精品解析：安徽省亳州市涡阳县2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2023~2024春学期高一年级第三次月考 数学 考生注意： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 3. 一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 4. 若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 6. 用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A. 三次均未中靶 B. 只有两次中靶 C. 只有一次中靶 D. 三次都中靶 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 10. 为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是（ ） A. 总体上女性处理多任务平均用时较短 B. 处理多任务的能力存在性别差异 C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大 D. 女性处理多任务用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 11. 如图，在棱长为的正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点到直线的距离为定值 D. 平面与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是实数，则__________. 13. 在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示） 14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. （1）写出该试验的样本空间； （2）指出所表示的事件； （3）写出“点数之和不超过5”这一事件集合表示. 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 为了估计一批产品质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 19. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. （1）证明：平面； （2）求点C到平面距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024春学期高一年级第三次月考 数学 考生注意： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用进行求解. 【详解】由题知， ． 故选：B 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可. 【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行. 故选：D 3. 一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，根据第85百分位数的定义可得答案. 【详解】将数据从小到大排序为1，1，2，2，2，2，3，3，5，5， 因为不是整数，故取第9个数，第9个数为5， 故这组数据的第85百分位数为5. 故选：D． 4. 若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出平行四边形ABCD，再利用平面向量的加法和减法法则，结合平行四边形的性质，即可得到答案. 详解】对于，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以，故正确; 对于，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确; 对于，利用向量减法的三角形法则得，故正确; 对于与是相等的非零向量，，故D错误. 故选:. 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法法则，向量的数量积的坐标运算结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为四边形为平行四边形， 所以 所以， 故选：C 6. 用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型分析求解. 【详解】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种， 其中偶数有，共4种， 所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为． 故选：C． 7. 明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A. 三次均未中靶 B. 只有两次中靶 C. 只有一次中靶 D. 三次都中靶 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念分析判断. 【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”， 所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥， 事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误； 故选：A. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦定理及基本不等式，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故面积. 即面积的最大值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的乘方以及除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】,在复平面内复数所对应的点为，位于第四象限，A正确， ，B错误， ，C正确， ，故D错误， 故选：AC 10. 为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是（ ） A. 总体上女性处理多任务平均用时较短 B. 处理多任务的能力存在性别差异 C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大 D. 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据志愿者完成任务所需时间的分布图逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，女性处理多任务平均用时集中在2~3分钟，男性处理多任务平均用时在3~4分钟，A正确； 对于B，由A的分析可知B正确； 对于C，根据分布的特点，可知男性的用时中位数比女性用时中位数大，C正确； 对于D，女性和男性处理多任务的用时均为正数，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点到直线的距离为定值 D. 平面与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由点到的距离为定值且底边也为定值判断A，根据正方体的性质判断B，点到直线的距离等于到的距离即可判断C，由正方体的性质得到平面平面，即可判断D. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值， 底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，，所以，即，故B正确； 对于C，点到直线的距离等于到的距离，为定值，故C正确； 对于D，在该正方体中，平面，又平面， 所以平面平面，即平面平面，故平面与平面所成角为，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是实数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件可解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：0 13. 在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示） 【答案】 【解析】 【分析】构造两条异面直线所成角，再求角的大小. 【详解】如图： 连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角， 易知为等边三角形，所以. 故答案为： 14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解. 【详解】设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. （1）写出该试验的样本空间； （2）指出所表示的事件； （3）写出“点数之和不超过5”这一事件集合表示. 【答案】（1）答案见解析 （2）掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同 （3） 【解析】 【分析】（1）用列举法把基本事件一一列举即可. （2）明确基本事件的表示方法即可. （3）列举法列出满足条件的基本事件. 【小问1详解】 该试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)} 【小问2详解】 所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”. 【小问3详解】 事件“点数之和不超过5”就是集合. 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 【答案】（1）是的中点，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点E的位置； （2）通过等腰三角形的性质证得，，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明. 【小问1详解】 是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得.又是的中点，在上， ∴是的中点. 【小问2详解】 取的中点，连接，， ∵，为中点， ∴，， ∵，平面， ∴平面， ∵平面，∴. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 18. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 【答案】（1），平均数为81 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合加权平均数运算求解； （2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 由频率和为1，得，解得； 设综合评分的平均数为， 则， 所以综合评分的平均数为81. 【小问2详解】 由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E； 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， 则，， 所以所求的概率为. 【小问3详解】 由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 所以， . 19. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. （1）证明：平面； （2）求点C到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理可，然后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）取中点，先利用线面垂直的判定定理证明平面，把点C到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 ∵，，，∴， 又为等边三角形，∴， 在中，由余弦定理得， 解得，∴，即． ∵，，平面，∴平面. 【小问2详解】 取中点，连接，∵为等边三角形，∴， 又由（1）可知平面，平面，∴， 又∵，且平面，∴平面. ∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离． 在中，可知，在中，可知， ∵是的中位线，∴， 可得的面积 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 又的面积， 点E到平面的距离为， ∴三棱锥的体积. 由，得，即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$