1.1.2 集合的基本关系-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教B版)

数学 必修第一册 RJB 1 1.1 1.1 集合 2 1.1 1.1.2 集合的基本关系 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.对于集合，，“ ”不成立的含义是( ) C A.是的子集 B.中的元素都不是 的元素 C.中至少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于 题型1 子集的概念 5 解析 “ ”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合 A中至少有一个元素不属于集合B，故选C. 题型1 子集的概念 6 高中必刷题 主讲老师 2.已知集合， ，则( ) D A. B. C. D. 题型1 子集的概念 8 解析 集合， ，A,B两个数集之间应是包含关系而不是属 于关系，故A不正确. 由条件可得，且 ，所以B,C错误，D正确.故选D. 题型1 子集的概念 9 高中必刷题 主讲老师 3.[山东省实验中学2024调研] 已知集合,4,,,，若，则实数 ( ) C A.0 B.0或2 C.0或 D.2或 题型1 子集的概念 11 解析 由得或，即或或 . 当时，, ，符合题意； 当时，, ，不符合元素的互异性，舍去； 当时，,4,, ，符合题意. 综上，或 . 故选C. 题型1 子集的概念 12 高中必刷题 主讲老师 4.[山东青岛2023高一期中] 集合,是的子集，当时，若有 且 ，则称为的一个“孤立元素”，那么 的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的 集合的个数是( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 题型1 子集的概念 14 解析 因为 ，所以其子集中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有 ，，，，，，共6个，那么 的子集中无“孤 立元素”且包含有四个元素的集合的个数是6.故选B. 题型1 子集的概念 15 高中必刷题 主讲老师 5.设集合，和，，那么与 的关系为_____ ___． 题型1 子集的概念 17 解析 因为，所以，同号.又，所以，，即集合 表示第三象限内的 点．而集合也表示第三象限内的点，故 . 题型1 子集的概念 18 高中必刷题 主讲老师 6.下列命题中，正确的有( ) C ①空集是任何集合的真子集；②若，，则 ；③任何一个集合必有两个或两个以 上的真子集；④若不属于的元素一定不属于，则 . A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 题型2 真子集的概念 20 解析 ①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误； ②真子集具有传递性，故②正确； ③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误； ④由维恩图易知④正确.故选C. 题型2 真子集的概念 21 高中必刷题 主讲老师 7.[黑龙江哈尔滨一中2024高一测试] 下列能正确表示集合,0,和 的 关系的维恩图是( ) B A. B. C. D. 题型2 真子集的概念 23 解析 由题意得或,，所以 .故选B. 题型2 真子集的概念 24 高中必刷题 主讲老师 8.[湖北重点中学2024高一联考] 集合，,,且，则集合 的真子集的个数为( ) C A.5 B.15 C.31 D.32 题型2 真子集的概念 26 解析 由,,,且,得,,,, ,集合B 中含有5个元素,所以集合B的真子集个数为 .故选C. 题型2 真子集的概念 27 二级结论 若集合中有个元素,则子集个数为,非空子集个数为,真子集个数为 ,非 空真子集个数为 . 题型2 真子集的概念 28 高中必刷题 主讲老师 9.已知集合,，,,则满足条件 的集 合 的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 真子集的概念 30 解析 由题得，,3,4， . 因为，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2,5，所以或,5，或 , 5， .故选C. 题型2 真子集的概念 31 多种解法 因为中有2个元素，中有4个元素，且，则有 （个）. 二级结论 若集合中有个元素，集合中有个元素，且 . 当时，集合有 个； 当时，集合有 个； 当时，集合有 个； 当时，集合有 个. 题型2 真子集的概念 32 高中必刷题 主讲老师 10. 已知集合，.若，则实数 的取值范围为 ( ) A A. B. C. D. 题型2 真子集的概念 34 解析 因为，， ， 所以 ．故选A. 题型2 真子集的概念 35 链接教材 本题是教材第11页例2的同类试题，都考查根据集合间的关系求参数.若已知集合与 的关系，求参数的取值或范围时，可以采用数形结合的方法，用数轴表示出集合的关系，分析参 数的范围，注意区分是子集关系还是真子集关系，并检验端点值是否满足题意.若 ，在未指 明非空集时，应分为 和 两种情况来讨论. 题型2 真子集的概念 36 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 主讲老师 11.（多选）[陕西榆林2024高一月考] 下列表述正确的是( ) BC A. B. C. D. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 38 解析 A中,两个集合之间是包含关系,故A错误； B中,,是相等的集合,所以 ,故B正确； C中,空集是任何集合的子集,故C正确； D中,空集与一个非空集合不相等,故D错误.故选 . 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 39 易错警示 （1）元素与集合的关系为属于、不属于；集合与集合的关系为包含、不包含. （2）集合相等也是集合包含的一种情况. （3）空集和 并不相等. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 40 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 主讲老师 12.[辽宁沈阳一二○中学2024质量监测] 设集合 ，集合 ，若，则实数 取值集合的真子集的个数为( ) C A.2 B.3 C.7 D.8 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 42 解析 由,得 , 解得或,所以 . 当时, ,满足 ； 当时,,因为,所以或,解得或 . 综上,实数取值的集合为 , 所以实数取值集合的真子集的个数为 ,故选C. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 43 易错警示 求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,本题 求解的易错之处是忽视集合 为空集的特殊情况而导致漏解. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 44 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 主讲老师 13.[辽宁六校协作体2023十月联考] 已知集合，集合 .若集合 ，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 46 解析 集合，集合，若集合，则 .故选A. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 47 易错警示 此类含有不等式的求参数问题要注意考虑端点值能否取到.本题的易错之处是以为 可 以取到0而错选B. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 48 1.1 1.1.2 集合的基本关系 刷提升 49 高中必刷题 主讲老师 1.（多选）下列选项中正确的是( ) CD A.{质数}{奇数} B.集合与集合 没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 51 解析 2是质数，但它不是奇数，所以{质数} {奇数}错误，所以A错误； 集合与集合有相同的子集 ，所以B错误； 空集是任何集合的子集，空集没有真子集，所以C正确； 若，，则，所以D正确.故选 . 52 高中必刷题 主讲老师 2.给出下列关系式： ；；； ； .其中正确的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 54 解析 ，故①错误； 是整数，所以 ，故②正确； ③由，得或，所以，所以 ,故③正确； 为正整数集，故④错误； ⑤由得所以 ，故⑤错误.所以正确的有2个.故 选B. 55 高中必刷题 主讲老师 3.已知集合,，, ，则( ) A A. B. C. D. 57 解析 因为,所以为正偶数，为正偶数，故，即.因为，且 ，所 以 ，故选A. 58 高中必刷题 主讲老师 4.[河南二十名校2024高一联考] 已知集合,,，则满足 , 的集合 的个数为( ) A A.16 B.14 C.8 D.2 60 解析 由集合,, , 可得集合A中的元素有,,,,, , 所以集合,,,的任何一个子集,添加元素, 后都可以作为集 合B, 所以符合条件的集合B共有 个.故选A. 61 高中必刷题 主讲老师 5.[吉林吉化一中2024高一月考] 已知集合,, ， ，则下列,, 的关系正确的是( ) B A. B. C. D. 63 解析 由,,, , 而为奇数,为整数,又,所以 .故选B. 64 高中必刷题 主讲老师 6.[江苏苏州2024高一月考] 已知集合， .若 ，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 66 解析 当 时,满足,此时,解得 ； 当 时,由得解得 . 综上所述,实数的取值范围为 . 故选C. 67 特别注意 根据此题给出的包含关系,需要分别讨论 和 的情况. 68 高中必刷题 主讲老师 7.若，且中至少含有一个质数，则满足要求的 的个数为( ) C A.16 B.20 C.24 D.32 70 解析 由题意， 可以取的所有值有0,1,2,3,4，其中质数有2,3. 当且中只有一个质数时，集合有，，，，，， ， ； 当且中只有一个质数时，集合有，，，，，， ， ； 当2,时，集合有，，，，，， ， . 故总个数为 （个）.故选C. 71 高中必刷题 主讲老师 8.[山西大同2024高一期中] 非空数集,,, , 的所有元素的算术平均数记 为，即.若非空数集满足下列两个条件：（1） ；（2） ，则称为的一个“保均值子集”.据此推理，集合 的“保均值子集”有 ( ) C A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 73 解析 非空数集中,所有元素的算术平均数 , 在所有子集中选出元素的算术平均数为5的子集即可, 所以集合A的“保均值子集”有,,,,,, ,共7个.故选C. 74 高中必刷题 主讲老师 9.（多选）下列集合中子集个数为1的是( ) ABC A. B.{ 是边长分别为1，2，3的三角形} C. D. 76 解析 ，子集个数为1； 是边长分别为1，2，3的三角形 ，子集个数为1； ，子集个数为1； 中含有1个元素，因此其子集个数为2.故选 . 77 高中必刷题 主讲老师 10.[湖北孝感高级中学2024高一调研] 已知整数集合关于的方程 有整 数解，集合满足条件：；②若，则.则所有这样的集合 的个数为____. 31 79 思路导引 根据集合关于的方程 有整数解},利用一元二次方程根与系数 的关系,可求出集合,进而根据已知中集合满足的两个条件,可得互为相反数的两个元素同属于 或同不属于,进而得到满足条件的集合 的个数. 80 解析 由题意可得.设关于的方程的两个根分别为, ,则 所以方程 的整数解只能是36的约数. 当方程的解为,36时, ； 当方程的解为,18时, ； 当方程的解为,12时, ； 当方程的解为,9时, ； 当方程的解为,6时, ； 当方程的解为1,时, ； 当方程的解为2,时, ； 81 当方程的解为3,时, ； 当方程的解为4,时, . 故集合,,,,0,5,9,16, . 由集合满足条件：；②若,则 , 得集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合,因为集合 中有4对相反数和元 素0, 所以这样的非空集合共有 个. 高中必刷题 主讲老师 11.[辽宁沈阳2023高一期末] 已知集合， . （1）若，求实数 的取值范围； 【解】因为 ， ①当 时,，解得 ,符合题意； ②当 时，解得 . 综上所述,实数的取值范围为 . 84 （2）若，求实数 的取值范围. [答案] 因为，①当 时， ， 所以解得 无解. ②当 时，或 所以或，即 . 综上所述，实数的取值范围为 . 85 高中必刷题 主讲老师 12.[2023全国高中数学联赛北京赛区预赛] 是集合,2, , 的子集，满足任意两个元素的 平方和不是9的倍数，则的最大值是________（这里表示 的元素个数）. 1 350 87 解析 ，，，，，，，， ， 的平方是9的倍数的数有3个：3，6，9， 的平方除以9的余数分别是1，4，0，7，7， 0，4，1，0， 任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7, ,,,,,,,, , ,,1,4,7的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 任意两个数的平方和是 9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数， 余1, 的平方是9的倍数的数有674个， 的最大值为 . 88 $$