2.2.4 均值不等式及其应用-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教B版)

数学 必修第一册 RJB 1 2.2 2.2 不等式 2 2.2 2.2.4 均值不等式及其应用 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[辽宁辽阳2023高一期中] 已知实数，，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 均值不等式的理解 5 解析 因为等价于,所以,,所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 题型1 均值不等式的理解 6 高中必刷题 主讲老师 2.下列不等式恒成立的是( ) D A. B. C. D. 题型1 均值不等式的理解 8 解析 对于A,若,,则 ,故A错误； 对于B,因为,所以,所以,即,当且仅当 时 取等号,故B错误； 对于C,若,,则 ,故C错误； 对于D,因为,所以,即,当且仅当 时取等号,故 D正确.故选D. 题型1 均值不等式的理解 9 二级结论 均值不等式的常用变形 （1）,当且仅当 时,等号成立. （2）当时,,,当且仅当 时,等号成立； 当时,,,当且仅当 时,等号成立. （3）,当且仅当 时,等号成立. （4）若,,,则,当且仅当 时,等号成立. 在利用均值不等式求最值时可以向以上的形式配凑,但要注意,, 的取值范围及取等号的条件. 题型1 均值不等式的理解 10 高中必刷题 主讲老师 3.若，，且，则，，， 中最大的一个是( ) D A. B. C. D. 题型2 利用均值不等式比较大小 12 解析 ,,且 , ,,, , .故选D. 题型2 利用均值不等式比较大小 13 多种解法 此题可以采用特值法求解,例如可取,,可得 最大.故选D. 题型2 利用均值不等式比较大小 14 高中必刷题 主讲老师 4.[江苏淮安2024高一期中] 已知实数，，满足， ，且 ，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 题型2 利用均值不等式比较大小 16 解析 因为,由均值不等式得,当且仅当 时等 号成立,又,所以 . 又, ,两式相减得, ,故 ,所以 ,故,所以 .故选B. 题型2 利用均值不等式比较大小 17 高中必刷题 主讲老师 5.[北京四中2024高一期中] 若，则 的最小值为( ) C A.4 B.6 C.8 D.无最小值 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 19 解析 若,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立, 所以 的最小值为8.故选C. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 20 高中必刷题 主讲老师 6.[山东泰安新泰一中2024高一阶段检测] 已知，则取得最大值时 的值为 ( ) B A. B. C. D. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 22 思路导引 观察和,联想 为定值,构造了“和定积最大”的使用条件,题目 即可转化为求 的最值. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 23 解析 由题可得,,故 ,当且 仅当,即 时取等号. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 24 规律方法 利用均值不等式求最值时,要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”：就是各项必须为正数； （2）“二定”：就是要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值,要求积的最大值,则必 须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用均值不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个最值 就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 25 高中必刷题 主讲老师 7.[四川成都2024高一期中联考] 若，则 的最小值为( ) D A.12 B. C. D. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 27 思路导引 本题基本的解题思路是将变形为 ,由已知条件确 定,且 ,展开后利用均值不等式,即可求得答案. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 28 解析 因为,所以,则 , 故 , 当且仅当,即时等号成立,故的最小值为 ,故选D. 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 29 高中必刷题 主讲老师 8.已知，若在时取得最小值，则 ____. 18 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 31 解析 ,, , 当且仅当,即 时, 取得最小值,,解得 . 题型3 利用均值不等式求最值之无条件求最值 32 高中必刷题 主讲老师 9. 已知，，且，则 的最大值为( ) D A.36 B.4 C.16 D.9 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 34 解析 由题意,得,, ,所以 ,当且仅当即 时取等号.故选D. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 35 链接教材 本题是教材第78页例4的变式，考查根据条件等式求代数式的最值，解题思路是: （1）先观察条件等式和所求式子,由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式； （2）利用均值不等式求代数式的最值； （3）验证取等条件. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 36 高中必刷题 主讲老师 10.[湖北鄂东南示范校2024高一期中联考] 关于的方程 有两个相等的正根， 则 ( ) B A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 38 思路导引 多元问题一元化,依题意可得,,则 ,再利用均值不等式即 可求得最大值. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 39 解析 关于的方程 有两个相等的正根, , , ,当且仅当 时取等 号,所以有最大值 .故选B. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 40 高中必刷题 主讲老师 11.（多选）[黑龙江哈尔滨一中2024高一质量检测] 若,，且 ，则 ( ) ABD A. B. C. D. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 42 思路导引 由变形得,根据可判断选项A； , 利用“乘1法”可判断选项B；根据 可判断选项C； ,利用均值不等式可判断选项D. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 43 解析 ,,,, ,A正确； ,当且仅当 且 ,即, 时等号成立,B正确； ,解得,当且仅当且,即, 时取等号，C错 误； , ,则 ,当且仅当 且 ,即,时取等号,故D正确.故选 . 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 44 规律方法 （ 1）若,,且（,,均为正数）,求（, 均为正数）的最小 值,常将变形为 ,利用“1”的代换求最值. （2）若,,且（,,均为正数）,求的最小值（, 均为正数）,常 将变形为 ,利用“1”的代换求最值. 题型4 利用均值不等式求最值之有条件求最值 45 高中必刷题 主讲老师 12.已知，都是正数，求证： . 【证明】由,都是正数,则,, ,所以 , 即,当且仅当 时取等号. 题型5 利用均值不等式证明不等式 47 高中必刷题 主讲老师 13.[湖南师大附中2024高一月考] 已知，，.求证： . 【证明】因为,,所以,当且仅当时取等号,即有 ,于 是得 ,所以 成立. 题型5 利用均值不等式证明不等式 49 高中必刷题 主讲老师 14.[安徽淮北2024高一月考] 制作一个面积为 ，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种 长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是( ) C A. B. C. D. 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 51 解析 设两直角边的长度分别为,,,,则 ,铁支架框的周长 ,当且仅当 时取等号. 故选C. 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 52 高中必刷题 主讲老师 15.[四川成都石室中学2024高一期中] 石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中 的商品所卖款项将用来支持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调 查.若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件元）在 时，本次活动售出的件数 .若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为____元. 15 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 54 解析 由题意可知,利润为, , 不妨令 , 则利润为 , 当且仅当,即时取等号,此时 , 故销售价格每件应定为15元. 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 55 高中必刷题 主讲老师 16.[江苏连云港高级中学2024高一学情检测] 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 ，深度为 .如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设 计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【解】设池底的一边长为,则另一边长为,总造价为 元,则 , 当且仅当,即时,等号成立,所以当水池设计成底面边长为 的正方形时,总造价 最低,最低为198 400元. 题型6 利用均值不等式求解实际应用题 57 高中必刷题 主讲老师 17.[湖南名校联合体2024期中联考] 已知实数，且满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值为( ) D A.9 B.12 C.16 D.25 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 59 解析 ,当且仅当 ,即 , 时,等号成立. 又不等式恒成立,只需 , 因此,故实数 的最大值为25. 故选D. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 60 高中必刷题 主讲老师 18.若时，不等式恒成立，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 62 解析 不等式恒成立等价转化为 . 因为,所以,则,当且仅当 , 即时等号成立,所以 .故选A. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 63 高中必刷题 主讲老师 19.[山东聊城2023高一期中] 已知，，且，不等式 恒成立，则 正实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 65 解析 由题设得 恒成立,而 ,又,当且仅当 时等号成立,所以 ,当且仅当时等号成立,故 . 故选B. 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 66 规律方法 含参数的不等式恒成立问题,通过分离参数,把参数的取值范围化归为代数式的最值问题. 恒成立,恒成立 题型7 利用均值不等式求解有解或恒成立问题 67 易错点1 忽略应用均值不等式的前提条件而致错 主讲老师 20. 的最大值为_________. 易错点1 忽略应用均值不等式的前提条件而致错 69 解析 ,, . 又 , ,当且仅当,且,即 时,等号成立. 的最大值为 . 易错点1 忽略应用均值不等式的前提条件而致错 70 易错警示 应用均值不等式时,应先将各项化为正值. 易错点1 忽略应用均值不等式的前提条件而致错 71 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 主讲老师 21.（多选）[河南南阳六校2024高一月考] 以下结论正确的是( ) BD A.的最小值是2 B.若,且，则 C.的最小值是2 D.存在,使得不等式 成立 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 73 解析 对于A,当 时,结论显然不成立,故A错误； 对于B,由知,,根据均值不等式可得,当且仅当,即 时 等号成立,故B正确； 对于C,,当且仅当,即 时取等号,又方程无 实数解,故取不到等号,故C错误； 对于D,当时,,即存在,使得成立,故D正确.故选 . 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 74 易错警示 使用均值不等式时注意使用条件：“一正、二定、三相等”,不是正数时可以提出负号转化为正数, 不是定值的时候可以通过配凑转化为定值,不能取等时往往需要转化为对勾函数解决. 对勾函数 的图象如图所示,取不到等号时可结合函数图象求最值. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 75 易错点3 多次应用均值不等式而致错 主讲老师 22.已知，，且，则 的最小值为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 易错点3 多次应用均值不等式而致错 77 解析 ,当且仅当 时,等号成立. 易错点3 多次应用均值不等式而致错 78 易错警示 此题很容易出错,认为,,,错选B,错误的原因是, 不能同时取到 1. 易错点3 多次应用均值不等式而致错 79 2.2 2.2.4 均值不等式及其应用 刷提升 80 高中必刷题 主讲老师 1.[安徽名校联盟2023高一期中] 已知，则 的最小值为( ) C A. B.2 C.1 D. 82 解析 因为 ，所以 ，当且仅当 ，即或 时等号成立，故选C. 83 高中必刷题 主讲老师 2.[黑龙江五地市2024高一期中联考] 已知，，，则 的最小值为 ( ) A A.2 B.3 C. D.4 85 解析 由,,,得 , , , ,,故, , , 当且仅当,结合,即, 时等号成立. 故 的最小值为2.故选A. 86 高中必刷题 主讲老师 3.[江西南昌一中2024高一期中] 若两个正实数，满足，且存在这样的， 使不等 式有解，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 88 解析 由,可得， ， 当且仅当,即时等号成立.所以, ， 解得或，所以实数的取值范围是 .故选C. 89 高中必刷题 主讲老师 4.（多选）[山东临沂第一中学2024高一期末] 下列命题中正确的是( ) ACD A.若，则 B., C.若且，则 D., 91 解析 当时有，则，当且仅当 ，即 时等号成立，A正确； ，等号成立的条件是 ， 即，显然不能成立，故 的等号取不到，B错误； 若且，则，当且仅当，即或 时 等号成立，C正确； ，当且仅当，即 时 等号成立，D正确. 故选 . 92 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[辽宁六校协作体2024高一联考] 已知正实数，满足 ，则下列结论正确 的是( ) AD A.的最小值为24 B.的最大值为 C.的最小值为12 D.的最小值为 94 解析 已知,, , 对于A,,当且仅当,即 , 时,等号成立, 的最小值为24,A正确； 对于B,,所以,当且仅当,即 , 时,等号成立,与 矛盾,B错误； 对于C,,当且仅当,即, 时,等 号成立,与 矛盾,C错误； 对于D,,当且仅当, 时,等号成立, D正确. 故选 . 95 高中必刷题 主讲老师 6.[辽宁大连2023高一期中] 已知,且，则 的最小值等于_________. 97 解析 因为,且 ，所以 ， 当且仅当且，即,时，等号成立，故 的最小值 等于 . 98 高中必刷题 主讲老师 7.已知，，，则 的最大值为__. 100 解析 ，当且仅当 时，等号成立，所 以，所以 . 令，则，所以 ， 当且仅当,即 时，等号成立. 所以的最大值为 . 101 高中必刷题 主讲老师 8.[广东茂名2024高一期中] 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每 月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站 处建仓库，则土地费用和运 输费用分别为2万元和8万元.若要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___ 处. 5 103 解析 设仓库到车站的距离为，每月土地费用为万元，每月货物的运输费用为 万元，由 题意可设，，把,与,分别代入上式得, ， ,，费用之和，当且仅当 ， 即时,等号成立． 当仓库建在离车站 处两项费用之和最小． 104 高中必刷题 主讲老师 9.[河南信阳高级中学2023期末] 已知正数,,满足 . （1）若，求 的最大值； 【解】当时，由可得，则 ，所以 ，当且仅当以及 ，即 时等号成立，所以，又，，所以.所以的最大值为 . 106 （2）证明： . 【证明】由已知可得，，则 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以，同理可得，， ，当且 仅当 时等号同时成立. 所以 . 107 规律方法 （1）均值不等式的变形形式 要熟练掌握和运用；（2）先利用 “乘1法”转化，再使用均值不等式求最值是已知和为定值求倒数和的最值的有利方法 108 高中必刷题 主讲老师 10.[2022全国高中数学联赛江苏选拔赛] 已知正实数，，满足 ，且 ，则 的最大值为___. 110 解析 由,，则，可得，当且仅当 时取等号； 又由可得，由可得 ，则 ，则的最大值为 . 111 高中必刷题 主讲老师 11.[南京大学2022强基计划] 已知，，满足，则 的最小值为___. 解析 已知,,满足，利用柯西不等式 ， 整理得，当且仅当，即,, 时，等号成立，故 的最小值为 . 113 二级结论 柯西不等式：设,,, ，,,,, , 是实数，则 ,当且仅当 或存在一个数，使得 时等号成立. 114 $$