精品解析：江苏省宿迁市宿城区2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末调研测试 八年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题使用黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名学生是总体的一个样本 B. 每位初二年级学生的身高是个体 C. 名学生是总体 D. 样本容量是名学生 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果分式中x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 5. 对于事件“某学习小组14人中至少有2人在同一个月过生日”，从发生的可能性大小判断，你认为该事件属于（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法判断 6. 如图，点D是内一点，且，连接．若点分别为线段中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的一个分支相交，其中有一交点为D，过点D作矩形，（点C，E分别在x，y轴上）．若与的面积和为，则k为（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，，点E在边上，点F在边上，联结、、，，以下两个结论：①；②．其中判断正确是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误； C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 二、填空题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是_______________． 10. 计算：________． 11. 箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球．它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是___． 12. 如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为___________. 13. 边长为菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 14. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 _____． 15. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________． 16. 设函数与的图像的交点坐标为，则的值为_______． 17. 饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是______． 18. 如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且，求证：． 22. 某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数． 23. 为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格比乙图书每本价格多30元，用1000元单独购买甲图书与用400元单独购买乙图书数量相同． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该校计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的3倍多4本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过850元，那么该中学最多可以购买多少本甲图书？ 24. 如图，在矩形ABCD中， （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：分别在BC、AD作点E、F，使四边形BEDF是菱形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝5，求菱形BEDF的边长． 25. 如图，在直角坐标系中，A，B，C，D四点在反比例函数，线段都过原点O，，点B点纵坐标为4，连接． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，写出x的取值范围； （3）求四边形的面积． 26. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 27. （1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为______； （2）【类比探究】如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为16，，请直接写出的面积． 28. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； （3）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末调研测试 八年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其他选项． 4．答非选择题使用黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名学生是总体的一个样本 B. 每位初二年级学生的身高是个体 C. 名学生是总体 D. 样本容量是名学生 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论． 【详解】A、名学生的身高是总体的一个样本，故此选项错误，不符合题意； B、每位初二年级学生的身高是个体，故此选项正确，符合题意； C、名学生的身高是总体，故此选项错误，不符合题意； D、样本容量是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到新的分式化简与原分式比较即可得答案． 【详解】解：分式中的x，y都扩大到原来的2倍，那么新分式为， 所以分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变． 5. 对于事件“某学习小组14人中至少有2人在同一个月过生日”，从发生的可能性大小判断，你认为该事件属于（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义来进行判定求解． 【详解】解：14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件， 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 如图，点D是内一点，且，连接．若点分别为线段的中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵， ， 由勾股定理得：， ∵点分别为线段的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴阴影部分的周长为：， 故选：A． 7. 如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的一个分支相交，其中有一交点为D，过点D作矩形，（点C，E分别在x，y轴上）．若与的面积和为，则k为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出A、B的坐标，进而求出的面积，从而求出矩形的面积，再根据反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵与的面积和为， ∴， ∵点D在反比例函数的图像上， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求出矩形的面积是解题的关键． 8. 在矩形中，，点E在边上，点F在边上，联结、、，，以下两个结论：①；②．其中判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误； C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明①正确，由得到，根据即可证明②正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故②正确， 故选：A 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质、二次根式的运算等知识，证明是解题的关键． 二、填空题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 详解】解：式子有意义， ， 解得：． 故答案为：． 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法，根据二次根式的性质化简，先把化简成，然后再计算二次根式的减法即可． 【详解】解：， 故答案为： 11. 箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球．它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，正确得出m的取值范围是解题关键． 直接利用已知结合概率的意义得出m的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为___________. 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：22． 13. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 【答案】##24平方厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图所示： 设菱形中，对角线， ∵四边形是菱形，对角线， ∴， ， ， ∴菱形的面积为∶．        故答案为：． 14. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据点D、E分别是边、的中点得是的中位线，即可得，根据，，和勾股定理的逆定理得，根据E是边的中点得，即可得；掌握中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________． 【答案】m＞1且m≠2． 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】原方程整理得：2x-m=x-1 解得：x=m-1 因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．① 又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．② 由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2． 故答案为：m＞1且m≠2． 【点睛】考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点. 16. 设函数与的图像的交点坐标为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】把交点坐标代入2个函数解析式后，得到ab=-2，b-a=3，再利用整体代入法求的值即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为（a，b）， ∴与， ∴ab=-2，b-a=3， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查反比例函数与一次函数图象上点的特征，分式的化简求值，解题的关键是求出ab与b-a的值，然后将所求代数式化为ab与b-a的形式，采用整体代入的思想解决问题． 17. 饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间x的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论． 【详解】解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：； 在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：， 依据题意，得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 18. 如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，使，连接，，得到，．根据菱形的边长为2，得到．证明 ．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值为． 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2， ∴．， ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 即． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、算术平方根、二次根式的性质，先计算零指数幂、算术平方根、二次根式，在计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简小括号内，再将除法转化为乘法化简即可，最后再代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入，则原式． 21. 如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先证明，，可得，再结合已知条件可得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ； 22. 某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数． 【答案】（1）200，72 （2）补全的条形统计图见解析 （3）估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名 【解析】 【分析】（1）利用选择乒乓球的人数÷所占百分比得到总人数，再利用选择跑步的人数÷总人数得到跑步所占的百分比，利用百分比即可得到圆心角度数； （2）先求出选择足球的人数，再补全条形图即可； （3）用总体数量×喜爱篮球项目人所占的百分比即可得解． 【小问1详解】 （名）， 在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：200，72； 【小问2详解】 选择足球的学生有：（人）， 补全的条形统计图如图所示： 【小问3详解】 （名）， 答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．从条形图和扇形图中有效的获取信息，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 23. 为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格比乙图书每本价格多30元，用1000元单独购买甲图书与用400元单独购买乙图书数量相同． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该校计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的3倍多4本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过850元，那么该中学最多可以购买多少本甲图书？ 【答案】（1）甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元； （2）该图书馆最多可以购买7本甲图书． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式解决实际问题等知识． （1）设甲图书每本价格为x元，则乙图书每本价格是元，根据题意列出分式方程求解并验证即可． （2）设该中学可以购买m本甲图书，则可以购买本乙图书，根据题意列出关于m的一元一次不等式求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设甲图书每本价格为x元，则乙图书每本价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元； 【小问2详解】 设该中学可以购买m本甲图书，则可以购买本乙图书， 由题意得：， 解得：， 答：该中学最多可以购买7本甲图书． 24. 如图，在矩形ABCD中， （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：分别在BC、AD作点E、F，使四边形BEDF是菱形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝5，求菱形BEDF的边长． 【答案】（1）见解析；（2）3.4 【解析】 【分析】（1）作BD的垂直平分线交BC于E，交AD作于F，则可证明EF与BD互相垂直平方，从而判断四边形BEDF是菱形； （2）根据菱形的性质得到BF＝DF，利用勾股定理得BF2＝32＋（5−BF）2，然后解关于BF的方程即可． 【详解】解：（1）如图，作BD的垂直平分线 （2）∵四边形BEDF是菱形， ∴BF＝DF， 在Rt△ABF中，AB＝3，AF＝AD﹣DF＝5﹣BF， 根据勾股定理，得BF2＝AB2+AF2， ∴BF2＝32+（5﹣BF）2， 解得BF＝3.4．所以菱形BEDF的边长为3.4． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质． 25. 如图，在直角坐标系中，A，B，C，D四点在反比例函数，线段都过原点O，，点B点纵坐标为4，连接． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，写出x的取值范围； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）24 【解析】 【分析】（1）把代入解析式中，计算即可； （2）根据对称，得到，根据反比例函数的性质，结合，写出x的取值范围即可． （3）先四边形是矩形，利用两点间距离公式计算面积． 本题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的判定，距离公式，熟练掌握反比例函数的性质，解析式的计算是解题的关键． 【小问1详解】 把代入解析式中，得 ， 解得， 故反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 根据对称， ∴， 根据反比例函数的性质，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴或， 故x的取值范围是或． 【小问3详解】 ∵点B点纵坐标为4，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ． ∴四边形的面积为． 26. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】（1）过程见解析，面积 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）过C作于H，设，则，利用勾股定理表示出，用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：过C作于H，设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：． 在中，， ∴． 27. （1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为______； （2）【类比探究】如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为16，，请直接写出的面积． 【答案】（1）（2），理由见解析（3）7 【解析】 【分析】（1）证明，可得，根据正方形性质求出，再证，可得，则，即可得出答案； （2）在上截取，连接．证明，可得，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合，，证明，则，由，可得是直角三角形，由可得，根据的面积为16即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由旋转得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为16， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 28. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它“巧整式”为，求m、n的值； （3）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】（1）①③； （2），； （3）是，理由见解析． 【解析】 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 【小问2详解】 解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $