3.1.3 函数的奇偶性-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教B版)

数学 必修第一册 RJB 1 3.1 3.1 函数的概念与性质 2 3.1 3.1.3 函数的奇偶性 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.（多选）下列说法正确的是( ) AB A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B.图象关于 轴对称的函数是偶函数 C.奇函数的图象一定过坐标原点 D.偶函数的图象一定与 轴相交 题型1 函数奇偶性概念的理解 5 解析 由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确； 对于C，如， ，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错 误； 对于D，如，，它是偶函数，但它的图象不与 轴相交，所以D说 法错误. 故选 . 题型1 函数奇偶性概念的理解 6 名师点拨 关于函数奇偶性的一些结论 （1）具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称； （2）在原点处有意义的奇函数，必有 . 题型1 函数奇偶性概念的理解 7 高中必刷题 主讲老师 2.若函数 为奇函数，则必有( ) B A. B. C. D. 题型1 函数奇偶性概念的理解 9 解析 为奇函数， . 又， .故选B. 题型1 函数奇偶性概念的理解 10 高中必刷题 主讲老师 3.函数 的图象( ) A A.关于原点对称 B.关于轴对称 C.关于轴对称 D.关于直线 对称 题型2 函数奇偶性的判断 12 解析 选项A,将点的坐标代入得，所以 的图象关于原 点对称，A正确； 选项B，将点的坐标代入得，所以的图象不关于 轴对称， B错误； 选项C，将点的坐标代入得，所以的图象不关于 轴对称， C错误； 选项D，将点的坐标代入得，所以的图象不关于直线 对 称，D错误.故选A. 题型2 函数奇偶性的判断 13 高中必刷题 主讲老师 4. （多选）[广东珠海四校2024高一期中联考] 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是( ) BD A. B. C. D. 题型2 函数奇偶性的判断 15 解析 的定义域是 , 故函数为非奇非偶函数,故A错误； 的定义域为,其图象的对称轴为直线,故函数是偶函数且在区间 上单调递 增,故B正确； 令,,则,则 是奇函数,故C错误； 令,,则,则为偶函数,当 时, 单调递增,故D正确.故选 . 题型2 函数奇偶性的判断 16 链接教材 本题是教材第111页例1的同类试题，考查函数奇偶性的判断.判断函数的奇偶性： （1）先判断函数的定义域是否关于原点对称,如果函数的定义域不关于原点对称，则一定不是奇 函数，也不是偶函数,若定义域关于原点对称，则进行下一步; （2）求，判断与之间的关系，从而判断函数 的奇偶性. ① 是奇函数； ② 是偶函数； ③且 既是奇函数又是偶函数; ④且 为非奇非偶函数. 题型2 函数奇偶性的判断 17 高中必刷题 主讲老师 5.[广东广州育才中学2024高一期中] 设奇函数的定义域为，当 时，函数的图象如图所示，则使的 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 19 解析 因为函数是奇函数,所以在上的图象关于坐标原点对称,由 在 上的图象,知它在 上的图象,如图所示. 所以由题可知使的的取值范围为 .故选B. 题型3 函数奇偶性的应用 20 高中必刷题 主讲老师 6.[湖北武汉名校联盟2024高一期中联考] 已知函数是定义在区间 上的奇函数，则 ( ) C A.0 B.1 C.2 D.4 题型3 函数奇偶性的应用 22 解析 函数是定义在区间上的奇函数,则 ,解得 ,定义域为,则,得 . 验证：,定义域为, ,则函数为奇函数,满足题意.故 .故选C. 题型3 函数奇偶性的应用 23 高中必刷题 主讲老师 7.[辽宁大连2024高一期中] 设函数，若 是奇函数， 则 ( ) C A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 25 解析 因为,所以 . 因为 是奇函数, 所以,即 , 又,所以,解得 , 所以,所以 . 故选C. 题型3 函数奇偶性的应用 26 多种解法 ,根据反比例型函数的对称性,可得 的图象关于点 对称,于是只需将的图象向左（右）平移个单位长度,再向上平移 个单位长度即可 得新图象关于原点对称.由于是奇函数,所以 的图象向右移动了2 023 个单位长度,即,得.所以,所以 . 题型3 函数奇偶性的应用 27 高中必刷题 主讲老师 8.[四川德阳2024高一月考] 已知函数对任意的，有 ，设函数 ，且在区间上单调递增.若，则实数 的取值范 围为( ) A A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 29 解析 因为函数对任意的,有, ,则 ,所以函数 为偶函数. 又函数在区间上单调递增,所以由,得 ,即 ,则,解得 , 故实数的取值范围为 .故选A. 题型3 函数奇偶性的应用 30 名师点拨 由及,可得函数 为偶函数,根据条件就构造了新 的有奇偶性的函数. 题型3 函数奇偶性的应用 31 易错点1 忽略函数的定义域而致错 主讲老师 9.关于函数与 的奇偶性，下列说法正确的是 ( ) D A.两函数均为偶函数 B.两函数都既是奇函数又是偶函数 C.函数和 是非奇非偶函数 D.函数既是奇函数又是偶函数， 是非奇非偶函数 易错点1 忽略函数的定义域而致错 33 解析 函数的定义域满足即，因此函数 的定义 域为,，关于原点对称.此时，满足,，所以函数 既 是奇函数又是偶函数.函数的定义域为 ，不关于原点对称，所以函数 是非奇非偶函数. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 34 易错警示 根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义 域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足, 判断函数的奇 偶性. 若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数.本题中的两个函数，虽然 化简后都为0，但是由于定义域不同,因此函数既是奇函数又是偶函数， 是非奇非偶函数. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 35 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 主讲老师 10.［辽宁沈阳实验中学2024高一期中］已知定义在上的奇函数满足对任意, 且，都有，且，则不等式 的解 集是( ) B A. B. C. D. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 37 解析 因为对任意,且 ,都有 , 所以,即 , 由于是定义在上的奇函数,所以在 上单调递增. 又,,所以作出 的大致图象,如图所示. 由不等式,得或 根据图象可知,的取值范围是 . 综上所述,不等式的解集为 .故选B. 不妨设,则,则,所以在 上单调递增. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 38 易错警示 求解与奇、偶函数有关的不等式问题要考虑奇、偶函数在定义域内关于原点对称的两 个区间的单调性,本题的易错之处是只考虑在上单调递增的性质,而忽视在 上也单调递增造成错解.为避免此类问题出现错误,可根据函数的奇偶性、单调性作出函数的大致 图象,根据图象解不等式. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 39 3.1 3.1.3 函数的奇偶性 刷提升 40 高中必刷题 主讲老师 1.[江苏常熟2024高一期中] 已知函数 ，则下列函数为奇函数的是( ) D A. B. C. D. 42 解析 由题得 . 对于A选项,,定义域为 ,为非奇非偶函数； 对于B选项,,定义域为 ,为非奇非偶函数； 对于C选项, ,为非奇非偶函数； 对于D选项,,定义域为 ,为奇函数. 故选D. 43 多种解法 , 故此函数图象的对称中心为,由函数图象的平移变化可知 是将原相应函数的图 象向左平移1个单位长度,再向上平移一个单位长度,原相应函数图象的对称中心也会从 变为 ,故 为奇函数. 44 高中必刷题 主讲老师 2.奇函数在上的解析式是，则函数在 上的解析式是( ) B A. B. C. D. 46 解析 ,则,由已知可得 . 因为为奇函数,所以,所以 .故选B. 47 高中必刷题 主讲老师 3.[四川成都石室中学2024高一月考] 函数 的图象大致是( ) A A. B. C. D. 49 解析 的定义域为,由,得函数 为奇函数,则排除B选项； 由,得 ,则排除C,D选项.故选A. 50 高中必刷题 主讲老师 4.[山东济宁2024高一期中] 已知函数是偶函数，当, 时， 恒成立，设，，，则,, 的大小关系 为( ) C A. B. C. D. 52 解析 当时,恒成立, 当 时, ,即 , 函数在 上单调递减. 函数是偶函数,即 , 函数的图象关于直线 对称, , , , 即, ,故选C. 53 高中必刷题 主讲老师 5.[广东深圳2024高一期中] 已知函数，则不等式 的解集是 ( ) A A. B. C. D. 55 解析 由题意知函数,定义域为 ,且图象关于原点对称, 满足,即 为奇函数. 又在 上单调递增, 不等式可化为,,得 , 即的解集是 , 故选A. 56 规律方法 解形如 类型的不等式,需要利用奇偶性进行转化,再利用单调性得到 括号内数的大小关系. 57 高中必刷题 主讲老师 6.（多选）[湖南常德2023高一阶段考试] 某 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如 ，其中，.已知定义在 上不恒 为0的函数，对任意,，有且满足 ， 则( ) AD A. B. C.是偶函数 D. 是奇函数 59 解析 根据定义可得, , . 令,则 ,A正确； 令,则,得,令,则 ,得 ,B错误； 令,,则,即,又定义域为,所以 是奇函数, 故C错误,D正确.故选 . 60 名师点拨 对于抽象函数,赋值法是很好的处理手法,常令,0, 等探究抽象函数的单调性和奇偶性. 61 高中必刷题 主讲老师 7.[山东潍坊2024高一期中联考] 已知，分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则 ____. 63 解析 由题可得 , 与相加得 , 故, , 故 . 64 多种解法 由题得,,又为奇函数, 为偶函数,所以 ,所以,同理得.所以 . 65 高中必刷题 主讲老师 8.[辽宁重点高中协作体2024高一期中] 已知定义在上的函数为常数 .若 ，则 ________. 2 023 67 解析 设,则 ,故 ,且定义域为 , 是奇函数,,与相加得 , . 68 高中必刷题 主讲老师 9.[江苏南京2024高一期中] 已知函数 . （1）证明： 是奇函数； 【证明】令,则,所以 . 的定义域为,关于原点对称, ,所以 是奇函数. 70 （2）若不等式成立，求实数 的取值范围. 71 【解】因为不等式,且 是奇函数,所以 . 作出 的图象,如图所示. ①当,即时,则有,解得 ,所以 ； ②当,即或 时,则有 ,解得,所以 ； ③当,即或 时,不成立. 综上,实数的取值范围是 . 72 规律方法 判断函数奇偶性常用的方法 （1）定义法； （2）图象法. 要结合具体函数选择合适的方法求解. 73 高中必刷题 主讲老师 10.[上海交通大学2022强基计划] 偶函数满足，求 ___. 0 解析 令,得 , 又是偶函数,所以 , 所以,所以 , 故是以4为周期的函数,所以 . 75 $$