3.1.2 函数的单调性-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教B版)

数学 必修第一册 RJB 1 3.1 3.1 函数的概念与性质 2 3.1 课时1 函数的单调性 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.设是定义在 上的函数. ①若存在,,,使成立，则函数在 上是增函数； ②若存在,,，使成立，则函数在 上不可能是减函数； ③若存在,对于任意都有成立，则函数在 上是减函数. 以上真命题的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型1 单调性定义的理解 5 解析 对于①，若对任意,,,使成立，则函数在 上是增函数，故 ①不正确； 对于②，由减函数的定义知，必须有任意,,，使成立，即若存在 , ,，使成立，则函数在 上不可能是减函数，故②正确； 对于③，由于，则，结合可知函数在 上不可能是减函 数，故③不正确. 所以真命题的个数为1，故选B. 题型1 单调性定义的理解 6 高中必刷题 主讲老师 2.（多选）[浙江宁波2024高一期中] 函数是上的减函数，且 ，则下 列选项正确的是( ) ABC A. B. C. D. 题型1 单调性定义的理解 8 解析 A,B选项,是上的减函数,且,故 ,则 ,A,B正确； C,D选项,因为,,所以, ,C 正确,D错误. 故选 . 题型1 单调性定义的理解 9 规律方法 利用定义判断函数单调性的步骤 （1）在定义域内任取 . （2）计算 并化简整理. （3）判断 的正负. （4）得出结论,若,则单调递增；若,则 单调递减. 题型1 单调性定义的理解 10 高中必刷题 主讲老师 3.[北京人大附中2024高一期中] “函数在区间 上不是增函数”的一个充要条件是( ) B A.“存在，，使得且 ” B.“存在，，使得且 ” C.“存在，使得 ” D.“存在，使得 ” 题型1 单调性定义的理解 12 解析 若函数在区间 上是增函数, 即任意,,使得且 , 则若函数在区间 上不是增函数, 即存在,,使得且 .故选B. 题型1 单调性定义的理解 13 高中必刷题 主讲老师 4.[河北沧州七县2024高一期中联考] 如图是函数 的图象，其定义域为 ，则函数 的单调递减区间是( ) C A. B. C., D. 题型2 确定函数的单调性及单调区间 15 解析 若函数单调递减,则对应图象呈下降趋势,则由题图知,的单调递减区间为 , ,故选C. 题型2 确定函数的单调性及单调区间 16 特别注意 解题时需注意单调区间不能用“ ”连接. 题型2 确定函数的单调性及单调区间 17 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[陕西咸阳高新一中2024高一质量检测] 下列函数中，在区间 上单调递增的是 ( ) ABC A. B. C. D. 题型2 确定函数的单调性及单调区间 19 解析 作出,,,的图象如图所示,则由函数的图象知, , 在上单调递增,在上单调递减.故选 . 题型2 确定函数的单调性及单调区间 20 高中必刷题 主讲老师 6.已知函数在定义域上单调递增，则函数 的单调递增区间是( ) D A. B. C. D. 题型2 确定函数的单调性及单调区间 22 解析 因为函数的定义域为,所以函数的定义域满足 ,即 . 令,则在上单调递增,在上单调递减,又在 上单调递增, 所以函数的单调递增区间为 .故选D. 题型2 确定函数的单调性及单调区间 23 高中必刷题 主讲老师 7.[福建三明一中2024高一月考] 函数 的单调递减区间是______________. , 解析 当或时, , 图象的对称轴方程为 , 当时,,图象的对称轴方程为 , 作出 的图象如图所示, 由图可知,的单调递减区间为, . 题型2 确定函数的单调性及单调区间 25 高中必刷题 主讲老师 8.[江西部分高中2024高一联考] 已知函数，则“”是“在 上单调递 减”的( ) A A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 题型3 函数单调性的应用 27 解析 若,任取,,且,则 恒 成立,则在 上单调递减； 若在 上单调递减, 则任取,,且 , 恒成立, 又,,且,所以,,故 , 所以“”是“在 上单调递减”的充要条件. 故选A. 题型3 函数单调性的应用 28 高中必刷题 主讲老师 9.[山东济南2023高一期中] 已知函数，若对任意,，且 ，不 等式恒成立，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 30 解析 已知对任意,，且，有，所以函数在 上单 调递增. 当时， ，显然单调递减，不满足题意; 当时，函数为二次函数，故解得 .故选D. 题型3 函数单调性的应用 31 高中必刷题 主讲老师 10.[广东深圳高中2023开学考试] 已知函数是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 33 解析 因为函数是定义在上的减函数，且，所以 ， 解得，所以实数的取值范围是 ，故选C. 题型3 函数单调性的应用 34 高中必刷题 主讲老师 11.[辽宁大连八中2024月考] 已知函数的图象关于直线对称，且对任意的 ， ，总有 ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 36 解析 已知对任意的,，有，不妨设 ，则有 . 因为，所以，即，所以 在 上单调递增. 因为的图象关于直线对称，所以 ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误，D正确.故选D. 题型3 函数单调性的应用 37 高中必刷题 主讲老师 12.已知在区间上是增函数，,且 ，则下列不等式中正确的是( ) B A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 39 解析 由，可得且，又函数在区间 上是增函数，所以 且，所以 .故选B. 题型3 函数单调性的应用 40 高中必刷题 主讲老师 13.[湖北孝感2024高一期中] 若函数与在区间 上都单调递减， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 42 解析 由题意,函数的图象对应的抛物线开口向下,对称轴为直线,故 在 上单调递减, 若在区间上单调递减,则,解得 . 函数,若在区间上单调递减,则 ,且 或,即或 . 综上,实数的取值范围是 ,故选A. 题型3 函数单调性的应用 43 归纳总结 含参数的单调性问题,应先分析函数的单调性情况,求出函数的单调区间,再结合题中给出 的函数的单调性信息,转化为区间的包含关系,最后由区间的包含关系得到关于参数的不等式 （或不等式组）进行求解. 注意根据二次函数在某一区间上单调性求参数的范围时,利用二次函数图象的对称轴在区间外部或 端点处列不等式求解. 题型3 函数单调性的应用 44 高中必刷题 主讲老师 14.[江苏南京2024高一期中] 定义在上的函数满足:,，且 ，都 有成立，且，则不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 46 思路导引 对题中所给不等式进行变形得到新函数 的单调性,并把所求不等式不等号右 边的2转化为新函数的函数值,最后利用新函数的单调性转化为自变量的不等式求得解集. 题型3 函数单调性的应用 47 解析 令,因为,,且 , 都有成立,不妨设,则 , 故,则,即,所以在 上单调递增. 又因为,所以,故可转化为 , 所以由的单调性可得,即不等式的解集为 .故选D. 题型3 函数单调性的应用 48 高中必刷题 主讲老师 15.已知函数,且 ，都有 ，则实数 的取值范围为______. 题型3 函数单调性的应用 50 解析 由题意可知，在上单调递增，要使在上单调递增，则 ， 即 . 要使在上单调递增，则 . 又，所以 . 综上可知 . 题型3 函数单调性的应用 51 高中必刷题 主讲老师 16.[河北名校联合体2024高一联考] 已知满足 . （1）求 的解析式； 【解】令,,则 , 则,所以, . 题型3 函数单调性的应用 53 （2）解不等式 . [答案] 易知在 上单调递减, 因为, , 所以若,则,即,则 或 解得或 , 所以不等式的解集为 . 题型3 函数单调性的应用 54 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 主讲老师 17.[山东青岛2023高一期中] 若函数在上单调递减，则实数 的取值范围是______. 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 56 解析 当时,,显然此函数在 上单调递减； 当时,函数图象的对称轴为直线,要使函数在 上单调递减, 只需满足解得 . 综上所述,实数的取值范围是 . 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 57 易错警示 形如型函数的单调性问题,由于 的值不确定,因此函数不一定是二 次函数,要对 的取值进行分类讨论.本题的易错之处是忽视二次项系数为0的情况. 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 58 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 主讲老师 18.[山东泰安一中2024高一期中] 若实数，函数在 上是单调函数， 则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 60 解析 因为实数且函数在上是单调函数,所以在 上单调递增, 所以解得 , 所以的取值范围为 .故选C. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 61 易错警示 对于分段函数在实数集 上的单调递增（减）的问题,除了保证在定义域的每一个区间 上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.若函数是增函数,则在分界点处左边 函数值小于或等于右边函数值；若函数是减函数,则在分界点处右边函数值小于或等于左边函数值, 这样才能满足在 上单调递增（减）,否则求出的参数的取值范围会出现错误. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 62 3.1 课时2 函数的最大（小）值 刷基础 63 高中必刷题 主讲老师 1.设函数的定义域为，以下三种说法：①若存在常数，使得对任意，有 ， 则是的最大值；②若存在，使得对任意，有，则是 的最 大值；③若存在，使得对任意，且，有，则是 的最大值. 其中正确说法的个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 65 解析 由函数最大值的概念知②③正确. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 66 高中必刷题 主讲老师 2.[山东省实验中学2023高一月考] 设函数在区间上的最大值和最小值分别为 ， ,则 ( ) C A.4 B.6 C.10 D.24 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 68 解析 因为，所以在上是减函数.所以 ， .所以 .故选C. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 69 高中必刷题 主讲老师 3.[江西师大附中2024高一期中] 函数， 的值域是( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 71 解析 , 当时,单调递增,,且当时, , 当时,单调递增,,且当时, , 故函数,的值域是 .故选C. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 72 高中必刷题 主讲老师 4.[重庆渝东九校2024高一期中] 定义新运算当时，；当 时， ，则函数, 的最大值为( ) B A. B.5 C. D.0 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 74 解析 当时,,此时 ； 当时,,此时 . 综上所述,函数 的最大值为5. 故选B. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 75 高中必刷题 主讲老师 5. [陕西西安2024高一月考] 已知函数在上的值域为 ，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型2 由函数最值求参数 77 解析 二次函数图象的对称轴为直线，在 上的值域为 ，，由图可知 .故选A. 链接教材 本题是教材第107页练习A第6题的变式与延伸，考查二次函数的最值与值域.对不含参 数的二次函数，结合图象的开口方向和对称轴，分析其在给定区间上的单调性，求出最值和值域； 若二次函数或给定区间含参数，则要对对称轴与区间的关系进行分类讨论，分别讨论对称轴在区 间左侧、区间内、区间右侧时函数的单调性，分析出其在对应情况下的最值与值域.做题时可以画 出函数简图帮助分析. 题型2 由函数最值求参数 78 高中必刷题 主讲老师 6.[四川成都树德中学2024高一期中] 已知函数，的最小值为8，则实数 的取 值范围是( ) D A. B. C. D. 题型2 由函数最值求参数 80 解析 , 因为在 上的最小值为8, 所以当时, , 所以 , 易知反比例型函数在 上单调递减, 所以在 处取到最小值8, 即,所以 .故选D. 题型2 由函数最值求参数 81 高中必刷题 主讲老师 7.[河南信阳高级中学2024高一月考] 已知若是 的最小值， 则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型2 由函数最值求参数 83 解析 当时, , 所以要使是的最小值,则 , 又当时, , 当且仅当 时取等号, 所以,即,又因为,所以 .故选C. 题型2 由函数最值求参数 84 归纳总结 本题中分段函数的最小值应该是两段最小值中的较小者,故应分析两段的最小值并给出 它们的不等关系. 题型2 由函数最值求参数 85 高中必刷题 主讲老师 8.[重庆田家炳中学2023高一月考] 已知函数，则函数 的值域为 ________；记函数的值域为，若，则 的最小值为___. 5 题型2 由函数最值求参数 87 解析 所以函数的值域为 . 令,，设 ，则 ，因为 ，所以 ,,则，所以，即，所以函数 在 上单调递增，所以，即 的最小值为5. 题型2 由函数最值求参数 88 高中必刷题 主讲老师 9.[四川雅安2024高一期中] 已知函数 . （1）当时，用定义法证明是 上的增函数； 【证明】设,则 , 因为,所以,, , 则,所以 , 故是 上的增函数. 题型2 由函数最值求参数 90 （2）若的最小值为2，求实数 的值. 题型2 由函数最值求参数 91 【解】当时,由得的定义域为 , 设,则 , 因为,所以,, , 则,所以,故是 上的增函数. 所以,解得 ,满足条件. 当时,由得的定义域为 , 题型2 由函数最值求参数 92 设,则 , 因为,所以,, , 则,所以,故是 上的增函数. 所以,解得 ,满足条件. 综上,或 . 题型2 由函数最值求参数 高中必刷题 主讲老师 10.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为 和 .若该公司在两地共销售15辆该品牌车，则能获得的最大利润为( ) C A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 题型3 函数的最大（小）值的实际应用 95 解析 设公司在甲地销售辆，则在乙地销售 辆，公司总获利 ， 当或 时， 最大,为120万元. 题型3 函数的最大（小）值的实际应用 96 高中必刷题 主讲老师 11.[山东潍坊2023高一期中] 某教育公司开发了一系列网络课程，现进行为期60天的线上销售. 据市场调查，每天购买网络课程的人数和购课者在该平台的人均消费（单位：元）均为时间 （单位：天）的函数，且每天购买网络课程的人数近似地满足 ，且 ，，购课者在该平台的人均消费为 .已知 第一天销售收入为19.52万元，该公司第天的销售收入记为 . （1）求 的函数解析式. 【解】由题意知 . 由，得，所以，故 题型3 函数的最大（小）值的实际应用 98 （2）当为何值时， 最小？求此最小值. [答案] 当， 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时函数 的最小值为115 200； 当，时， ， 因为,都是上的减函数，故也是减函数，此时函数 的最小 值为，因为，所以当取60时， 取得最小值，最小值为 85 400元. 题型3 函数的最大（小）值的实际应用 99 高中必刷题 主讲老师 12.[山东济宁2024高一期中] 设函数，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型4 恒成立与能成立问题 101 解析 , 即在区间 上恒成立. 令,则的图象开口向上且对称轴为 轴. 若,此时,而不恒为负数,所以 不恒成立,矛盾； 若,此时,要使得,则恒成立,而在 上单调递增,所 以,所以只需满足,解得或 （舍去）,故选B. 题型4 恒成立与能成立问题 102 高中必刷题 主讲老师 13.[重庆巴蜀中学2024高一月考] ， 恒成立的充要条件是( ) C A. B. C. D. 题型4 恒成立与能成立问题 104 解析 因为, 恒成立,所以 , , , , 令,（当时取等号）,所以 恒成立, 易知当时,二次函数,取得最小值,最小值为 ,所以 . 故选C. 题型4 恒成立与能成立问题 105 规律方法 不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化 ①若在上恒成立,则 ； ②若在上恒成立,则 ； ③若在上有解,则 ； ④若在上有解,则 . 题型4 恒成立与能成立问题 106 高中必刷题 主讲老师 14.[湖南师大附中2024高一期中] 已知函数， . （1）当时，解不等式 ； 【解】当时,,由可得,解得或 ,故当 时,不等式的解集为 . 题型4 恒成立与能成立问题 108 （2）若，使得，求实数 的取值范围. [答案] ,使得,即,则 . 令,,则,则 , 因为函数,在 上均单调递增, 所以函数在上单调递增,则 , 故,即实数的取值范围为 . 题型4 恒成立与能成立问题 109 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 主讲老师 15.（多选）已知函数的定义域为，值域为，则 可能的取值是 ( ) BCD A.1 B.2 C.3 D.4 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 111 解析 因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以在 上的最小值为，且 . （1）当时，由值域为，可知必有 , 所以且，解得，此时 . （2）当时，由值域为，可知必有 , 所以且，解得，此时 . 综上可知，,所以可能的取值有2,3,4,故选 . 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 112 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 主讲老师 16.[辽宁大连2024高一月考] 已知函数， . （1）若函数在区间上的最小值为，求实数 的值； 【解】函数的图象开口向上，对称轴为直线 .当 时，在区间上的最小值为 ,解得 .又 ，故符合题意. 当时，在区间上的最小值为,解得，又 ， 故不符合题意. 综上所述， 的值为2. 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 114 （2）对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数 的取 值范围. 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 115 [答案] 依题意，对于任意实数，存在实数，不等式 恒成立， 所以在区间上的“最大值”小于在区间 上的最大值. 对于，任取 ， ，由于 , ,，所以,即，所以在区间 上单 调递增，最大值为 . 函数的图象开口向上，对称轴为直线，当 , 即时，，则,解得，所以 . 当,即时，，则,解得 ，所 以 . 综上所述，的取值范围是 . 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 116 易错警示 含参数的二次函数最值问题，要对参数进行分类讨论，分类标准的确定是关键，可以 考虑二次函数图象的开口方向、对称轴等，分类标准要做到不重不漏.本题（1）（2）问都对 进 行分类讨论，结合二次函数的性质求得 的值或取值范围. 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 117 3.1 课时3 函数的平均变化率 刷基础 118 高中必刷题 主讲老师 1.[山东青岛第五十八中学2024测试] 函数，则自变量从2变到时函数值的增量 为( ) C A.8 B. C. D. 题型1 平均变化率的计算 120 解析 因为，所以 ，故选C. 题型1 平均变化率的计算 121 高中必刷题 主讲老师 2.[黑龙江齐齐哈尔八中2024月考] 已知函数的图象上一点 及邻近一点 ，则 ( ) C A.4 B. C. D. 题型1 平均变化率的计算 123 解析 ， ， 故选C． 题型1 平均变化率的计算 124 高中必刷题 主讲老师 3.若函数，当时，函数的平均变化率为3，则 ( ) B A. B.2 C.3 D.1 题型1 平均变化率的计算 126 解析 由题意得，所以 .故选B. 题型1 平均变化率的计算 127 高中必刷题 主讲老师 4.若函数从至的平均变化率的取值范围是，则 的取值范围 为( ) B A. B. C. D. 题型1 平均变化率的计算 129 解析 由题意得，从 至 的平均变化率为， ，故选B． 题型1 平均变化率的计算 130 高中必刷题 主讲老师 5.[辽宁名校联盟2024高一联考] 函数在区间 上的平均变化率为____. 题型1 平均变化率的计算 132 解析 函数在区间上的平均变化率为 . 题型1 平均变化率的计算 133 高中必刷题 主讲老师 6.如图是函数 的图象. （1）函数在区间 上的平均变化率为__； 题型1 平均变化率的计算 135 解析 函数在区间上的平均变化率为 . 题型1 平均变化率的计算 136 （2）函数在区间 上的平均变化率为__. 解析 由函数的图象知，所以函数在区间 上的平均变化率 为 . 题型1 平均变化率的计算 137 高中必刷题 主讲老师 7.[北京大兴区2023高一段考] 如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的 水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设,, 分别表示在区间, 上的平均变化率，则( ) A A. B. C. D.无法确定 题型2 平均变化率的应用 139 解析 由容器的形状可知，在相等的时间间隔内，高度的增加量越来越小，所以 在区间 ,上的平均变化率由大变小，即 .故选A. 题型2 平均变化率的应用 140 高中必刷题 主讲老师 8.过曲线上两点和作割线，当时，割线 的斜率为_____. 4.1 解析 因为割线的斜率，所以当 时，割线 的斜率为4.1. 题型2 平均变化率的应用 142 高中必刷题 主讲老师 9.汽车行驶的路程和时间之间的变化规律如图所示,在时间段,, 内的平均速度 分别是,, ,则三者的大小关系为_____________. 解析 ，， ， 由题图得， . 题型2 平均变化率的应用 144 高中必刷题 主讲老师 10.用平均变化率证明：函数在上是减函数，并求在区间 上满足 时， 的取值范围. 【证明】设,则 由于，则，因此函数 在区间 上是减函数. 由函数的单调性可知函数在区间上是减函数，要使函数在区间上满足 ，则只 要在区间上的最大值即可，则，所以，即 的取值范围为 . 题型2 平均变化率的应用 146 易错点 求函数的平均变化率时忽视隐含条件而致误 主讲老师 11.若函数在区间上的平均变化率为5，则 ( ) C A. B.2 C.3 D.1 易错点 求函数的平均变化率时忽视隐含条件而致误 148 解析 因为函数在区间上的平均变化率为5，所以 ， 解得或.又，所以 .故选C. 易错点 求函数的平均变化率时忽视隐含条件而致误 149 易错警示 本题求解函数在给定区间上的平均变化率时，在求出或后,应注意区间 的隐含条件 的限制. 易错点 求函数的平均变化率时忽视隐含条件而致误 150 3.1 课时3 函数的平均变化率 刷提升 151 高中必刷题 主讲老师 1.[山东济宁2024高一期中] 下列函数中，满足“对任意的，使得 ” 成立的是( ) A A. B. C. D. 153 解析 根据题意,对任意的,,使得,则函数在 上单调递减. 对于选项A,为二次函数,其图象开口向下且对称轴方程为 , 所以在 上单调递减,符合题意； 对于选项B,,因为在上单调递增,在 上单调递增,所以由单 调性的性质知,在 上单调递增,不符合题意； 对于选项C,为一次函数,易知在 上单调递增,不符合题意； 对于选项D,在 上单调递增,不符合题意. 故选A. 154 高中必刷题 主讲老师 2.[福建泉州2023高一期中] 若函数在上的最小值为，则实数 ( ) D A.2或 B.1或 C.2 D.1 156 解析 函数的图象开口向上,且对称轴方程为 . ①当时,函数在上单调递增,则,由,得 ,不符 合 ； ②当时,函数在上单调递减,在 上单调递增, ,由,得或 ,又 , 符合； ③当时,函数在 上单调递减, ,由,得,又, 不符合.综上 可得 ,故选D. 157 高中必刷题 主讲老师 3.[辽宁重点高中联合体2024高一联考] 若“， ”为真命题， 则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 159 解析 原不等式可化为 , 令,是关于 的一次函数, 因为“, ”为真命题, 所以或 , 即或,解得或 , 所以的取值范围为 .故选B. 160 高中必刷题 主讲老师 4.已知是定义在上的减函数，对任意，，恒成立.若 ， 则 的解集为( ) B A. B. C. D. 162 解析 因为对任意，， 恒成立， 所以， ， 则由，得 . 又是定义在上的减函数，所以，解得 . 因此，不等式的解集为 .故选B. 163 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[辽宁大连八中2023高一期中] 定义：若函数在区间上的值域为 ，则称 区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为 .已知函 数 ，则( ) ABC A.是 的一个“完美区间” B.是 的一个“完美区间” C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 165 解析 . 作出函数 的图象如图所示. 对于A，当时，，其值域为 ，满足“完美区间”的定义，所 以A正确. 对于B，当时，函数，所以当 时， ，又当时，，所以当时函数 的定义域与值域 相同，所以B正确. 对于C,D，设区间为函数的“完美区间”，因为，所以 . 当时，，此时，所以在 内单调递减， 166 则满足化简可得，即，所以 或 ，解得（舍）或，由解得或 （舍），由A 知,满足原方程组，所以此时“完美区间”为，则“复区间长度”为 . 当时，①若，则，此时，若在 上的值域为 ，则,，因为，所以，即 ，解得 ，（舍）.所以此时“完美区间”为 ，则“复区间长度”为 . ②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为 ， 则则,为方程的两个不等实数根，所以与 矛 盾，所以此时不存在“完美区间”. 综上可知，函数的“复区间长度”的和为 ，所以C正确，D错 误.故选 . 高中必刷题 主讲老师 6.[广东深圳高级中学2023高一期中] 函数 的单调递减区间为________. 170 解析 ,即,解得 . 函数图象的对称轴为直线 , 当时,单调递增,当时, 单调递减,根据复合函数 的单调性可知,的单调递减区间为 . 171 高中必刷题 主讲老师 7.[江苏泰州中学2024高一期中] 已知在 上单调递增， 在上为增函数，则是 的________________.（在“充分不必要 条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写） 必要不充分条件 173 解析 因为 在 上单调递增, 所以当时, ,满足题意； 当时,则有,解得 . 综上,实数的取值范围为 . 因为在 上为增函数, 所以解得 . 若成立,则一定成立,反之则不一定成立,所以是 的必要不充分条件. 174 高中必刷题 主讲老师 8.[重庆南开中学2024高一段考] 已知函数，且满足, . （1）判断在 上的单调性，并用定义证明； 176 【解】由函数满足, , 可得解得则 . 在 上单调递增,证明如下： 任取,,且 ,则 ,由 ,可得 ,又,,,则,即,所以 在 上单调递增. 177 （2）设，若对任意的，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 178 [答案] 对任意的,由在 上单调递增, 可得,即 , 则在上的值域 . 函数图象的对称轴为直线 , 当时,在 上单调递增, 值域 , 由题意可得,则解得 ； 当时,在 上单调递减, 179 值域 , 由题意可得,则解得 . 综上,实数的取值范围为 , . 高中必刷题 主讲老师 9.[北京大学2022强基计划] 已知是二次函数,，且，则 ____. 36 182 解析 由,可设,则由 得,所以,且 ,整理后即为 . 由得 . 若,则必有,此时与 矛盾, 所以且,整理后为 ,与 相加即得,即,所以 ,所以 . 又由于在原不等式中令可得,所以,由此解得 .所以 ,所以 . 183 $$