第7章 三角函数 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (苏教版)

数学 必修第一册 SJ 1 7 第7章素养检测 刷速度 2 1.[江苏南京一中2024高一期中] 已知角的顶点与原点重合，始边与 轴的非负 半轴重合，终边与单位圆交于点.若，则点 可能位于如图 所示单位圆的( ) B A.上 B.上 C.上 D. 上 3 解析 设,其中, , 则,, . 因为,所以,则,异号,且, , 所以点 位于第二象限, 则点可能位于如题图所示单位圆的 上.故选B. 4 2.[河南郑州多校2023高一联考] 点 在平面直角坐标系中位于( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5 解析 因为 , ,所以 为第三象限角,故 .因为8与终边相同,且,所以8是第二象限角,故 , 则点A在第三象限.故选C. 6 3.[河北沧州部分学校2024高一月考] 已知为锐角，且，则 ( ) C A. B. C. D. 7 解析 因为为锐角,且,所以 也是锐角, 所以 , 则 ,故选C. 8 4.[河南南阳五中2024高一月考] 函数 的图象大致为( ) D A. B. C. D. 9 解析 因为函数的定义域为 且 ,所以 为奇函数,所以排除选项B. 当时, , 当 时, , 所以可排除选项A和选项C.故选D. 10 5.（原创）若，则 ( ) C A. B. C. D. 11 解析 ,, . 由得 , . 12 6.[江苏宿迁2023高一期末] 若把函数的图象沿轴向左平移个单位长度，沿 轴向下平 移一个单位长度，然后再把图象上各个点的横坐标缩短到原来的，得到函数 的图象， 则 的解析式为( ) D A. B. C. D. 13 解析 函数的图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍得到 的图象,然后向上 平移一个单位长度得到的图象,再向右平移 个单位长度得到 的图象,所以 .故选D. 14 7.如图，一个大风车的半径为，旋转一周，它的最低点离地面 ，风车翼片的一个 端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间 之间的函数关系式是 ( ) D A. B. C. D. 15 解析 根据题意可设,则,. 旋转一周, , . 最大值与最小值分别为14,2, 解得, . .故选D. 16 8.[辽宁渤海大学附中2024开学考试] 函数 的部分图象如图中实线所示， 图中圆与的图象交于,两点，且在 轴上，则下列说法正确的是 ( ) A A.若圆的半径为，则 B.函数在 上单调递减 C.函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线 对称 D.函数的最小正周期是 17 解析 由题中函数的图象,可得点C的横坐标为,所以函数 的最小正周期 ,所以D错误. 又由,且,得 , 根据五点作图法且,可得,解得,所以 . 对于A,当时,可得,即,若圆C的半径为 ,则满足 ,即 , 解得,所以的解析式为 ,所以A正确. 18 对于B,因为,可得,结合三角函数的性质,可得函数 在 上是先单调递减后单调递增,所以B错误. 对于C,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到 的图象, 令 ,,得, , 所以直线不是函数 图象的对称轴,所以C错误. 故选A. 9.下列结论正确的是( ) ABD A. 是第二象限角 B.函数的最小正周期是 C.若，则 D.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 20 解析 对于A,根据象限角的范围, 为第二象限角,故A正确； 对于B,函数的最小正周期为 ,故B正确； 对于C,若,则原式 ,故C错误； 对于D,若圆心角为的扇形的弧长为 ,利用,解得 ,故该扇形的面积为 ,故D正确. 故选 . 21 10.[浙江杭州部分学校2024联考] 函数 的部分图象如图所示，则下列说 法正确的是( ) ABD A.的表达式可以写成 B.的图象向右平移 个单位长度后得到的图象对应的新函数是奇函数 C.在区间 上单调递增 D.若方程在上有且只有6个根，则 22 解析 由,得,即,又 , 所以.又的图象过点,则 , 结合图象得 ,,即得,,又,所以 , 所以 ,故A正确； 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象,此函数为奇函数, 故B正确； 当时,,由余弦函数的单调性知,在 上单调递减,故C错误； 由,得,则 或 , , 所以若方程在上有6个根,这6个根从小到大依次为,,,,,,而第7个根为 ,所 以,故D正确.故选 . 23 11.[湖南衡阳八中2024模拟] 已知函数， 有两 个零点, ，则下列结论正确的是( ) ACD A.当时， B. C.若，则 D. 24 图① 解析 A选项,如图①,作出单位圆,与轴交于A点,且 ,点B在单位圆上,且在第一 象限, 过点A作垂直于轴,交射线于点C,连接,设 , 由三角函数的定义可知, , 设扇形的面积为,则,即 ,故 , 所以当时, 成立,A正确. 25 图② B选项,画出函数,且与 的图 象,如图②所示,令,可得,,故 ,B 不正确. C选项,的最小正周期为 ,由图②可知,故 , C正确. D选项,由B项可知,,则由, ,可知 , , 所以 , 则 . 不妨令,则 , 26 由于在 上单调递减, 所以 , 即 . 又因为, , 所以, , 所以 , 所以 , 即,D正确.故选 . 12.若扇形的圆心角为，弧长为（单位：），则该扇形面积为____ . 解析 设扇形的弧长为,圆心角大小为,半径为 , 则由,得,解得,所以扇形的面积 . 28 13.[浙江杭州2024高一月考] 已知函数,，若，且 在 上有最小值但无最大值，则 的值为___. 解析 ,且在上有最小值但无最大值,当时, 取最小值, ,,,得, . 在上有最小值但无最大值,,即,又 , .故 . 29 14.[江苏连云港2023高一期中] 设，若关于的方程在区间 上有 5个解，且它们的和为，则 ______. 或 解析 由题意知函数的最小正周期为,则区间 含有两个周期. 设在上的5个解分别为,,,,且 , 则, , , , 由得 所以, , , 又,所以或 . 30 15.（本小题满分13分）[河南郑州外国语学校等五校2024高一联考] 已知 . （1）化简函数 ； 【解】 . （2）若，求和 的值. 【解】因为 , 所以 , 所以 ； . 31 16.（本小题满分15分）[四川师大附中2024高一月考] 已知函数 的最小正周期为,且 . （1）求函数的解析式并分别写出取最大值与最小值时相应 的取值集合； 【解】的最小正周期为 , 最小正周期,,又, . , , 又, . . 当,即时,取得最小值 , 此时的取值集合为 , . 当,即时, 取得最大值2, 此时的取值集合为 , . 32 （2）求函数, 的单调递减区间. 【解】依题意 . 若单调递减,则, , 即, . ,令,,得其单调递减区间为, . 33 17.（本小题满分15分）某港口一天内的水深（米）是时间（ ，单位：时）的函数， 下面是水深数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数 的图象. 34 （1）试根据数据和曲线，求出 的解析式. 【解】从题图中拟合的曲线可知,函数的最小正周期为12,因此 . 又,,,, 函数的解析式为 . 35 （2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度 （船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船进港后欲当天安全 离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【解】由题意,水深,即,, , ,,或 , 该船在1时至5时或13时至17时能安全进港. 若欲于当天安全离港,则船在港内停留的时间最多不能超过16个小时. 36 18.（本小题满分17分）已知函数 ，________. 请在①函数的图象关于直线对称；②函数 的图象关于原点对称；③函数 在,上单调递减，在, 上单调递增，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线 上，并解答下列问题. （1）求函数 的解析式； 37 【解】若选①,函数的图象关于直线 对称, 则, , 则, , 因为,所以,所以函数的解析式为 . 若选②,函数的图象关于原点对称,则 , ,则 , . 因为,所以,所以函数的解析式为 . 38 若选③,函数在上单调递减,在 上单调递增, 则函数在处取得最小值,则 , 则 ,,所以 , , 因为,所以,所以函数的解析式为 . 39 （2）若将函数的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在, 上的值域. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解】由题意可得函数,因为 , 所以 , 所以当 时, ； 当时, , 所以函数在上的值域为 . 40 19.（本小题满分17分）函数，在 内只取到 一个最大值和一个最小值，且当时，；当时， . （1）求函数的解析式. 【解】由题意得, , . , . 由点 在函数图象上,得 , , , . 41 （2）求函数的单调递增区间. 【解】当,即 时,函数单 调递增, 函数的单调递增区间为 . 42 （3）是否存在实数，满足不等式 ？若存 在，求出 的取值范围（或值）;若不存在，请说明理由. 【解】存在.理由如下：满足解得 . , , 同理 . 由（2）知函数在 上单调递增, 若 , 只需,即 成立即可. 存在 , 使得 成立. 43 $$