7.4 三角函数应用-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (苏教版)

数学 必修第一册 SJ 1 7.4 7.4 三角函数应用 刷基础 2 1.已知满足函数关系式的简谐运动的图象过点 ，则该简谐运 动的最小正周期和初相 分别为( ) A A.， B.， C. ， D. ， 题型1 函数式描述简谐运动时的基本概念 3 解析 .的图象过点, . 又, . 题型1 函数式描述简谐运动时的基本概念 4 2.（多选）[江苏南通2024高一期末] 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点 间的距离为，它在时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度 由关系式 确定，其中， .则下列说法正确的是( ) BC A.小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B.小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C.小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D.小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范 围是 题型1 函数式描述简谐运动时的基本概念 5 解析 由题意可知,则 . 对于A选项,函数的最小正周期 , 所以小球在往复振动一次的过程中,从最高点运动至最低点用时 ,A错误； 对于B选项,小球在往复振动一次的过程中,经过的路程为 ,B正确； 对于C选项,因为当 时, , 所以令,可得或 , 解得或 , 易知,则的可能取值有0,,2,,4,, , 题型1 函数式描述简谐运动时的基本概念 6 所以小球从初始位置开始振动,重新回到初始位置时所用的最短时间为 ,C正确； 对于D选项,由,可得,则当 时,小球第一次到达最高点, 以后每隔一个周期都到达一次最高点, 因为小球在 内经过最高点和最低点的次数恰好是10次, 所以,又,则 , 所以小球从初始位置开始振动,经过最高点和最低点的次数均为10次,则所用时间的范围是 ,D错误. 故选 . 题型1 函数式描述简谐运动时的基本概念 3.振动量的初相和频率分别是和 ，则它的相位是_________. 解析 的初相和频率分别是和,所以,最小正周期 , ,所以,所以它的相位是 . 题型1 函数式描述简谐运动时的基本概念 8 4.[江苏扬州中学2024高一月考] 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第 一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图①.由物理学知识可知，某阻 尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位： ）的 函数关系为 ，如图②，若该阻尼器在摆动过程中连续三次位移为 的时间分别为，，，且， ，则在一 个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于 的总时间为( ) C 图① 图② A. B. C. D. 题型2 知模型求参数 9 解析 因为,,所以,所以最小正周期 , 又,所以,则 . 由可得 , 所以 ,,可得, . 因为 , 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于的总时间为 .故选C. 题型2 知模型求参数 10 5.[江苏扬州三校2023期末联考] 摩天轮的主架示意图如图所示，其中 为轮轴的中心，距地面 （即的长），摩天轮的半径为 ，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，摩天轮上悬 挂吊舱，点为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点处，此时有 ，则 点距离地面的高度为____ . 20 题型2 知模型求参数 11 解析 以为坐标原点,所在直线为轴,与垂直的直线为 轴,建立平面直角 坐标系如图所示, 设点的离地高度与时间（单位： ）的关系式为 ,依题意得解得, , 因为,所以 , 此时 , 又当时,,所以,则, , 所以 , 所以当时,,所以点 距离地面的高度 . 题型2 知模型求参数 12 6.如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为 ，角速度为 1，那么点到轴的距离关于时间 的函数图象大致为( ) C A. B. C. D. 题型3 建立三角函数模型 13 解析 ,.按逆时针旋转时间后得,,此时点 的纵 坐标为,.当时,,排除A,D项；当时, ,排除B项, 故选C. 题型3 建立三角函数模型 14 7.[北京交大附中2024诊断性测试] 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标 系，设秒针针尖位置.若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时 ）正常开 始走时，那么点的纵坐标与时间 （单位：秒）的函数关系式为( ) C A. B. C. D. 题型3 建立三角函数模型 15 解析 由题意可得,初始位置为,不妨设初相为 ,故可得,,则 ,排 除B,D. 又函数的周期是60且秒针按顺时针旋转,即,所以,即 .故满足 题意的函数解析式为 .故选C. 题型3 建立三角函数模型 16 8.（多选）[山东德州部分学校2024高一联考] 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐 在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60 米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最 远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后摩天 轮座舱按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同， 游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 （单位：米），下列说法正确的是( ) BCD A.关于（单位：分）的函数解析式可以为 B.开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C.开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D.开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 题型4 三角函数模型的应用 17 解析 设游客甲距离地面的高度与时间的函数解析式为 , 由题意得解得 由开启后的第8分钟这一时刻游客甲和乙首次距离地面的高度相同知, 摩天轮匀速旋转一周大约需要24分钟,可知座舱转动的角速度约为/分,故 , 则 . 又当时,游客甲的位置到达摩天轮最高点,所以 , 即,所以 ,,所以 , , 不妨取,则,故 ,A错误. 题型4 三角函数模型的应用 18 由于摩天轮匀速旋转一周需24分钟,故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时,需经历 分钟,B正确. 根据题意,设游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度（米）与时间 的函数解析式为 ,则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为 （米）,C正确. 对于函数 , 令,得,, , 所以函数的单调递减区间为, , 当时,函数的单调递减区间为 , 题型4 三角函数模型的应用 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降； 对于函数 , 令,得,, , 所以函数的单调递减区间为, , 当时,函数的单调递减区间为 , 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降, 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同,D正确.故选 . 题型4 三角函数模型的应用 9.某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 来表示.已知6月份的月平均气温最高，为 ，12月份的 月平均气温最低，为，则10月份的月平均气温为______ . 20.5 解析 据题意得,,解得, , 所以 . 令,得 . 题型4 三角函数模型的应用 21 10.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度（单位： ）在某天24小时内的 变化情况，则水面高度关于从夜间0时开始的时间的函数关系式为______________, . 解析 将其看成的图象,由图象知,,最小正周期 , . 将看成函数图象的第一个特殊点,则, . 函数关系式为 易错点 求错函数模型 22 11.某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表 （气温单位： ），如图.根据图中提供的数据，试用 近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月） 的函数关系式为_______________________, . 易错点 求错函数模型 23 解析 若以1月份为最低气温,8月份为最高气温,则可得, , ,,又由时,解得 ,所以函数解析式为 , . 易错点 求错函数模型 24 易错警示 本题中错误易发生在对图象的理解与应用,不能正确地提取信息.所以解决实际情景中的 求模或建模问题的首要一步是准确地提炼信息,然后化归为对应的数学问题正确求解. 易错点 求错函数模型 25 7.4 7.4 三角函数应用 刷能力 26 1.如图所示，一个以为始边，为终边的单摆的角与时间（单位： ） 满足函数关系式，,则当时，角 的大小及单摆频率是 ( ) B A.2， B.， C.， D.2， 27 解析 当时,,由函数解析式易知单摆周期为,故单摆频率为 . 28 2.[北京一零一中学2024开学考试] 如图，质点在以坐标原点 为圆心，半径为1的圆上逆时针做 匀速圆周运动，质点运动的角速度大小为，起点为射线与 的交点. 则当时，下列选项中，是动点的纵坐标关于（单位： ）的函数的单调递增区间的 是( ) B A. B. C. D. 29 解析 由题意,设,因为质点在单位圆上运动的角速度大小为,起点 为射 线与 的交点, 所以,,,所以动点的纵坐标关于（单位： ）的函数解析式为 . 由 ,,得 , . 又,所以,,, . 所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间为,, , .故选B. 30 3.（多选）[四川乐山2024开学考试] 科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、2 8天和23天为周期，均可按进行变化.记智力曲线为，情绪曲线为 ，体力曲线 为 ，则( ) AC A.第35天时情绪曲线 处于最高点 B.第33天到第42天时，智力曲线与情绪曲线 不相交 C.第46天到第50天时，体力曲线 处于上升期 D.体力曲线关于点 对称 31 解析 设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线分别用, , 表示, 所以,, . A项：第35天时,,故情绪曲线 处于最高点,A正确； B项：设,因为 , ,所以存在,使得,故此时智力曲线 与情 绪曲线 相交,B错误； C项：因为,所以 ,因为 ,所以根据正弦函数的性质可得此时 单调递增,故体力曲线 处于上升期,C正确； D项：因为,所以体力曲线不关于点对称,D错误.故选 . 32 4.[陕西西安铁一中学2024质量检测] 如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们称 它为葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它 为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过 的 最大整数），且过点.若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到 轴的距离为__. 33 解析 由点在曲线上,可得,化简可得 , 则有 , 解得 . 若葫芦曲线上一点到轴的距离为,则 , 则有 , 可得,即点到轴的距离为 . 34 5.（原创）示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个点的坐标和 ，已知 ， 是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是_________________ . 解析 由题意可设曲线方程为.因为,所以,所以 ,所 以 . 又曲线经过点,所以,,所以, ,所以 . 35 6.[江苏南通2023高一期末] 生态文明建设是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵 营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于 时，才开放中央空调，否则关闭 中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位： ）的大致变 化曲线，若该曲线近似满足函数 . （1）求 的表达式； 36 【解】设的最小正周期为,因为 图象上最低点坐标 为,与之相邻的最高点坐标为 , 所以,, , 所以,解得 . 所以, . 37 （2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【解】令 , 所以 , 所以, , 解得, , 因为,所以, . 所以该商场的中央空调在一天内开启时长为8小时. 38 $$