精品解析：江西省南昌市2023-2024学年高一下学期7月期末调研检测数学试卷

2023级高一期末调研检测试卷 数学 一、单项选择题：每题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 已知命题甲：“非零向量，，，若，则”；命题乙：“非零复数，，，若，则”，则（ ） A. 命题甲和命题乙都为真命题 B. 命题甲为真命题，命题乙为假命题 C. 命题甲为假命题，命题乙为真命题 D. 命题甲和命题乙都为假命题 4. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，，则 C. 若，则 D. 若，∥，则 5. 向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知角，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，O为坐标原点，若则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 在中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为2的正方形为圆柱的轴截面，EF是圆的直径，点从点出发，沿着圆逆时针方向转动一圈，记点E运动的路程为x，三棱锥的体积为y，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：每题6分，共18分．在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，分别是函数图象的最高点和最低点，记，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为， B. 函数的对称中心为， C. D. 11. 函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的值域为 D. 函数为周期函数 三、填空题：每题5分，共15分． 12. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ______． 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为________． 14. 如图，曲线是以为圆心，半径为1的半圆弧，为圆O的直径，现将上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的，横坐标不变，分别得到曲线、，垂直的直线与曲线，，分别相交于，，三个不同的点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z是关于x的方程的一个根，且复数z在复平面内所对应的点在第二象限． （1）求z； （2）若复数，所对应的向量分别为，，且，求的值． 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F． （1）求证：平面； （2）求证：． 18. 如图，在正三棱柱中，E为的中点，点M在棱AC上． （1）若M为AC的中点，求证：平面平面； （2）若为直角三角形，求； （3）若，，求AM． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点． （1）若，求的值； （2）若，，求； （3）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高一期末调研检测试卷 数学 一、单项选择题：每题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由，可知在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，将，，，代入即可得. 【详解】因为，是单位向量，所以，，又， 所以. 故选：C. 3. 已知命题甲：“非零向量，，，若，则”；命题乙：“非零复数，，，若，则”，则（ ） A. 命题甲和命题乙都为真命题 B. 命题甲为真命题，命题乙为假命题 C. 命题甲为假命题，命题乙为真命题 D. 命题甲和命题乙都为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】设出向量夹角，利用向量数量积的定义判断命题甲，利用复数的运算性质判断命题乙即可. 【详解】对于命题甲，若，设，夹角为，设，夹角为， 故得，所以， 无法确定，也无法确定和的方向，故无法得到，故命题甲是假命题， 对于命题乙，因为非零复数，，， ，所以， 故命题乙是真命题，故C正确. 故选：C 4. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，，则 C. 若，则 D. 若，∥，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，与相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得；对于C，与平行或；对于D，与相交、平行或． 【详解】设是直线，，是两个不同的平面， 对于A，若，，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则内存在直线，因为， 所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确； 对于C，若，，则与平行或，故C错误； 对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 5. 向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，向量在向量上的投影向量为，得，由，得，可得为等腰三角形，由勾股定理可得. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，则， 所以在中，， 又，则， 所以. 故选：D. 6. 已知角，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，O为坐标原点，若则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】因为P，Q是角，的终边与单位圆的交点，，又，可得，所以由，代入计算可得答案. 【详解】因为角，的终边与单位圆的交点分别为P，Q， 则，又， 所以， 所以. 故选：A. 7. 在中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质结合诱导公式和二倍角的余弦公式得，再利用二次函数性质即可得到范围. 【详解】因为，则， 令，因为，所以，则， 则，则. 则的取值范围为. 故选：A. 8. 如图，边长为2的正方形为圆柱的轴截面，EF是圆的直径，点从点出发，沿着圆逆时针方向转动一圈，记点E运动的路程为x，三棱锥的体积为y，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把三棱锥分成等体积两个三棱锥即可求解. 【详解】先把三棱锥分成两个三棱锥，这两个三棱锥体积是一样的，所以 , 设点到面的距离为，即是过点作的垂线，根据题意可得，在中，, 所以的边上的高等于，所以, 所以.因为当点从点出发，沿着圆逆时针方向转动越过时，即其体积也是跟原来也是一样. 故选：D 二、多项选择题：每题6分，共18分．在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据已知条件得出，再逐项判断即可. 【详解】因为，所以，则z的虚部为2，故A错误； ，故B正确； ，所以为纯虚数，故C正确； ，故D错误， 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，分别是函数图象的最高点和最低点，记，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为， B. 函数的对称中心为， C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图象求出一个零点，代入函数中求解C，利用整体代入法求解A，B，求出点的坐标，进而得到，最后再利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】设的周期为，由题意得， 结合图象得该函数的一个零点为，代入函数中， 得到，而，解得(其它根舍去)，故C错误， 此时，该函数即为，令， 可得，解得， 故，结合，故，， 即函数的单调递增区间为，，故A正确， 令，故，解得，， 即函数的对称中心为，，故B正确， 当时，，故， 当时，，故， 如图，作轴，轴， 在中，由锐角三角函数定义知， 故，，在中， 由锐角三角函数定义知，故， 而，故，可得， 故， ，故D正确. 故选：ABD 11. 函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的值域为 D. 函数为周期函数 【答案】AB 【解析】 【分析】令，代入求解即可判断A；求出的周期即可判断B；求出值域即可判断C；根据图象判断D 【详解】令，则， ，而，故A对； ，即， 所以是周期函数，1是一个周期， 设是函数一个周期， 即，所以， 故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故的最小正周期为1， 根据图象的伸缩变换，的图象是由图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，所以函数的最小正周期为，故B对； 由，所以的值域为， 而，又， 即函数的值域为，故C错； 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 随增大而增大 故不是周期函数，故D错 故选：AB 三、填空题：每题5分，共15分． 12. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长为再根据圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆. 考点：圆锥的侧面积. 13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，，，利用余弦定理求出，由三角形的面积公式，即可求得. 【详解】由余弦定理，， 代入，，， 得，即， 解得或（舍去）， 则的面积为. 故答案为：. 14. 如图，曲线是以为圆心，半径为1的半圆弧，为圆O的直径，现将上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的，横坐标不变，分别得到曲线、，垂直的直线与曲线，，分别相交于，，三个不同的点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用伸缩变换得到，的方程，联立求得交点，利用两点间距离公式表示出距离，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意得的方程为， 若将上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变， 可得的方程为，若将上的每个点的纵坐标缩短为原来的， 横坐标不变，可得的方程为，且设垂直的直线方程为， 设，，联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 故，， 故由两点间距离公式得，， 故， 当且仅当时取等，且此时. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是得到交点坐标，然后表示出距离后，由基本不等式得到所要求的最值即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z是关于x的方程的一个根，且复数z在复平面内所对应的点在第二象限． （1）求z； （2）若复数，所对应的向量分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解方程，得，由复数z在复平面内所对应的点在第二象限，所以； （2）由（1）可得，由，可得，代入计算可得的值． 【小问1详解】 因为，则，解得， 又复数z在复平面内所对应的点在第二象限，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，则， 因为，所以， 解得. 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立，即可解得； （2）由（1）可得，由，代入计算可得. 【小问1详解】 因为，由， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 则. 17. 如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F． （1）求证：平面； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于点,根据底面为菱形，因为为的重心，所以在上，可得，结合，根据线段成比例可得，所以平面. （2）因为，所以平面,可得平面,，结合底面为菱形得所以平面,推得. 【小问1详解】 如图所示，连接交于点, 底面为菱形，所以为的中点， 因为为的重心，所以在上，且，可得 ，在中根据线段成比例可得， 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，，因为点E在底面的投影恰好为的重心F．所以平面,可得平面, 因为平面，所以 因为底面为菱形，所以 因为是平面内两条相交直线，所以平面, 因为平面,所以. 18. 如图，在正三棱柱中，E为的中点，点M在棱AC上． （1）若M为AC的中点，求证：平面平面； （2）若为直角三角形，求； （3）若，，求AM． 【答案】（1）证明：因为正棱柱，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 由题意知平面，因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三线合一得，再根据线面垂直的性质和面面垂直的判定即可证明； （2）首先得到，再利用勾股定理得到，最后得到关系，最后根据正切定义即可. （3）根据椎体体积公式即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为正三棱柱中，为的中点， 所以，且侧棱垂直于底面， 又因为为直角三角形，所以，即， 设，则易得， 所以，则， 所以. 【小问3详解】 因为，设， 取中点，同（1）中方法可得平面，则， 则， ， 因为，即，所以，则. 【点睛】 19. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点． （1）若，求的值； （2）若，，求； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据平面向量基本定理计算即可； (2)根据平面向量基本定理结合三点共线求出向量最后根据数量积求出模长； (3)应用平面向量基本定理表示向量，再应用垂直计算结合基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以所以. 【小问2详解】 因为为中点，四边形为平行四边形， 所以. 因为，所以. 设， 则， ， 因为共线，共线， 所以， 解得， 所以， 因为，， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为，， ， 所以 ， 所以， 又因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以最小值为. 【点睛】方法点睛：把向量用基底表示，再应用向量的数量积公式计算后结合基本不等式求出最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $