2.2.3 一元二次不等式的解法-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教B版)

数学 必修第一册 RJB 1 2.2 2.2 不等式 2 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[江苏苏州中学2024高一期中] “”是“ ”的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 5 解析 由,解得 , 因为,,故“”是“ ” 的必要不充分条件.故选A. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 6 归纳总结 解一元二次不等式的一般步骤 ①通过对不等式变形,使二次项系数大于零； ②计算对应一元二次方程的判别式； ③求出相应的方程的根,或根据判别式说明方程没有实根； ④根据对应二次函数图象与 轴的位置关系写出不等式的解集. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 7 高中必刷题 主讲老师 2.（多选）[河南豫东名校2023高一调研] 下列不等式的解集为 的是( ) ABD A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 9 解析 即，不等式的解集为 ，A正确； 变形为，即，不等式的解集为 ，B正确； 的解集为或，解集不是 ，C错误； ，因为，不等式两边同时乘，即， ， 故不等式的解集为，D正确.故选 . 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 10 高中必刷题 主讲老师 3.[陕西咸阳实验中学2023高一月考] 关于的不等式的解集是 的子集，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 12 解析 当时，的解集为 ， ，符合条件； 当时，，不等式的解集为 ，所以 ，所以得 ; 当时，，不等式的解集为 ，所以 ，所以得 . 综上， .故选D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 13 高中必刷题 主讲老师 4. [山东济南三中2024高一期末] 已知关于的不等式 . （1）当 时,求此不等式的解集； 【解】当时,不等式为，即,即 ， 所以原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 15 （2）求关于的不等式（其中 ）的解集. [答案] 不等式可化为 ， 即 . 当时，，不等式的解集为或 ； 当时，，不等式的解集为 ； 当时，，不等式的解集为 . 综上所述，当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 16 链接教材 本题是教材第75页练习B第5题的变式，考查含参数的一元二次型不等式的解法，对解 含参数的一元二次型不等式： （1）若二次项系数含有参数，则应对二次项系数大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论.特别 地，如果不等式说明是一元二次不等式，则二次项系数应分大于0、小于0两种情况讨论. （2）若求对应一元二次方程的根需用求根公式，则应对判别式 进行讨论. （3）若求出的两根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 17 高中必刷题 主讲老师 5.[山东青岛2023高一期中] 不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 题型3 分式不等式的解法 19 解析 或 .故选D. 题型3 分式不等式的解法 20 高中必刷题 主讲老师 6.不等式 的解集为( ) C A. B. C. D. 题型3 分式不等式的解法 22 解析 ，即，即，解得或 ， 故选C. 题型3 分式不等式的解法 23 高中必刷题 主讲老师 7.[云南师大附中2024高一月考] 若关于的不等式的解集是 ，则 关于的不等式 的解集是( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型3 分式不等式的解法 25 解析 由题意可得,,即, , 则有,即,解得 或,即解集为或 .故选B. 题型3 分式不等式的解法 26 高中必刷题 主讲老师 8.不等式 的解集为______________________. 题型3 分式不等式的解法 28 解析 不等式，即 ， 即方程 的根有3 （2重根），1，2， ，0（2重根），如图，按照数轴标根法可得不等式的解集为 . 题型3 分式不等式的解法 29 归纳总结 对于高次不等式可利用数轴标根法进行求解，其步骤为:（1）对不等式进行移项并分解 因式，使得不等式右侧为0且的最高次项系数为正，例如本题中需化为 ； （2）解出不等式对应方程的所有根并在数轴上依次标出； （3）以数轴为标准，从最右根的右上方往左下穿线，依据“奇穿偶不穿”原则依次穿过各根； （4）观察不等号方向进行取值. 题型3 分式不等式的解法 30 高中必刷题 主讲老师 9.[河南省实验中学2023高一期中] 关于的不等式 的解集中有且仅有3个 整数，则 的取值不可能是( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 题型4 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 32 解析 因为的不等式有解，所以 ，即该不等 式的解集为，因为关于的不等式 的解集中 有且仅有3个整数，所以，显然选项 都可能，故选D. 题型4 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 33 高中必刷题 主讲老师 10.（多选）[湖北鄂东南省级示范校2024高一联考] 已知关于的不等式 的解集 为 ，则( ) ABD A.函数 有最大值 B. C. D.的解集为或 题型4 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 35 解析 因为不等式的解集为 ,所以 , , 函数 的图象开口向下,有最大值,A正确； 又,函数值 ,即B正确； 又,3是关于的二次方程的两根,则所以, ,则 ,C错误； 不等式即为 , 即,解得（舍去）或 , 所以或 ,D正确. 故选 . 题型4 已知不等式的解集求参数的值（取值范围） 36 高中必刷题 主讲老师 11.[辽宁葫芦岛协作校2024高一联考] 若关于的不等式的解集是，则实数 的 取值范围是( ) B A. B. C.或 D.或 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 38 解析 当时,恒成立,则 符合题意； 当时,由题意可得解得 . 综上,实数的取值范围是 . 故选B. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 39 规律方法 一元二次型不等式恒成立的解题方法 （1）不等式对任意实数恒成立等价于或 （2）不等式对任意实数恒成立等价于或 题中若明确说是一元二次不等式,则；若未明确说是一元二次不等式,则要考虑 的情况. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 40 高中必刷题 主讲老师 12.[浙江杭州学军中学2024高一月考] 若关于的不等式 在集合 上有解，则实数 的最小值为( ) B A.9 B.5 C.6 D. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 42 解析 因为不等式在集合 上有解, 所以在集合 上有解, 所以 , 又因为,当且仅当,即 时取等号, 所以,所以,即实数 的最小值为5,故选B. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 43 高中必刷题 主讲老师 13.[江西南昌二中2024高一月考] 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低 售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得 400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 题型6 一元二次不等式的实际应用 45 解析 由题意可知,,则,即 ， ,解得.又 每盏最低售价为15元, .故选B. 题型6 一元二次不等式的实际应用 46 归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）理解题意，搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题转化为数学中的一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式，结合实际问题得解． 题型6 一元二次不等式的实际应用 47 高中必刷题 主讲老师 14.[广东佛山多校2024高一期中联考] 某市有块三角形荒地，如图所示， ,米，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地 ，其中 ,,点分别在线段,,上.若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则 的长 度（单位：米）范围是( ) B A. B. C. D. 题型6 一元二次不等式的实际应用 49 解析 在中, ,, 为等腰直角三角形, 设米,则米, 米, 依题意有,解得 . 即的长度（单位：米）范围是 . 故选B. 题型6 一元二次不等式的实际应用 50 归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 ①理解题意,搞清量与量之间的关系； ②建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； ③解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 题型6 一元二次不等式的实际应用 51 高中必刷题 主讲老师 15.[陕西部分学校2024高一联考] 某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租 价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高 元 ，则被租出的礼服会减少 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超 过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( ) C A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 题型6 一元二次不等式的实际应用 53 解析 依题意,每天有 套礼服被租出, 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 （元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,所以 ,即,解得 . 因为且,所以 ,即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选C. 题型6 一元二次不等式的实际应用 54 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 主讲老师 16.若集合 ，则实数 的取值范围是______. 解析 ①若，则 不成立，此时解集为空集； ②若，则解得 . 综上知 . 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 56 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 主讲老师 17.[辽宁沈阳二中2023高一期中] 已知不等式无解，则实数 的取值范 围是______. 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 58 解析 不等式无解即 在定义域内恒成立,若 ，则不恒成立,则需满足解得.故实数 的取 值范围是 . 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 59 易错警示 对于与有关的问题，要注意对 系数的讨论.在处理二次函数的解相关问 题时，常与判别式相联系. 易错点1 忽略对二次项系数的讨论而致错 60 易错点2 审题不仔细而致错 主讲老师 18.已知一元二次不等式的解集为，则实数 的取值范围是______. 解析 为一元二次不等式， . 不等式的解集为 , 即解得 . 实数的取值范围为 . 易错点2 审题不仔细而致错 62 易错警示 本题中由于明确规定所给不等式是一元二次不等式，因此不需要考虑 ，若本 题中没有“一元二次不等式”这一前提条件，则需要考虑 . 易错点2 审题不仔细而致错 63 易错点3 随意消项致误 主讲老师 19.解不等式： . 【解】原不等式可化为，等价于或 ，解 得或或 . 所以原不等式的解集为 . 易错点3 随意消项致误 65 易错警示 错解为 ， 因为，所以，所以或 . 故原不等式的解集为 . 错误是由于随意消项造成的，事实上，当 时，原不等式亦成立. 易错点3 随意消项致误 66 易错点4 认为分式不等式与二次不等式等价致误 主讲老师 20.[四川南充阆中中学2023高一月考] 解不等式： . 【解】原不等式可化为解得 ， 所以原不等式的解集为 . 易错点4 认为分式不等式与二次不等式等价致误 68 易错警示 认为分式不等式与二次不等式等价致误，没有考虑分母不能为0是造成错误的主要原因. 易错点4 认为分式不等式与二次不等式等价致误 69 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法 刷提升 70 高中必刷题 主讲老师 1.[辽宁省实验中学2024高一期中] 已知集合，集合 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 72 解析 , , .故选D. 73 高中必刷题 主讲老师 2.[吉林省实验中学2024高一月考] 不等式 的解集为( ) D A.或 B. C. D. 75 解析 由得,所以,解得 ,所以不 等式的解集为 .故选D. 76 高中必刷题 主讲老师 3.[湖南长沙2024高一质量检测] 在上定义运算 ，则满足 的实数 的取值范围为( ) B A. B. C.或 D. 78 解析 ,,即 ,解得 .故选B. 79 高中必刷题 主讲老师 4.[江苏徐州高级中学2024高一期中] 已知关于的不等式的解集是 或 ，则不等式 的解集是( ) B A. B. C. D. 81 解析 关于的不等式的解集是或 , 和3是方程的两个实数根,且 . 则解得 不等式等价于,即 ,解得 . 不等式的解集是 ,故选B. 82 高中必刷题 主讲老师 5.[湖北武汉部分学校2024高一期中] 已知关于的不等式 恰有四个整数解， 则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.或 D.或 84 解析 不等式,可化为 . 当时,不等式 的解集为空集,不符合题意； 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 ; 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 . 综上可得,实数的取值范围是或 .故选C. 85 高中必刷题 主讲老师 6.[吉林省吉林一中2023高一期中] 对于任意实数，不等式 恒成 立，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C.或 D.或 87 解析 当，即时， 恒成立，满足题意. 当时，则有 解得.综上，实数的取值范围是 ,故选B. 88 高中必刷题 主讲老师 7.（多选）[山东青岛2024高一月考] 已知关于的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中正确的是( ) ACD A. B. C. D. 90 解析 由题设,不等式,即的解为 , ,则, ,则A,D正确； 原不等式可化为,令 ,由题 意可知函数图象开口向下,与轴两交点的横坐标分别为 和1,与直 线两交点的横坐标分别为,,且 ,作出大致图象如图 所示, 由图知, ,故B错误,C正确.故选 . 91 高中必刷题 主讲老师 8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 的内接矩形花园（阴影部分）， 则其一边长（单位: ）的取值范围是________________. 解析 设矩形的另一边长为,由三角形相似得,且,,所以 . 又矩形的面积,所以,解得,所以其一边长 的取值范围是 . 特别注意实际问题中一定要注意隐含条件,如本题中, . 93 高中必刷题 主讲老师 9.[黑龙江牡丹江2024高一期末] 设实数满足，其中实数 满足 . （1）若，且,均成立，求实数 的取值范围; 95 【解】由,得 . 当成立时, . 由,得即 . 当成立时, . 时, . 由,均成立,得 解得,所以实数的取值范围为 . 96 （2）若是的充分不必要条件，求实数 的取值范围. [答案] 设, . 由题意知是 的充分不必要条件, 所以,所以解得 , 所以实数的取值范围为 . 归纳总结是的充分不必要条件是的必要不充分条件,是 的充分不必要条件 刷素养 97 高中必刷题 主讲老师 10.[中国科学技术大学2024创新班考试] 求所有的实数，使对任意 恒成立. 99 【解】①若方程有实数解，则.此时 ，则 有，则，又易知该不等式在 时不成 立，故该情况不满足题意. ②若方程不存在实数解，则恒成立，此时 ，解得 ,则原不等式等价于或 . 当时，有 ， ， ； 当时，有， ， . 综上所述，所求实数的取值范围为 . 100 $$