所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 17. 在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． （1）求的概率分布； （2）求的数学期望（保留小数点后两位）． 参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，的所有可能取值为、、、、，计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的概率分布列； （2）利用错位相减法可求得的值. 【小问1详解】 解：将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为、、、、． 则，，，， ，， 所以的概率分布为. 【小问2详解】 解：的数学期望 ，① ，② ①②得， ， ， 因为，所以． 18. 以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点 （1）求的方程. （2）在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在满足条件的定点. 【解析】 【分析】（1）将切点代入直线方程得，结合和即可得到双曲线方程； （2）假设存在满足条件的定点，设的方程为，将其与双曲线联立得韦达定理式，计算，通分整理将韦达定理式代入得，解出值即可. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 圆与直线切于点，所以代入得，① 设，直线FQ有斜率，则，即，② 又③ 由①②③解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 假设存在满足条件的定点，因为直线不与坐标轴垂直， 故设的方程为. 由消去整理得， 则即 且 因为，所以直线的斜率为. 设为定值，即， 即， 即， 整理得， 所以， 所以. 因为为定值，且上式对任意恒成立， 所以 解得. 将代入式解得或且. 综上，存在满足条件的定点. 【点睛】关键点睛：本题采用设线法，设，定点，将直线与双曲线联立得韦达定理式，再设，展开整理得，将韦达定理代入得，解出值即可. 19. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数， 理由：函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数； （2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围； （3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 所以， 若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数； （2）根据谷点性质求参数的取值范围； （3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄陂一中2024届高三模拟考试（一） 数学试题 命题教师：罗启斌 审题教师：刘振军 陈英 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 8 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 4. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点(包括四条边上的点)，且满足，则四棱锥的体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 时， C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小 11. 在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆外切矩形面积的最小值为48 B. 椭圆外切矩形面积的最大值为48 C. 点为蒙日圆上任意一点，点，，当取最大值时， D. 若椭圆的左､右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______. 13. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______． 14. 已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项为正数，其前项和满足． （1）求实数的值，使得是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 17. 在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． （1）求的概率分布； （2）求的数学期望（保留小数点后两位）． 参考数据：． 18. 以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点 （1）求的方程. （2）在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 19. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $