7.3.2 三角函数的图象与性质-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (苏教版)

数学 必修第一册 SJ 1 7.3 7.3 三角函数的图象和性质 2 7.3 课时1 正弦函数、余弦函数的图象与性质 刷基础 3 1.用五点法画函数， 的图象时，下列哪个点不在函数图象上( ) A A. B. C. D. 题型1 正弦函数、余弦函数图象的画法 4 解析 用五点法画,的图象,五个关键点分别为,,, , , 所以选项A中的点不在函数图象上,故选A. 题型1 正弦函数、余弦函数图象的画法 5 名师点拨 作正弦曲线、余弦曲线时要掌握五点法作图．“五点”即或 的图象 在内的最高点、最低点和与 轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 题型1 正弦函数、余弦函数图象的画法 6 2.函数，的图象在区间 上的交点个数为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 题型1 正弦函数、余弦函数图象的画法 7 解析 利用函数和的图象,可得在区间 上两图象的交点共4个. 故选B. 题型1 正弦函数、余弦函数图象的画法 8 3.[湖北荆州中学2024高一期末] 已知函数.用“五点法”作出函数在 上的图象. 题型1 正弦函数、余弦函数图象的画法 9 【解】列表如下： 0 0 1 0 0 又当时,,当 时, ,描点作图,如图所示. 题型1 正弦函数、余弦函数图象的画法 10 4.对于余弦函数 的图象,有以下描述: ①将 内的图象向左、向右无限延展; ②与 图象形状完全一样,只是位置不同; ③与 轴有无数个交点; ④关于 轴对称. 其中正确的描述有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型2 正弦函数、余弦函数图象的识别 11 解析 根据余弦函数的图象可以判断四条描述都正确. 题型2 正弦函数、余弦函数图象的识别 5.[湖北荆门2024高一月考] 函数 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 题型2 正弦函数、余弦函数图象的识别 13 解析 的定义域为,且,所以 是偶函 数,故排除选项A,D； 当时, ,故排除选项C.故选B. 题型2 正弦函数、余弦函数图象的识别 14 6.[广西南宁二中等学校2024联考] 函数 的图象大致为( ) D A. B. C. D. 题型2 正弦函数、余弦函数图象的识别 15 解析 由函数的定义域为,关于原点对称,且满足 , 可得 为偶函数,排除C项; 当时,可得 ,排除A,B项.故选D. 题型2 正弦函数、余弦函数图象的识别 16 7.[安徽阜阳2023高一期中] 函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 17 解析 由题意,得,则 , , 即 .故选B. 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 18 8.若函数在区间,内存在最小值，则 的值可以是( ) B A. B. C. D. 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 19 解析 由, , 得, . 若使在开区间内取得最小值,则必须,解得 ,故选B. 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 20 9.[福建厦门2024高一月考] 已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 _________. 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 21 解析 因为函数的定义域为 , 所以 即 解得 . 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 22 10.[浙江衢州2024高一期末] 已知函数的最大值为，最小值为 ，则 ___. 2 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 23 解析 易知 , 令,易知的定义域为 ,且 , 即 是奇函数. 显然, , 由奇函数图象的对称性易知,则 . 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 24 11.[河南郑州中学2024高一月考] 已知函数.当时， 的最大值为，最小值是，求和 的值. 【解】因为,所以,所以 . 因为,所以 , . 由得 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 25 规律方法 求型三角函数的值域的方法：令 ,根据题中 的取值范围,求 出的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出 的最值（值域）.本题的易错之处 是当题设中没有约定 时要分情况讨论. 题型3 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 26 12.[江苏镇江一中等三校2023联考] 已知函数在 上的大致图象如图所示，则 的最小正周期为( ) C A. B. C. D. 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 27 解析 由图象可得 , 所以 ,,则, . 设函数的最小正周期为,则,即 , 解得,又,,则, ,经验证可知, 当时与题图相符,所以的最小正周期 ,故选C. 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 28 13.函数：①；②，；③，；④ 中， 奇函数的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 29 解析 ①③④是奇函数.故选C. 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 14.函数 的图象的一个对称中心是( ) B A. B. C. D. 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 31 解析 正弦曲线的对称中心为曲线与轴的交点,将四个点代入验证,只有 符合要求,故选B. 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 32 15.（多选）[广西示范性高中2024高一联考] 已知函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 ( ) AC A.函数的最小正周期为 B.直线是 图象的一条对称轴 C.点是 图象的一个对称中心 D.点是 图象的一个对称中心 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 33 解析 设的最小正周期为 , 由题中图象可知,解得 ,故A正确. 因为,所以,解得.由题图可知,故 ． 将点的坐标代入解析式化简得,因为 ,所以,解得 , 故 ． 当时, ,则点是函数图象的对称中心,则直线不是 图象的对称轴, 故B错误. 当时, ,则点是函数 图象的对称中心,故C正确. 当时,,则点不是函数图象的对称中心,故D错误.故选 ． 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 34 16.已知函数是定义在上的奇函数，则 ___. 0 解析 函数是定义在上的奇函数, , , . 题型4 正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性 35 17.[四川绵阳南山中学2024开学考试] 下列函数中，既在上单调递增，又以 为周期且为 偶函数的是( ) D A. B. C. D. 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 36 解析 显然函数, 都是奇函数,故A,C不符合； 当时,,而函数在上单调递减,所以函数在 上单调 递减,故B不符合； 函数是周期为 的偶函数,当时,,此时,而 在 上单调递增,故D符合.故选D. 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 37 18.（多选）[湖南株洲2024高一月考] 下列不等式成立的是( ) ABD A. B. C. D. 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 38 解析 对于A,因为在上单调递增,所以 ,故A正确； 对于B, , ,又在 上单调递 减,所以 ,所以 ,故B正确； 对于C,因为在上单调递减,所以 ,故C错误； 对于D,, , 又,即 , ,即 , 所以 ,故D正确. 故选 . 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 39 19.[陕西西安2024高一期末] 已知函数在上单调递增，则 的 取值范围是______. 解析 由当时,单调递增,可得①,当时, 显然单调递 增，要使函数在上单调递增,需使,即②,由①②可得 . 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 40 20.[广东深圳2024高一期末联考] 已知函数 的图象的一条对称轴 为直线 . （1）求 的值； 【解】依题意得,所以 , 因为,所以 . 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 41 （2）当时，求 的单调递增区间. 【解】由（1）得 , 当时, , 所以当或时, 单调递增, 此时解得或 , 故在上的单调递增区间为, . 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 42 解析 多种解法（2）由（1）得 , 由,得 . 因为,所以当时,；当时, , 故在上的单调递增区间为, . 题型5 正弦函数、余弦函数的单调性 43 21.[江苏常州2023高一期末] 下列选项中，能使成立的 的一个区间是( ) A A. B. C. D. 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 44 解析 由正弦函数、余弦函数的图象可得选项A正确.故选A. 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 22.[四川南充2024高一月考] 函数，的图象与直线 的交点的个数是 ( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 46 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数,, 的图象（如图所示）, 可得两图象的交点共有4个,故选D. 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 47 23.（多选）[河南郑州中学2024高一月考] 若函数的图象和直线 围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是( ) AC A.当时， B. C. D.阴影部分的面积为 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 48 解析 作出函数,的图象,函数,的图象与直线 围成 的平面图形为如图所示的阴影部分,由图可知,A正确,B错误,C正确, 利用图象的对称性,可知该阴影部分的面积等于矩形的面积,又 , ,错误.故选 . 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 49 24.若不等式（且）对任意都成立，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 50 解析 在上单调递增,且, , 故在的值域为.如图,要想对任意 都成立,则要满足 解得 .故选B. 题型6 正弦函数、余弦函数图象的应用 51 25.若函数的最小正周期是，则 ____. 解析 ,, . 易错点1 忽略变量的取值范围 52 26.若是上的偶函数，当时，，则 的解析式是______________. 解析 当时,,, 当 时, . 易错点1 忽略变量的取值范围 53 易错警示 两题中均易忽略变量的取值范围,第25题易默认“ ”,第26题则易错解为仅求“ ”时的解析式. 易错点1 忽略变量的取值范围 54 27.有以下说法：①的单调递增区间是 ；②在第二象限内， 单调递减，单调递减；③在 上单调递增.其中正确说法的个数 是( ) A A.1 B.2 C.3 D.0 易错点2 单调性概念理解不准确 55 解析 ①的单调递增区间是, ,①错误；②函数的单调性是对于 定义域来说的,与所在象限无关,②错误；③正确.故选A. 易错点2 单调性概念理解不准确 56 28.函数 的单调递增区间是( ) C A. B. C. D. 易错点2 单调性概念理解不准确 57 解析 函数 , 由 , 得 , 故选C. 易错点2 单调性概念理解不准确 58 易错警示 求复合函数单调区间,必须考虑定义域,弄清各个函数的单调性后才能遵循复合函数的单 调性法则进行确定.用整体替换法求函数或 的单 调区间时,如果式子中的系数为负数,应先利用诱导公式将 的系数变为正数再求其单调区间. 易错点2 单调性概念理解不准确 59 29.函数 是( ) D A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 易错点3 忽略定义域 60 解析 由题意,知,即的定义域为,不关于原点对称. 是非奇 非偶函数. 易错点3 忽略定义域 61 30.[四川仁寿一中2023高一期末] 函数 的单调递增区间为___________ _________________. 解析 因为 是减函数, 所以当 时,函数 单调递增, 则 , 解得, . 易错点3 忽略定义域 62 易错警示 本题容易忽视使式子有意义的条件,即忽视 而产生错误. 易错点3 忽略定义域 7.3 课时1 正弦函数、余弦函数的图象与性质 刷提升 64 1.[辽宁沈阳五校2024高一期中] 已知函数，设甲： ，乙： 是偶函数，则( ) A A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 65 解析 当时,,为偶函数,所以甲是乙的充分条件；若 为偶函数,则 ,,无法推出 ,所以甲不是乙的必要条件.所以甲是乙的充分不必要条件,故 选A. 66 2.已知 ，， ，则( ) A A. B. C. D. 67 解析 ,,且在 上单调递增,且 , , .故选A. 68 3.函数的定义域为，值域为，则 的最大值和最小值之和等于( ) C A. B. C. D. 69 解析 如图,当时,值域为且最大.当时,值域为,且 最 小. 最大值与最小值之和为 . 70 4.[北京朝阳区2024高一期中] 函数 的图象的一条对称轴是( ) C A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 71 解析 当时, ,不是对称轴,故A不符合； 当时, ,不是对称轴,故B不符合； 当时, ,是对称轴,故C符合； 当时, ,不是对称轴,故D不符合.故选C. 72 5.[陕西西安高新区一中等2024联考] 已知函数在 上单调，且 ,，则 的取值共有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 73 解析 因为函数在 上单调, 所以 , 又, , 所以 ,,得, , 当,1,2,即 , , 时,满足题意, 此时,2, .故选C. 74 6.（多选）函数和 具有相同单调性的区间是( ) BD A. B. C. D. 75 解析 对于A,在上单调递增,在 上单调递减,所以A不符合题意； 对于B,在上单调递减,在 上单调递减,所以B符合题意； 对于C,在 上单调递减,在 上单调递增,所以C不符合题意； 对于D,在上单调递增,在 上单调递增,所以D符合题意. 故选 . 76 7.已知是周期为2的奇函数，当时，，则 的值为( ) D A. B. C. D. 77 解析 因为是周期为2的函数,所以 的周期为2. 因为为奇函数,所以 又当时, , 所以 .故选D. 78 8.（多选）已知函数 ，下列结论正确的有( ) BCD A.函数 是奇函数 B.函数是周期函数，且周期为 C.函数的最小值为 D.函数的图象关于直线, 对称 79 解析 对于A,的定义域为,因为 ,所 以 不是奇函数,故选项A错误. 对于B,,故是周期函数, 为 的一个周期,故选项B正确. 对于C,,故 ,选项C正确. 对于D,因为 , 所以,所以函数的图象关于直线, 对称,故选项D正确.故 选 . 80 9.若函数对任意都有，则 ( ) D A.2或0 B.0 C.或0 D. 或2 81 解析 由得直线是图象的一条对称轴,所以 ,故选D. 82 10.[江苏南通中学2023高一期末] 函数，，满足 . 若在上有两个实根，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 83 解析 , 的图象关于直线 对称, ,,解得 , . 又, . . 84 方法一：, , 即, , 设, , 则在 上有两个实根, 85 即函数与的图象在 上有两个交点,如图所示, 当时, , ,即 ,故选A. 方法二：在 上有两个实根, 函数与的图象在 上有两个交点, 86 如图所示, 当时, , ,即 ,故选A. 87 11.[江苏盐城多校2023高一期末联考] 已知函数，若 为偶函 数，在区间内单调，则 的最大值为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 88 解析 由于函数为偶函数,故直线为函数 图象的一条对称轴, 所以 ,,则, . 又,即,解得 . 又,,所以 的最大值为4, 当时,在 内单调递增,满足要求, 故 的最大值为4.故选B. 89 12.，， 的值从大到小的排列顺序为______________________. 解析 ,函数在上单调递减, . 90 13.当时，函数 的最小值是____. 解析 当时, ,函数 .故当 时,函数取得最 小值 . 91 规律方法 求形如,, 的函数的值域或最值时,可以通过换元 （令,）,将原函数转化为关于 的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程 中要注意正弦函数的有界性．当函数形式为,, 时,可利用 转化后再利用上述方法进行求解. 92 14.已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数 ， 使，则实数 的最小值是__. 解析 因为,所以对任意的实数,,, . 由于存在唯一的实数,使 , 则在上单调,且的最小值域为, . 因为,所以, . 所以 , 所以实数的最小值是 . 93 15.[江西南昌2024高一开学考试] 已知函数 的图象关于 直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为 . （1）求 的最小正周期和单调递增区间； 【解】函数,其图象两相邻对称中心之间的距离为 ,则 ,解得.函数的图象关于直线 对称, 则 , 解得 . 94 由于,则 , 故函数 . 所以的最小正周期 . 令 , 解得 , 所以函数的单调递增区间为 , . 95 （2）若函数为偶函数，求 的最小值. 【解】函数 为偶函数, 则 , 解得 , 当时, . 96 规律方法 求三角函数单调区间的两种方法 （1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角（或 ,利用简单的三角函数 的单调性来求所要求的复杂三角函数的单调区间； （2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下 降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间. 97 16.[江苏泰州靖江中学2023高一段考] 已知函数 . （1）求 的单调递减区间、图象的对称轴和对称中心； 【解】由 , ,解得, , 所以的单调递减区间是, . 由,,解得,,所以图象的对称轴为直线, . 由,,解得,,所以图象的对称中心是, . 98 （2）若定义在区间上的函数 的最大值为6,最小值为，求实数 , 的值. 【解】依题意 , 由,得 , 所以 , . 函数 的最大值为6,最小值为 , 若,则解得 若,则解得 综上所述,或 99 17.已知函数（其中），对任意实数，在区间 上要使函数值 出现的次数不少于4次且不多于8次，求 的值. 100 思路导引 分析条件,即,对函数 ,在一个周期内 有两个,使得.区间 的长度为3,即3不小于2个周期且小于4个周期,列出不等式组, 即可求出 的值. 101 【解】由 , 得 . 函数在每个周期内有两次出现函数值为,区间的长度为3, 为了使长度为3 的区间内出现函数值 不少于4次且不多于8次,必须使3不小于2个周期且小于4个周期. 即,且 , 解得 . 又, ,3. 102 18.[北京大学2023强基计划] 函数在 上的最大值是___. 解析 画出函数,,在上的大致图象如图.当 时, ,则 , 函数在上的最大值是 . 103 7.3 课时2 正切函数的图象与性质 刷基础 104 1.下列图形分别是①；②；③；④在 内的大 致图象，那么由到 对应的函数关系式应是( ) D a b c d A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 题型1 图象的理解 105 解析 在上是单调递减的,只有图象符合,即 对应③.故选D. 题型1 图象的理解 106 2.函数 在一个周期内的图象是( ) A A. B. C. D. 题型1 图象的理解 107 解析 当时,,排除C,D；当时, ,排除B.故选A. 题型1 图象的理解 108 3.[陕西咸阳2024高一期末] 与函数 的图象不相交的一条直线是( ) C A. B. C. D. 题型2 定义域、值域 109 解析 令,得.令,得 .故选C. 题型2 定义域、值域 110 4.函数在上的最大值为7，最小值为3，则 为( ) B A. B. C. D. 题型2 定义域、值域 111 解析 ,, , 又函数在上的最大值为7,最小值为3,,即 . 根据正切函数在上单调递增,则在 上单调递减, ,,则 , ,,, ,故选B. 题型2 定义域、值域 112 5.函数 的定义域是_____________________. , 解析 由题意得,即,所以,所以 , . 题型2 定义域、值域 113 6.函数与函数的最小正周期相同，则 ( ) A A. B.1 C. D.2 题型3 奇偶性、对称性、周期性 114 解析 因为函数与函数的最小正周期相同,所以 , 所以 ,故选A. 题型3 奇偶性、对称性、周期性 115 7.（多选）[重庆一中2024高一期末] 对于函数 ，下列说法正确的是( ) BC A.函数的最小正周期是 B.函数的图象的对称中心是 C.函数的图象的对称轴是直线 D.不等式的解集是 题型3 奇偶性、对称性、周期性 116 解析 函数的最小正周期为 ,A错误； 由,解得,则函数的图象的对称中心是 , B正确； 函数的图象是由把在轴下方的图象翻折到上方, 轴上方的图象保持不变得到 的,所以,解得 , 所以函数的图象的对称轴是直线 ,C正确； 不等式即,则 , 解得,即不等式的解集是 ,D错误.故 选 . 题型3 奇偶性、对称性、周期性 117 8.[河北邢台部分学校2024高一月考] 已知函数 的图象关于原点中心对 称，则 的最小值为__. 解析 因为 的图象关于原点中心对称, 所以,,又,故的最小值为 . 题型3 奇偶性、对称性、周期性 118 9.（多选）[江苏镇江部分学校2024高一期末联考] 下列不等关系成立的是( ) ABD A. B. C. D. 题型4 单调性 119 解析 对于A,,故, , 故 ,A正确； 对于B,,则,, , 则 ,B正确； 对于C, ,故,, , 故 ,C错误； 对于D,,则,, , 故,D正确,故选 . 题型4 单调性 120 10.（多选）[河北沧州部分学校2024高一联考] 已知函数，若 在区间 内单调递增，则实数 的可能取值是( ) BC A. B. C. D. 题型4 单调性 121 解析 因为,故, , 由函数在区间 内单调递增, 得,所以.故选 . 题型4 单调性 122 $$