第2章 等式与不等式素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教B版)

数学 必修第一册 RJB 1 2 第二章素养检测 刷速度 2 高中必刷题 主讲老师 建议用时：90分钟 1.不论，为何有理数， 的值均为( ) A A.正数 B.零 C.负数 D.非负数 4 解析 原式， ， ， . 5 高中必刷题 主讲老师 2.[广东广州广雅中学2024高一期中] 下列说法错误的是( ) B A.若，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若,，则 7 解析 因为,且,所以 ,故A正确； 当,时,满足,,此时,不满足 ,故B错误； 因为,所以,又,所以 ,故C正确； 若,,则,即 ,故D正确. 故选B. 8 高中必刷题 主讲老师 3.[辽宁沈阳重点高中2024高一月考] 已知方程的两根分别是和 ，且满 足，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 10 解析 因为方程的两根分别是和，所以 ，解得 或，，，因为 ，所以 ，解得，所以实数的取值范围是 ，故选C. 11 名师点拨 在本题中一元二次方程有两解，注意首先确定 ，再结合根与系 数的关系进行求解. 12 高中必刷题 主讲老师 4.已知关于，的方程组（其中， ）无解，则必有( ) B A. B. C. D. 14 解析 由方程组得，所以题中已知条件可转化为方程 无解， 所以，且，不同时为1，，，所以，即 ．故选B． 15 高中必刷题 主讲老师 5.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数 的最大值为 ( ) D A. B.0 C.1 D.2 17 解析 解,可得或 . 由题意可得 且等号不同时成立， 解得,则实数 的最大值为2.故选D. 18 高中必刷题 主讲老师 6.[山西运城2024高一月考] 若两个正实数，满足，且不等式 有解， 则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 20 解析 ,当且仅当 , 时等号成立. 要使得不等式有解,只需有解即可,解得或 ,故选D. 21 高中必刷题 主讲老师 7.[湖北黄冈2024高一段考] 已知命题“，”为真命题，则实数 的 取值范围是( ) C A. B. C. D. 23 解析 因为命题“,”为真命题,所以命题“ , ”为真命题, 所以时, . 因为,所以当时,,当且仅当 时取得等号. 所以时,,即实数的取值范围是 .故选C. 24 高中必刷题 主讲老师 8.已知正实数，,,满足,,则 的最小值是( ) B A.10 B.9 C. D. 26 解析 ,，,,当且仅当 时取等号，则 ,当且仅当,, 时取等号，故 的最小值为9.故选B. 27 高中必刷题 主讲老师 9.[四川成都2023高一期中] 下列不等式解集为空集的有( ) ACD A. B. C. D. 29 解析 对于A，因为，所以无解，解集为 ； 对于B，的解集为 ； 对于C，因为 ， 所以的解集为 ； 对于D，因为（当且仅当时取等号），所以 的解集为 .故选 . 30 高中必刷题 主讲老师 10.[福建莆田2024高一月考] 下列各式中，最大值是 的是( ) BC A. B., C. D., 32 解析 当且仅当时取等号，因此 无最大值，故A错误； ，由可知，所以，当且仅当 时 取等号，故B正确； 当时，，当时，，当且仅当 时取等号，故C正确； ,,当且仅当 时取等号,故D错误.故 选 ． 33 高中必刷题 主讲老师 11.[江苏苏州2024高一月考] 用表示集合中元素的个数，定义 .已知 集合,，若，则实数 的取值可能为 ( ) BCD A. B. C. D.2 021 35 解析 由已知得，可得，若，则有或 . 当时，方程组中消去有，则，解得 ; 当时，则，解得，可得若，则实数 的取值范围为 ，可知选项满足条件.故选 . 36 高中必刷题 主讲老师 12.若关于的方程组有唯一的一组实数解，则实数 的值为______. 1或 38 解析 显然,联立方程可得,整理得 , 当时方程为一次方程,有唯一解,此时 ； 当时方程为二次方程,若有唯一解,则 ,可得 . 故或 . 39 名师点拨 对于形如的方程,先讨论的情况,若 ，则此时为一次方程,再 讨论 的情况,此时为二次方程. 40 高中必刷题 主讲老师 13.若关于的不等式组的解集为，则实数 的取值范围为______. 42 解析 不等式组的解集为 ， 即不等式与不等式的解集均为 ， 对于不等式，若其解集为，则有，解得 ； 对于不等式，等价于，若其解集为，则有，解得 . 综上所述，实数的取值范围为 . 43 高中必刷题 主讲老师 14.[山西太原2024高一期中] 将均值不等式 推广可得正确结论 ，当且仅当 时，等号成立.利用此结论解决问题：已 知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是___ 时，旋 转形成的圆柱体积最大，其最大值是______ .（答对一空给3分） 6 45 解析 设矩形相邻两边的长分别为, , 则,且 , 设以长度为的边为圆柱的高,则圆柱的体积 , 当且仅当,即, 时取等号, 所以当矩形的长是时,圆柱的体积最大,为 . 46 高中必刷题 主讲老师 15.（本小题满分13分）[辽宁部分学校2024高一期中联考] （1）设，比较与 的大小关系并证明. 【解】 .证明如下： 由 , 因为,所以,, , 所以,所以 . 48 （2）已知，，，求 的最小值. [答案] 因为,,且 , 所以,同理 , 所以 , 当且仅当时等号成立,所以 的最小值为9. 49 高中必刷题 主讲老师 16.（本小题满分15分）[河南洛阳2024高一期中] 已知函数， . （1）若方程有两根，且两根为,，求 的取值范围； 【解】方程 有两根, 可得,解得或 , 且, , 则 . 由或,可得,所以的取值范围为 . 51 （2）已知，关于的不等式的解集为，若 ，求实 数 的取值范围. [答案] 由 , 可得 解得,即实数的取值范围是 . 52 高中必刷题 主讲老师 17.（本小题满分15分）[安徽宣城八校2023高一期中联考] 已知函数 . （1）若恒成立，求实数 的取值范围； 【解】若恒成立，则 恒成立. 当时， 不恒成立； 当时，解得 . 所以实数的取值范围为 . 54 （2）若，且当时，函数有解，求 的取值范围. 55 [答案] 当时，在上有解，即在 上有解.因为的图象开口向上，对称轴为直线 ， ①若，即，当时，函数取得最小值 ，令 ，解得， . ②若，即，当时，函数取得最小值 ，令 ，解得 . ③若，即，当时，函数取得最小值 ，令 ，解得 . 综上，或 . 所以的取值范围为 . 56 高中必刷题 主讲老师 18.（本小题满分17分）[山东普通高中2024高一联考] 某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会 有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3 米，底面面积为16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校 植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开 招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，底面每平方米400元.设水池宽为 米. （1）当宽为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价. 58 【解】设甲工程队的总造价为 元,则 ,当且仅当,即 时等号成立. 即当宽为 时,甲工程队的报价最低,最低为14 400元. 59 （2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元 （整体报价中含固定 费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数 的取值范围. [答案] 由题意可得,对恒成立,即 . 令 , 因为,所以 . 令, , 则在上随 的增大而增大, 且时,,所以,即实数的取值范围为 . 60 高中必刷题 主讲老师 19.（本小题满分17分）[湖南长沙一中2023高一阶段检测] 若实数，， 满足 ，则称比更远离 . （1）若比更远离1，求实数 的取值范围； 【解】由题意可得,即,解得 , 所以实数的取值范围为 . 62 （2）判断是比更远离 的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件），并加以证明； 【解】是比更远离 的充分不必要条件,证明： ①已知,则 ,可得 ,即,所以是比更远离 的充分条件. ②已知比更远离,则,举例,,,满足 , 但不满足,所以不是比更远离 的必要条件. 综上,是比更远离 的充分不必要条件. 63 （3）已知，，若，证明:比更远离 . 【证明】因为, , , 当且仅当即 时,等号成立. 因为,由（2）可知比更远离 ,即得证. 64 $$