3.1.1 函数及其表示方法-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教B版)

数学 必修第一册 RJB 1 3.1 3.1 函数的概念与性质 2 3.1 课时1 函数的概念 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[安徽师范大学附中2023高一选科诊断] 下列说法正确的是( ) D A.函数的定义域和值域一定是无限集 B.函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应 C.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 题型1 函数定义的理解 5 解析 函数的定义域和值域也可以是有限集,A错误. 对于定义域中的每一个数,在值域中都有唯一的数和它对应,反之则不然,故B错误,D正确 显然 错误.故选D. 题型1 函数定义的理解 6 高中必刷题 主讲老师 2.[湖北荆州中学2024高一月考] 已知集合,,, ， 则 中的元素有( ) D A.0个 B.1个 C.2个 D.至多1个 题型1 函数定义的理解 8 思路导引 集合, 分别是由两个函数图象上的点构成的集合,它们的交集由两个函数图象的交点构成. 题型1 函数定义的理解 9 解析 集合A是由函数的图象上的点组成的集合,集合B是直线 上的点组成的集合, 当时,是唯一确定的值,当时,不存在,所以直线与函数 的 图象至多只有一个交点,即集合 中至多只有1个元素.故选D. 题型1 函数定义的理解 10 高中必刷题 主讲老师 3.[四川眉山两校2024高一期中联考] 已知集合， ，那么下 面的 4 个图形中，能表示从集合到集合 的函数图象的个数为( ) A 图① 图② 图③ 图④ A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 函数定义的理解 12 解析 由题图①知 ,不符合函数的定义域,故题图①错误； 由题图②知, ,符合函数的定义,故题图②正确； 由题图③知 ,不符合函数的值域,故题图③错误； 由题图④知,对于内任意一个实数 都有两个值与之对应,不符合函数的定义,不是函数图象,故 题图④错误. 故选A. 题型1 函数定义的理解 13 特别注意 从图象角度判断是否为某集合到另一集合的函数,需要注意定义域的完整性、每一个实 数对应唯一确定的值 、值域为对应集合的子集. 题型1 函数定义的理解 14 规律方法 此类判断函数图象的问题需要注意以下几点 （1）在定义域内每个实数都要有对应的函数值 ； （2）一个不能对应多个,即画一条与 轴垂直的直线,与函数图象至多只有一个交点； （3）函数值不能超出给定函数值的集合. 题型1 函数定义的理解 15 高中必刷题 主讲老师 4. 函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 17 解析 函数需满足且,得且 ,所以 的定义域为 .故选D. 题型2 函数的定义域 18 链接教材 本题是教材第91页例1的同类试题，考查函数定义域的求解. 求函数的定义域需注意如下两点: （1）0不作分母,0没有0次方； （2）偶次根号下被开方数需要大于或等于0. 题型2 函数的定义域 19 高中必刷题 主讲老师 5.[河北师大附中2024高一期中] 已知函数的定义域是，则函数 的定 义域是( ) A A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 21 解析 函数的定义域是 , 解得,且 , 函数的定义域是 ,故选A. 题型2 函数的定义域 22 归纳总结 求解抽象函数定义域问题的注意事项 （1）自变量始终是,定义域始终是指 的取值范围； （2）括号内范围不变,即,,的后面括号中的,, 的取值范围要保持一致. （3）若函数的定义域为,则求出在上的值域即得 的定义域；若函数 的定义域为,则解不等式即可求出 的定义域. 题型2 函数的定义域 23 高中必刷题 主讲老师 6.[湖北武汉2024高一月考] 若函数的定义域为，则实数 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 25 解析 因为的定义域为 , 所以 恒成立. 当 时,显然成立； 当时,有解得 . 综上可得,实数的取值范围为 .故选C. 题型2 函数的定义域 26 高中必刷题 主讲老师 7.[辽宁沈阳市郊联体2024高一期中] 已知函数，若，则 的值为( ) A A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 28 解析 由,得,解得 .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 29 高中必刷题 主讲老师 8.[四川成都2024高一期中] 下列函数中，值域为 的是( ) C A.， B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 31 解析 对于A,的值域为 ,A错误； 对于B,的值域为 ,B错误； 对于C,由得 , 即的定义域为,当 时, , ,C正确； 对于D,当时,,当且仅当 时取等号, ,D错误.故选C. 题型3 函数值与函数的值域 32 高中必刷题 主讲老师 9.[浙江九校2024高一联考] 函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 34 解析 由可得 , 由于函数,所以 , 故 ,故选B. 题型3 函数值与函数的值域 35 思路导引 借助配凑法分离常数后,利用二次函数的性质并结合不等式的性质求解值域. 题型3 函数值与函数的值域 36 高中必刷题 主讲老师 10.[山西太原外国语学校等2024高一联考] 函数 的值域是( ) A A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 38 解析 令,得,故函数的定义域为 ,所以 .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 39 归纳总结 求函数值域的常用方法 ①观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点” 和“最低点” ,观察求得函数的值域. ②配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,再结合二 次函数的性质求函数的值域. ③换元法:对含有根号的函数,可以通过对函数解析式的适当换元（注意新元的取值范围）,将复杂 的函数转化为简单的函数,进而利用基本函数的取值范围求函数的值域. ④分离常数法:先将形如且 的函数解析式分离常数,变形过程为 ,再结合的取值范围确定 的取值范围,从而确定函数的值域. ⑤均值不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次函数结构的函数, 一般通过变形使之具备 “一正、二定、三相等”的条件,利用均值不等式法求值域. 题型3 函数值与函数的值域 40 高中必刷题 主讲老师 11.[河南南阳一中2023月考] 已知函数的定义域与值域均为，则实数 的值为( ) A A. B. C. D.1 题型3 函数值与函数的值域 42 解析 的解集为, 方程的解为或,且 , , , . 又 函数的值域为 , , .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 43 规律方法 已知函数的值域求参数问题的解题思路 （1）注意调整思维方向,根据值域的含义,将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题; （2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围. 题型3 函数值与函数的值域 44 高中必刷题 主讲老师 12.下列函数中，与函数 有相同图象的是( ) D A. B. C. D. 题型4 相同函数 46 解析 一个函数与函数 有相同图象时,这两个函数应是同一个函数. 的定义域为 ,定义域不相同,故不是同一个函数； 的定义域为 ,定义域不相同,故不是同一个函数； 的定义域为,定义域不相同,故不是同一个函数；的定义域为 ,定义域相 同,且, ,函数对应关系也相同,故是同一个函数.故选D. 题型4 相同函数 47 高中必刷题 主讲老师 13.[广东珠海四校2024高一期中联考] 下列选项中表示同一函数的是( ) D A.与 B.与 C.与 D.与 题型4 相同函数 49 解析 ,与, 定义域不同,故A错误； ,与, 定义域不同,故B错误； 与 的对应关系不同,故C错误； ,与, 的定义域和对应关系均相同,为同一函数,故D 正确. 故选D. 题型4 相同函数 50 高中必刷题 主讲老师 14.已知集合,，下列对应关系能够构成从到 的函数的是 ( ) A A. B. C. D. 题型5 函数对应关系的表示 52 解析 对于,对于任意,在 中都存在唯一确定的元 素与之对应,满足函数定义,A正确； 对于,当时,在 中无元素与之对应,不满足函数定义,B错误； 对于,当时,在 中无元素与之对应,不满足函数定义,C错误； 对于,当时,在 中无元素与之对应,不满足函数定义,D错误. 故选A. 题型5 函数对应关系的表示 53 规律方法 判断所给对应关系 是否构成函数的方法 ①观察两个数集, 是否非空； ②验证对应关系下,集合中的任意性,集合中 的唯一性. 题型5 函数对应关系的表示 54 高中必刷题 主讲老师 15.[广东深圳2024高一期中] 若函数，则 ( ) B A. B.0 C.1 D.3 题型5 函数对应关系的表示 56 解析 ,令,得 .故选B. 题型5 函数对应关系的表示 57 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 主讲老师 16.有如下对应关系： （1），，，， ； （2），0，，， ； （3），， ； （4），， ； （5），，， . 其中能构成从集合到集合 的函数的有____________.（填序号） （1）（4） 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 59 解析 （1）由函数的定义知,满足题意； （2）当时, 中不存在元素与之对应,不满足题意； （3）当时, 没有意义，不满足题意； （4）由函数的定义知,满足题意； （5）集合 不是数集,故不满足题意. 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 60 易错警示 判断集合, 之间的对应关系是否为函数时必须满足： （1）,必须是非空数集,且集合中任一元素在集合 中有且只有一个元素与之对应； （2）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系. 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 61 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 主讲老师 17.[山东枣庄三中2024高一月考] 函数的定义域为，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 63 解析 因为函数的定义域为 , 所以关于的方程 无实数解, 当时, 显然无解,符合题意； 当时,则,解得 . 综上可得 .故选D. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 64 易错警示 本题关于的函数的定义域为等价于方程 无实数解,由于二次项系数 含参数,一定要分和 两种情况讨论. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 65 易错点3 忽略函数的定义域而致错 主讲老师 18.[北京清华附中2024高一期中] 函数, 的值域为( ) A A. B. C. D. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 67 解析 因为图象的对称轴为直线,所以当时,取得最小值.当 时, ,当时,,因此函数,的值域为 ,故选A. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 68 易错警示 求解二次函数在给定区间的值域问题,应结合二次函数的图象或者对称轴与区间的关系 确定函数的最值,进而确定值域. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 69 易错点4 混淆自变量的判定而致错 主讲老师 19.[重庆一中2023高一期中] 函数的定义域为，则函数 的定义域为 ________. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 71 解析 因为的定义域为,所以,即的定义域为 . 因为,所以,所以函数的定义域为 . 易错点4 混淆自变量的判定而致错 72 易错警示 抽象函数的自变量始终是 ,不要把中间变量和自变量混淆了. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 73 易错点4 混淆自变量的判定而致错 主讲老师 20.已知函数的定义域为，则函数 的定义域为___________________. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 75 解析 已知函数的定义域为,所以函数的定义域为.在函数 中, ,,所以或,所以函数的定义域为 , , . 易错点4 混淆自变量的判定而致错 76 易错警示 若的定义域为,则解不等式即可求出 的定义域； ②若的定义域为,则求出在上的值域即得 的定义域. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 77 3.1 课时1 函数的概念 刷提升 78 高中必刷题 主讲老师 1.已知集合，，则从到的函数 有( ) D A.8个 B.6个 C.7个 D.9个 80 解析 集合中有两个元素,若在集合B中都对应相同的元素,则有3种情况： , ；,；, . 若在集合B中都对应不同的元素,则有6种情况：,；, ； ,；,；,；, .所以从A到B的 函数 有9个.故选D. 81 高中必刷题 主讲老师 2.[广东广州2024高一期中] 函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 83 解析 由题意知解得且 , 故函数的定义域为 .故选C. 84 高中必刷题 主讲老师 3.函数的定义域为，则函数 的定义域为( ) A A. B. C. D. 86 解析 由函数的定义域为 , 可知函数的定义域为,即 . 则函数满足即解得 .所以函数 的定义域为 .故选A. 87 高中必刷题 主讲老师 4.[安徽合肥一中2024高一期中] 函数 的值域为( ) A A. B. C. D. 89 解析 由题意,函数 , 令,则,可得 , 故的值域为 .故选A. 90 规律方法 求分式型函数的值域常用技巧——分离常数、裂项,此题在裂项之后再结合不等式的性 质求函数的值域. 91 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[江苏常州四校2024高一期中联考] 若某函数的定义域与其值域的交集是 ，则称 该函数为“交汇函数”.下列函数是“ 交汇函数”的是( ) AB A. B. C. D. 93 解析 由“交汇函数”的定义可知“ 交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为 . 对于选项A,的定义域,值域,则 ,A正确； 对于选项B,的定义域,令,则 , 值域,则 ,B正确； 对于选项C,,,, ,定义域 ,值域,则 ,C错误； 对于选项D,的定义域 ,由题可得 ,, ,即 , ,即值域,则,D错误.故选 . 94 归纳总结 求函数的定义域,主要包括:偶次根式中被开方数不小于0、分母不为0、自变量的实际意 义等；求函数的值域实际上就是求函数的最值问题（如无最值则为无穷大或无穷小）,但要注意值 域是否连续. 95 高中必刷题 主讲老师 6.[浙江嘉兴四校2024高一联考] 已知函数的定义域为，满足 ， 当时，总有，则 的值是( ) B A. B. C. D. 97 解析 在等式中,令可得,令 ,可得 , 因为当时,总有,所以 , 所以,解得 . 98 高中必刷题 主讲老师 7.已知函数，则 ____. 100 解析 令,则 , 将其代入中得,即,则 . 101 多种解法 令,解得,则 . 102 高中必刷题 主讲老师 8.[江西景德镇2024高一月考] 若函数的定义域为，则实数____，实数 的 取值范围为________. 104 解析 因为函数的定义域为则 而函数的定义域为,所以,,即, . 105 高中必刷题 主讲老师 9.[河北衡水中学2023高一期中] 已知函数 . （1）若函数的定义域为，求实数 的取值范围； 【解】因为函数的定义域为,所以在 上恒成立. 当时, ,不符合题意； 当时,要使在上恒成立,即在 上恒成立,只需 解得,所以实数的取值范围为 . 107 （2）若函数的值域为，求实数 的取值范围. [答案] 当时, ,符合题意； 当时,要使函数的值域为,只需解得 .综上 所述,实数的取值范围为 . 108 名师点拨 定义域为等价于根号下被开方数大于或等于0在上恒成立,值域为 等价于根号 下被开方数可以取遍非负数,再结合图象和判别式求参数的取值范围. 109 高中必刷题 主讲老师 10.[山东临沂2024高一段考] 已知函数 . （1）求与，与 的值. 【解】, ； , . 111 （2）由（1）中求得的结果，你能发现与 有什么关系？证明你的发现. [答案] 由（1）中求得的结果,归纳推理可得 . 证明： . 112 （3）求 的值. [答案] 因为 , 所以 . 113 归纳总结 类似第（3）问求很多函数值之和的问题,往往不是一一代入求值,多观察所求函数值对 应自变量的关系,找规律后再求和. 114 3.1 课时2 函数的表示方法 刷基础 115 高中必刷题 主讲老师 1.已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于 的函数可表示为( ) B A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 117 解析 由得.又由，可得，.又 ， ，故选B. 题型1 函数的三种表示法 118 高中必刷题 主讲老师 2.某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩（总分120分）如表所示： 考试次数 1 2 3 4 5 成绩 分 90 102 106 105 106 则下列说法正确的是( ) B A.成绩不是考试次数的函数 B.成绩是考试次数 的函数 C.考试次数是成绩的函数 D.成绩不一定是考试次数 的函数 题型1 函数的三种表示法 120 解析 题表中列出了两个变量：考试次数、成绩，它们之间有对应关系，根据函数的定义可得B正确. 题型1 函数的三种表示法 121 高中必刷题 主讲老师 3.[河南新乡一中2024月考] 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点 出 发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点运动的时间为，线段的长度为 ，表 示与 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( ) B A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 123 解析 根据函数图象可知,函数图象具有对称性,故C错误； 对于A,由等边三角形可知,线段 的长度先增大再减小,再增大,后减小,故A错误； 对于D,由圆可知,线段 的长度不会是线性变化,故D错误； 对于B,由正方形可知,线段 的长度先增大再减小,且一开始线性增大,符合题意,故B正确.故选B. 题型1 函数的三种表示法 124 高中必刷题 主讲老师 4.[湖北荆州中学2024高一月考] 已知函数和的对应关系如表所示，则 ___， 若，则实数 的取值集合为________. 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 2 题型1 函数的三种表示法 126 解析 根据题中表格可得 , 所以 . 根据题中表格可得, 当时,满足题意,此时 ； 当时,满足题意,此时 ； 当时,满足题意,此时 . 综上可得,实数的取值集合为 . 题型1 函数的三种表示法 127 高中必刷题 主讲老师 5.一个弹簧不挂物体时长 ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比.若挂 上物体后弹簧总长是，则弹簧总长与所挂物体质量 之间的函数解析式为 ___________________.（注：弹簧始终在弹性限度内） 题型1 函数的三种表示法 129 解析 设所求函数解析式为，把，代入，得 ，解 得，所以所求的函数解析式为 . 题型1 函数的三种表示法 130 高中必刷题 主讲老师 6.（多选）下列关于分段函数的说法正确的是( ) BC A.分段函数在每段自变量取值区间内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B.则 C. 是分段函数 D.分段函数的定义域都是 题型2 分段函数 132 解析 A.分段函数在每段自变量取值区间内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函 数，故A错误； B.由函数的解析式可知B正确； C. 是一个分段函数，C正确； D.分段函数的定义域不都是，D错误.故选 . 题型2 分段函数 133 特别注意 对于分段函数的概念，需注意： （1）分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集，值域是各段函数值范围的并集. 题型2 分段函数 134 高中必刷题 主讲老师 7.[江西部分学校2024高一期中联考] 已知定义在上的函数 则“ ”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型2 分段函数 136 解析 若,则,所以 . 若,则,所以 . 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B. 题型2 分段函数 137 思路导引 探究“”是“ ”的什么条件,需要从函数值研究自变量,还需要从 自变量研究函数值. 题型2 分段函数 138 高中必刷题 主讲老师 8.[河北邯郸八校2024高一期中] 已知函数若，则 ( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型2 分段函数 140 解析 ,,解得 .故选B. 题型2 分段函数 141 归纳总结 求分段函数的函数值的方法 （1）求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析 式求值； （2）当出现 的形式时,应从内到外依次求值； （3）当自变量所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点. 题型2 分段函数 142 高中必刷题 主讲老师 9.[辽宁大连2023高一期末] 函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 题型2 分段函数 144 解析 由题意得 函数图象如图所示. 所以函数的值域为 .故选B. 题型2 分段函数 145 高中必刷题 主讲老师 10.已知函数的图象如图所示，则 的解析式是_ ________________________. 解析 当时，设，将， 代入解析式， 得解得 当时，设，将代入，得 . 所以的解析式为 题型2 分段函数 147 高中必刷题 主讲老师 11.[山东德州2024高一月考] 已知函数,，令 则不等式 的解集是__________. 题型2 分段函数 149 解析 由题知,当 时, 即,解得,此时, ； 当时,即,解得或 , 此时, 由,得或或 解得或无解.综上, . 题型2 分段函数 150 高中必刷题 主讲老师 12.[山西部分学校2024高一期中] 如图，四边形是矩形，,, 是等腰直 角三角形.点从点出发，沿着边,运动到点，点在边,上运动，直线 .设点 运动的路程为,的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为.当点在线段 上 运动时， 的解析式为( ) A A. B. C. D. 题型3 函数解析式的求法 152 解析 因为是等腰直角三角形, , 所以.当点在线段上运动时,, .故选A. 题型3 函数解析式的求法 153 高中必刷题 主讲老师 13.[辽宁锦州一中2023高一月考] 已知是一次函数，且，则 的解析式 为( ) B A. B. C. D. 题型3 函数解析式的求法 155 解析 设,则，即 ， 所以解得所以 ，故选B. 题型3 函数解析式的求法 156 高中必刷题 主讲老师 14.[安徽阜阳二中2024高一月考] 已知函数，则函数 的解析式是 ( ) B A.， B.， C.， D.， 题型3 函数解析式的求法 158 解析 ,且 ,所以 , .故选B. 题型3 函数解析式的求法 159 多种解法 （换元法）令,,则, , ,即, . 题型3 函数解析式的求法 160 高中必刷题 主讲老师 15.已知是一次函数，且，则 的解析式为( ) A A.或 B.或 C.或 D.或 题型3 函数解析式的求法 162 解析 设，则 ，即 对任意的恒成立，所以解得或所以 的解析式为或 .故选A. 题型3 函数解析式的求法 163 归纳总结 求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 ，再利用题目中给的已知 条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定系数. （2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令 ， 解出，然后代入中即可求得，从而可得 ，要注意新元的取值范围. （3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出 的解析式. （4）构造方程组法（消元法） 主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根 据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 题型3 函数解析式的求法 164 高中必刷题 主讲老师 16.[江苏苏州大学附中2024高一期中] 设是定义在上的函数，已知 满足 ，则 的解析式为______________. 题型3 函数解析式的求法 166 解析 由 ①, 用代替可得 ②, 由可得 . 题型3 函数解析式的求法 167 高中必刷题 主讲老师 17.已知函数，其中是关于的正比例函数，是关于 的反比例函数， 且，，则 的解析式为______________. 题型3 函数解析式的求法 169 解析 设，，则 . 由，，得解得所以 . 题型3 函数解析式的求法 170 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 主讲老师 18.已知函数若，则实数 ( ) A A. B. C.1 D.3 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 172 解析 ，又，所以 . 当时， ，无解； 当时，，解得 . 综上所述， .故选A. 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 173 易错警示 求分段函数的自变量的值，一定要在自变量的范围内. 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 174 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 主讲老师 19.[山东青岛二中2023高一期中] 已知，函数若 ， 则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 176 解析 ，，所以 ，故 .故选B. 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 177 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 主讲老师 20.已知试求使成立的 的取值范围. 【解】，或 解得或，即 ． 的取值范围是 . 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 179 易错警示 求解分段函数问题，必须根据函数的定义域找到相应的函数解析式，而对于含参数的 分段函数求值问题，则应根据参数的范围分类讨论.如本题中的不等式必须是在函数的定义域限制 之下求解. 易错点1 不能正确理解分段函数而致错 180 易错点2 忽略函数的定义域而致错 主讲老师 21.[浙江杭州九校2024高一期中联考] 已知函数，则 的解析式为 ( ) B A. B. C. D. 易错点2 忽略函数的定义域而致错 182 解析 令,,则 , 所以 , 所以 . 故选B. 易错点2 忽略函数的定义域而致错 183 易错警示 已知函数的解析式,求函数的解析式时,若函数 的值域不是 全体实数,则所求得的函数的解析式必须带有定义域（即函数 的值域）. 易错点2 忽略函数的定义域而致错 184 3.1 课时2 函数的表示方法 刷提升 185 高中必刷题 主讲老师 1.以下形式中，不能表示是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 187 解析 根据函数的定义及表示方法可知,只有选项D中可化为或 ,不符合函数的定义,故 选D. 188 高中必刷题 主讲老师 2.[北京大兴2024高一期中] 已知函数则图象与 轴交点的个数是 ( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 190 解析 令 , 当时,由，得 ,显然无实数解； 当时,由，得,解得或 （舍去）. 综上所述,图象与 轴的交点有1个.故选B. 191 名师点拨 函数图象与轴交点的个数等价于方程 的解的个数. 192 高中必刷题 主讲老师 3.[辽宁六校协作体2024高一期中] 对于实数和，定义运算“*”： 设 ，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 194 解析 由可得,由可得 , 所以根据题意得 即作出函数的大致图象如图所示,易知 的图 象开口向下,对称轴为直线,所以当时,函数 的最大值为 ,则根据函数和的图象可知,要使关于 的方程 恰有三个互不相等的实数根,可得实数的取值范围是 . 故选D. 195 名师点拨 对条件方程 恰有三个互不相等的实数根,充分应用数形结合思想,将其转 化为, 图象的交点个数问题,作图分析得参数范围. 196 高中必刷题 主讲老师 4.（多选）[吉林长春外国语2024高一期中] 已知函数 的图象由如图所示的两条线段组成，则 ( ) AC A. B. C.， D.，不等式的解集为 198 解析 选项A,因为,,所以 ,A正确； 选项B,,,所以 ,B错误； 选项C,当时,,当 时, ,符合题中所给图象,C正确； 选项D,由选项C得, ,如图,所以不存在大于零的 实数,使得不等式的解集为,故D错误.故选 . 199 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[河南省实验中学2024高一期中] 给出以下四个判断，其中正确的是( ) ABC A.函数的值域为 B.若函数的定义域为，则函数的定义域为 C.函数的定义域，值域，则满足条件的 有3个 D.若函数，且，则实数的值为 201 解析 对于A选项,,当时,,则 , ,所以 , 所以函数的值域为 ,A正确； 对于B选项,对于函数,,则 , 所以函数的定义域为 , 则对于函数,需满足解得,所以函数 的定义域为 ,B正确； 对于C选项,由,可得 , 所以函数的定义域A可以是或或, , 202 故满足条件的 有3个,C正确； 对于D选项, , 当时,,当且仅当,即当 时,等号成立, 当时, , 当各项不是正数时,要适当变形达到均值不等式“一正”的使用条件 当且仅当,即当 时,等号成立, 所以,其中或 , 由可得 ,D错误. 故选 . 高中必刷题 主讲老师 6.[黑龙江大庆实验中学2024高一月考] 已知集合, ，函数 若且，则 的取值范围为______. 205 解析 若,则 . 令,则,不符合 ； 令,则,不符合 . 若,则 . 令,则,此时 ,符合题意； 令,则,不符合 . 综上,,则 . 206 思路导引 先根据分段函数的解析式,讨论, 分别对应 的的范围,再分类讨论求出的范围,结合确定最终的取值范围,即得 的取值范围. 207 高中必刷题 主讲老师 7.[浙江衢州2023高一联考] 已知函数，,且 的解集为 . （1）求实数， 的值； 209 【解】由题意知,,是方程 的两实数根, 且,则解得 210 （2）用表示，中的较大者，记为,，请画出 的图象， 并求 的值域. 211 [答案] 由题可知, 联立解得或（舍去）,所以当时, 和 图象的交点坐标为 ； 联立解得或（舍去）,所以当时,和 图 象的交点坐标为 . 则的图象如图所示,所以的值域为 . 212 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）［清华大学2021强基计划］已知函数的定义域为,设为常数， , ，则( ) ABC A. B. 恒成立 C. D.满足条件的 不止一个 214 解析 令,可得,因为,所以 ,A正确. 令,可得,代入,可得 ,同理 ,即原等式变形为 ,C正确. 令,可得 ,即函数值非负. 令可得,即,解得,只有1个,故B正确,D错误.故选 . 215 $$