1.1 集合的概念与表示-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (苏教版)

数学 必修第一册 SJ 1 1.1 1.1 集合的概念与表示 刷基础 2 1.[天津南开区2024高一质量检测] 下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2024年入学的全体高一年级新生;② 的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有学 生;④不等式 的所有正整数解. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 集合的含义与元素的特征 3 解析 对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合, 故①正确； 对于②： 的所有近似值,根据精确度不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能构成集 合,故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故③错误； 对于④：不等式 的正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确. 故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 4 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定,即是否能找到一个明确的 标准,确定任意一个对象是不是给定集合中的元素. 题型1 集合的含义与元素的特征 5 2.[四川成都树德中学2024高一期中] 集合中实数 的取值范围是( ) D A.或 B.且 C.或 D.且 题型1 集合的含义与元素的特征 6 解析 由集合中元素的互异性可知,,解得且 , 所以实数的取值范围为且 . 故选D. 题型1 集合的含义与元素的特征 7 3.由实数,,,,, 所组成的集合，最多可含有的元素个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型1 集合的含义与元素的特征 8 解析 由题意,,,可分别化为,,,所以由实数,,,,, 所组 成的集合,最多可含有3个元素,分别为,,,此时且 ．故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 9 名师点拨 判断集合中的元素个数时,要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个元素,即集合 中的元素满足互异性. 题型1 集合的含义与元素的特征 10 4.[江苏徐州高级中学2024高一期中] 下列关系式中，表达正确的个数为( ) ；；； . A A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 元素与集合的关系 11 解析 对于①, ,①错误； 对于②, ,②正确； 对于③, ,③错误； 对于④, ,④错误. 故正确的个数为1.故选A. 题型2 元素与集合的关系 12 5.[辽宁重点高中协作校2024高一期中] 已知集合，且是 中的一个元 素，则 ( ) A A. B.或3 C.3 D.或 题型2 元素与集合的关系 13 解析 集合,且 . ①当时,,此时,,集合 中的元素不满足互异性,故不符合题意,舍去； ②当时,（舍）或 , 若,则,此时集合 ,符合题意. 综上所述, .故选A. 题型2 元素与集合的关系 14 6.（多选）[山西省实验中学2023高一月考] 已知，，为非零实数，代数式 的值所组成的集合是 ，则下列判断正确的是( ) CD A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 15 解析 ,,同为正数时,代数式的值为4,所以；当,, 中只有一个负数或有两个负数时,代数 式的值为0，所以；当,,同为负数时,代数式的值为,所以.故选 . 题型2 元素与集合的关系 16 7.已知集合,且 . （1）判断是否为 中的元素； 【解】因为,此时,,不满足,所以 不是 集合 中的元素. （2）设，求证： ； 【证明】因为,所以 .因为 ,都是整数,且,所以 . 题型2 元素与集合的关系 17 （3）求证：若，则 是偶数. 【证明】因为,所以.因为 ,所以 为偶数,即 为偶数. 题型2 元素与集合的关系 18 8.[广东佛山2024高一月考] 方程组 的解用集合表示为( ) C A. B.或 C. D. 题型3 集合的表示方法 19 解析 由解得 所以方程组的解集是或 .故选C. 题型3 集合的表示方法 20 名师点拨 此类题考查集合元素类型的辨析,正确解出方程组,方程组的解是有序实数对,其解集是由 有序实数对构成的集合,容易出现概念混淆,把解集的形式弄错. 题型3 集合的表示方法 21 9.[江苏南京四校2024高一期中] 已知集合，若集合 中只有一个元素， 则实数 的取值的集合是________. 解析 当时,由方程,解得,此时集合 中只有一个元素； 当时,因为集合中只有一个元素,所以,解得 . 综上,实数的取值的集合为 . 名师点拨 当时,利用判别式即可求解 的值. 题型3 集合的表示方法 22 10.[河南商丘名校2024高一期中] 集合 中的元素个数为___. 6 解析 由,可得,又 , 所以的所有可能取值为,,,分别代入可得,, ,1,2,4, 所以集合中共有6个元素. 题型3 集合的表示方法 23 11.[河北石家庄2024高一月考] 定义两种新运算“ ”与“ ”，满足如下运算法则：对任意 的,，有,.若 且，则用列举法表示的 ___________. 解析 当,时, ； 当,时, ； 当,时,.所以 . 题型3 集合的表示方法 24 12.[河北师大附中2024高一月考] 下面选项中的两个集合相等的是( ) C A., B., C., D. , 题型4 集合分类与集合相等 25 解析 对于A,两个集合都是点集,但两个集合的元素不相同,所以不是相等集合,故A错误； 对于B,集合表示数集,有2个元素,分别是1和0,集合是点集,只有1个元素,为 ,所以不是相等 集合,故B错误； 对于C,由,得,即 ,故C正确； 对于D,集合是空集,但集合是非空集,里面有1个元素 ,所以不是相等集合,故D错误.故选C. 特别注意 注意区分数集与点集,分辨集合元素的无序性和有序点对的有序性. 题型4 集合分类与集合相等 26 13.下列四个集合中，是空集的是( ) D A. B. C. D. 题型4 集合分类与集合相等 27 解析 ,,方程无解, ,故选D. 题型4 集合分类与集合相等 14.（多选）下列集合是无限集的是( ) ABD A.是能被3整除的数 B. C. D.是面积为1的菱形 题型4 集合分类与集合相等 29 解析 对于A,能被3整除的数有无数个,所以为无限集； 对于B,满足的实数有无数个,所以集合 为无限集； 对于C,该集合可表示为 ,为有限集； 对于D,面积为1的菱形有无数个,所以为无限集. 故选 . 题型4 集合分类与集合相等 30 15.[山东菏泽2023高一月考] 下列表述正确的是( ) C A. B. C. D. 题型4 集合分类与集合相等 31 解析 对于A, 不包含任何元素,故 ,A错误； 对于B,为点集, 为数集,B错误； 对于C,因为 ,所以两集合相等,C正确； 对于D, ,D错误.故选C. 题型4 集合分类与集合相等 32 归纳总结 两集合相等的常见考法及解法 （1）若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除不满足集合元素互异 性或与已知相矛盾的情形. （2）若两个集合中元素均有无限个,则要看两集合的代表元素是否一致,再看代表元素满足的条件 是否一致.若均一致,则两个集合相等. 题型4 集合分类与集合相等 33 16.[江苏徐州2023高一期末] 集合.若，则 ___. 2 解析 因为,所以或 . 若,则或,当时, ,不满足元素的互异性,舍去； 当时, ,满足题意. 若,则,此时,不满足元素的互异性,舍去.综上, . 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 34 易错警示 本题是含参数的集合问题,根据题意求出参数的值后要注意检验代入参数的值后是否满 足集合中元素的互异性.本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性. 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 35 17.[江西部分学校2024高一联考] 若集合 ，则( ) B A. B. C. D. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 36 解析 由已知 , 令,,解得, , 又,则,化简得 .故选B. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 37 18.（多选）[福建泉州2024高一期中] 给出下列说法，其中正确的是( ) AD A.集合用列举法表示为 B.实数集可以表示为为所有实数或 C.方程组的解组成的集合为 D.方程的所有解组成的集合为 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 38 解析 对于A,解,得或或,而,因此列举法表示为 ,A正确； 对于B,符号“”已包含“所有”“全体”等含义,而“ ”已表示所有的实数构成的集合,则实数 集可以表示为为实数或 ,B不正确； 对于C,方程组的解是有序实数对,而 表示两个等式组成的集合,C不正确； 对于D,由得且,则所有解组成的集合为 ,D正确.故选 . 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 39 易错警示 注意区分点集和数集,常用集合,, 等外面不需要再加大括号. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 19.[山东淄博2024高一月考] 定义集合，若， ，则 中元素的个数是___. 8 解析 因为定义集合 , 又,,,,,,,, , 所以集合 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个. 易错点3 不理解新定义的集合（运算）而致错 41 易错警示 若集合中的元素是自定义的,对自定义的正确理解是解题的关键. 易错点3 不理解新定义的集合（运算）而致错 20.集合，， ，且 ， ，则有( ) B A. B. C. D.不属于，， 中的任意一个 易错点4 不理解集合中元素的确定性而致错 43 解析 ,., , .故选B. 易错点4 不理解集合中元素的确定性而致错 44 易错警示 注意理解集合中元素的确定性,即元素满足的特定要求及元素的形式. 易错点4 不理解集合中元素的确定性而致错 21.[2019全国高中数学联赛吉林预赛] 若集合， ，则集 合 中所有元素的和为( ) B A. B. C. D. 解析 由题意可得,则集合B中所有元素的和为 .故选B. 46 22.[2021全国高中数学联赛浙江预赛] 给定实数集合， ，定义运算 .若 ，，则 中的 所有元素之和为_________. 29 970 解析 由 ,可知所有元素之和为 . 47 $$