精品解析：广东省惠州市惠城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

惠城区2023～2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （考试总分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 若点在一次函数图象上，则的值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点坐标代入一次函数的解析式进行计算即可． 【详解】解：当点在一次函数图象上时， 把点代入得：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点：一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式，熟悉相关性质是解题的关键． 3. 已知直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：斜边 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确使用勾股定理是关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法则，二次根式的乘除法则对各选项分别化简并进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算．正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校计划开展航天知识竞赛活动．八年（1）班进行了几轮班内筛选，其中甲、乙、丙、丁四名同学的成绩统计如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要从中选择一名成绩较好且发挥相对稳定的同学代表班级参赛，那么最适合参赛的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】解：∵丙和丁的平均数比甲和乙的平均数小， ∴从甲和乙中选择一人参加比赛， ∵甲的方差最小，即成绩比较稳定， ∴选择甲参赛； 故选：A． 【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 7. 如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∴可以表示平行线与之间的距离, 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键． 8. 将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，即可得答案． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得：， ， ∵四边形是平行四边形 ∴， ， 在中 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 9. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 根据正比例函数的增减性可知，进一步可知一次函数的图像经过的象限，即可确定． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 一次函数的图像经过第一、二、四象限， 故选：B． 10. 宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金比值是列出算式，计算即可． 【详解】解：如图，由题意得： ， 又∵， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 叫做黄金比． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 将函数y＝3x－4 的图像向上平移5个单位长度，所得图像对应的函数表达式为_______． 【答案】##y=1+3x 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”求解即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象向上平移5个单位长度， ∴平移后所得图象对应的函数关系式为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象的平移，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 13. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干中的定义求解即可． 【详解】解：“弦”是， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查勾股定理，理解题干中的定义是解题关键． 14. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE∥BC，AD=BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∴AE+DE=AD=BC=6， ∴AE+2=6， ∴AE=4， ∴AB=CD=4， ∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20， 故答案为20． 15. 在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】的周长为，求周长最小即最小．作点关于轴的对称点，连接，求出的解析式，再计算解析式与轴的交点坐标即为点的坐标． 【详解】的周长为， 当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点， ， ， 又， 当，，三点在同一直线上时最小，此时与轴的交点即为点． 设的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ， 当时，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，待定系数法求函数解析式；解题关键是找到对称点． 三、解答题（本大题共3个小题，第16、17题各4分，第18题5分，共13分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； 先算二次根式的乘法，再算二次根式的加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 某校八（1）班次数学测验(卷面满分分)成绩统计，有的优生，他们的人均分为分，的不及格，他们的人均分为分，其它同学的人均分为分，求全班这次测试成绩的平均分. 【答案】平均分72 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法可计算出这次测验全班成绩的平均数． 【详解】解：． 故答案为平均分72． 【点睛】本题考查加权平均数的计算方法，正确的计算加权平均数是解题的关键． 18. 如图，在▱ABCD中，点N、M分别在边AB、CD上，若∠BCN＝∠DAM．求证：BN＝DM． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，BC＝DA，然后利用ASA即可证出≌,从而证出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，BC＝DA， 在和中， ， ∴≌（ASA）， ∴BN＝DM． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质,掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 四、解答题（本大题共5个小题，第19题6分，第20、21、22、23题各8分，共38分） 19. 一个矩形的长为，宽为． （1）该矩形的面积＝______，周长＝______； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积公式和周长公式列式计算即可； （2）先求出和的值，再利用完全平方公式将原式变形为：，然后将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积：， 矩形的周长：． 故答案为：；． 【小问2详解】 由（1）得：，， ． ． ∴的值是22． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，考查了完全平方公式和平方差公式等知识．正确掌握二次根式的混合运算法则和完全平方公式是解题关键． 20. 如图，在的正方形网格中每个小方格都是边长为的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段的端点、都在格点上． （1）在所给的的正方形网格中，不限方法画出一个以为直角边的直角； （2）试计算所画的的面积． 【答案】（1）画图见解析；（画出三个中的一个即可） （2）图和图中两直角面积都是，图中直角面积是． 【解析】 【分析】（）根据网格特点及勾股定理逆定理画图即可； （）根据（）中所作的图形，利用割补法求出三角形面积即可； 本题考查了利用网格和勾股定理逆定理画直角三角形，利用割补法三角形面积，利用网格正确画出直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所求，即为所求；（画出三个中的一个即可） 【小问2详解】 解：当所画的直角三角形是图时，； 当所画的直角三角形是图时，； 当所画的直角三角形是图时，． 21. 某地区在一次八年级数学检测中，有一道满分8分的解答题，按评分标准，所有学生的得分只有四种：0分、3分、5分、8分，老师为了了解学生的得分情况，从全区5000名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）图2中a的值为 ，b的值为 ； （2）此样本数据的平均数是 ，中位数是 ； （3）请估计该地区此题得满分（即8分）的学生人数． 【答案】（1）、 （2）；5 （3）估计该地区此题得满分即分的学生数1000人． 【解析】 【分析】（1）根据0分的人数及所占百分比可求出抽查的总人数，从而可以得到得分的人数，即可得出a、b的值； （2）根据平均数、中位数的定义即可求解； （3）根据第（1）问可以估计该地区此题得满分即分的学生人数． 【小问1详解】 解：抽取的总人数是：（名）， 故得分的学生数是（名）， 所以，， 即，． 故答案为：、； 【小问2详解】 解：样本数据的平均数是（分）； 中位数是第120和121位的数，都是5分，则中位数是5分， 故答案为：；5； 【小问3详解】 解：由（1）可得，得满分的占， ∴估计该地区此题得满分即分的学生人数是：（名）， 即估计该地区此题得满分即分的学生数1000人． 【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，能从统计图中获取有用信息，明确相关概念的意义是解题的关键． 22. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． （1）求点坐标； （2）求一次函数的函数解析式； （3）根据上面结果直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）把代入函数解析式即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，正确求出一次函数解析式并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：点在一次函数上， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：将，代入得， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：∵， 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集为． 23. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，_______ 求证：_______ 证明： 【答案】 已知：如图，在中，、分别为边、的中点 求证：且 证明：延长至，使，连接， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ，， ，． 【解析】 【分析】把命题的结论作为求证的内容，延长至，使，连接，通过证明和证明四边形是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的证明，掌握等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题的关键． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 综合探究： 探究主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 探究任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率（次/分）是年龄（周岁）的一次函数，求关于的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 ①20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次/分； ②30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制什么范围？ 【答案】（1） （2）①140，160；②小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是正确求出表达式． （1）设关于的函数关系式为（、为常数，且），然后利用待定系数法求解即可； （2）①将代入，进而求解即可； ②将代入，进而求解即可． 【小问1详解】 设关于的函数关系式为（、为常数，且）． 将，和，分别代入， 得，解得， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 ①当时，， （次/分），（次/分）， 小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分， 故答案为：140，160； ②当时，， （次/分），（次/分）． 小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分． 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，请根据操作过程回答后面问题： 操作一：如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，当点在上时，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． 问题1：在图中找一个30度的角，并说明理由； 操作二：如图2，在操作一的启发之下，另取一张正方形纸片，按如下步骤折纸，（1）对折正方形纸片，使与重合，得到折痕（虚线表示），并展开：（2）将点折叠到折痕上点，并展开；（3）将边折叠至与重合，折痕为，并展开；（4）将边折叠至与重合，折痕为，并展开． 问题2：写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】问题1：,，，，证明见解析；问题2：，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、特殊角的三角函数值、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）由正方形的性质结合折叠的性质可得、、，再说明，最后根据特殊角的三角形函数值即可解答； （2）由正方形的性质结合折叠的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，最后根据等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：问题1：的角有,，，，证明如下： 证明：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ，，, 在上选一点，沿折叠，使点A落在正方形内部点处，点在上时， ，, 在中，， ； ∵, ∴， ∴, ∴， ∵， ∴,即， ∴. 问题2：结论：，理由如下： 由问题1知图2中， 四边形是正方形， ， ， 由折叠可得：， 在中，， 又∵边折叠至与重合，折痕为， ， 在中，，， ， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠城区2023～2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （考试总分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在一次函数图象上，则的值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 已知直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校计划开展航天知识竞赛活动．八年（1）班进行了几轮班内筛选，其中甲、乙、丙、丁四名同学的成绩统计如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要从中选择一名成绩较好且发挥相对稳定的同学代表班级参赛，那么最适合参赛的选手是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 8. 将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. 宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 将函数y＝3x－4 的图像向上平移5个单位长度，所得图像对应的函数表达式为_______． 13. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是________． 14. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________． 15. 在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共3个小题，第16、17题各4分，第18题5分，共13分） 16. 计算：． 17. 某校八（1）班次数学测验(卷面满分分)成绩统计，有的优生，他们的人均分为分，的不及格，他们的人均分为分，其它同学的人均分为分，求全班这次测试成绩的平均分. 18. 如图，在▱ABCD中，点N、M分别在边AB、CD上，若∠BCN＝∠DAM．求证：BN＝DM． 四、解答题（本大题共5个小题，第19题6分，第20、21、22、23题各8分，共38分） 19. 一个矩形的长为，宽为． （1）该矩形的面积＝______，周长＝______； （2）求的值． 20. 如图，在的正方形网格中每个小方格都是边长为的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段的端点、都在格点上． （1）在所给的的正方形网格中，不限方法画出一个以为直角边的直角； （2）试计算所画的的面积． 21. 某地区在一次八年级数学检测中，有一道满分8分的解答题，按评分标准，所有学生的得分只有四种：0分、3分、5分、8分，老师为了了解学生的得分情况，从全区5000名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）图2中a的值为 ，b的值为 ； （2）此样本数据的平均数是 ，中位数是 ； （3）请估计该地区此题得满分（即8分）的学生人数． 22. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． （1）求点坐标； （2）求一次函数的函数解析式； （3）根据上面结果直接写出不等式的解集． 23. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，_______ 求证：_______ 证明： 五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 综合探究： 探究主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 探究任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率（次/分）是年龄（周岁）的一次函数，求关于的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 ①20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次/分； ②30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制什么范围？ 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，请根据操作过程回答后面问题： 操作一：如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，当点在上时，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． 问题1：在图中找一个30度的角，并说明理由； 操作二：如图2，在操作一的启发之下，另取一张正方形纸片，按如下步骤折纸，（1）对折正方形纸片，使与重合，得到折痕（虚线表示），并展开：（2）将点折叠到折痕上点，并展开；（3）将边折叠至与重合，折痕为，并展开；（4）将边折叠至与重合，折痕为，并展开． 问题2：写出与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $