精品解析：河北省邢台市四校联考2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

2023-2024学年第二学期期末联考 高二数学试题 考试范围：选择性必修三；考试时间：120分钟 说明：1．本试卷共4页，满分150分. 2请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、单选题（每题5分共40分） 1. 某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合的定义直接列式作答. 【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题， 所以组成该评审委员会的不同方式共有种. 故选：B 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量，利用二项分布的方差公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 4. 随机变量的分布列如下：其中，则等于（ ） 0 1 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列性质结合已知条件求得，再求解概率； 【详解】根据分布列可得，解得， 则. 故选：D. 5. 的展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解. 【详解】因为的展开通项公式为， 又当时，取最大值， 则系数最大的项是第13项． 故选：C. 6. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 故选：C. 7. 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ） A. 128种 B. 96种 C. 72种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位， 当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端， 第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端， 第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端， 第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：B. 8. 研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是（ ） A. 若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强 B. 用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位 D. 经验回归直线至少经过点中的一个 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数、决定系数和线性回归方程逐项理解判断. 【详解】对A：若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强，A正确； 对B：用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确； 对C：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，C正确； 对D：经验回归直线必过样本中心点，但不一定过样本点，D错误. 故选：D. 二、多选题（每题5分共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 设离散型随机变量的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 若离散型随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】AB选，根据概率之和为1及求出；CD选项，根据，计算出，进而根据公式计算出，. 【详解】AB选项，有题意得，且， 解得，A错误，B正确； C选项，因为，所以，C正确； D选项，， 因为，所以，D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量且，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用分布列的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用超几何分布的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由分布列的性质可知，解得，A对； 对于B选项，若随机变量且， 则，B对； 对于C选项，若随机变量，则，C错； 对于D选项，由超几何分布的概率公式可得，D错. 故选：AB. 11. 某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（ ） A. 晚会节目不同的安排顺序共有种 B. 若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种 C. 若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 D. 若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用全排列进行求解；B选项，先安排2个小品类节目，4个舞蹈类节目，再利用插空法进行求解；C选项，从4个舞蹈节目中选择1个安排在第一个节目，再安排歌唱类节目，最后安排剩余的5个节目，得到答案；D选项，将两个小品进行全排列，有种选择，再从第一个或最后一个节目选择1个位置，再将剩余的9个节目和9个位置进行全排列，故D错误. 【详解】A选项，晚会节目不同的安排顺序共有种，A正确； B选项，若5个歌唱类节目各不相邻，先安排2个小品类节目，4个舞蹈类节目，有种选择， 6个节目共有7个空，选择5个空进行插空，故有种选择， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，B错误； C选项，若第一个节目为舞蹈类节目， 则从4个舞蹈节目中选择1个安排在第一个节目，有种安排， 最后一个节目不是歌唱类节目，则除了第一个和最后一个位置外， 剩余的9个位置选择5个安排歌唱类节目，有种选择， 剩余的5个节目，剩余的5个位置，进行全排列，有种选择， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，C正确； D选项，若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目， 先将两个小品进行全排列，有种选择，再从第一个或最后一个节目选择1个位置， 再将剩余的9个节目和9个位置进行全排列， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，D错误. 故选：AC 12. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．日前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好，某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示： 月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（部） 52 95 a 185 227 若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台 C. 与正相关 D. 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算样本中心点代入线性回归方程可得A项，由可一一判定B、C、D三项. 【详解】由表格得代入可得，故A正确； 由线性回归方程可知：5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台左右，故B错误； 因为，故与正相关，即C正确； 将代入线性回归方程可得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 为了研究某班学生的脚步（单位厘米）和身高之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入回归直线方程即可得解. 详解】由题意，令，则， 即该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为厘米. 故答案为：. 14. 排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合条件的排法共有___________种. 【答案】2880 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解 【详解】第一步，先排两头，从5个独唱节目中选2排两头，有 种； 第二步，排其余的3独唱节目，然后把3个合唱节目插入到3独唱节目产生的4个空位中，有 种 由分步乘法计数原理，符合条件排法共有 种，综上所述，符合条件的排法共有2880种， 故答案为：2880 15. 已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则__________． 0 1 2 P a 【答案】2 【解析】 【分析】先利用分布列的性质求出a，再求出的期望和方差，利用方差的性质求出. 【详解】由题意可知：,解得. 所以， 所以， 所以. 故答案为：2. 16. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则______．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的参数，结合参考数据，利用对称性，即可求解. 【详解】， . 故答案为： 四、解答题 17. 某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. （1）若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ （2）若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 【答案】（1）种 （2）种 【解析】 【分析】（1）利用插空法求得正确答案. （2）利用对立事件的知识求得正确答案. 【小问1详解】 2个语言类节目不能相邻的排法有种. 【小问2详解】 前4个节目中要有语言类节目排法有种. 18. 有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）. （1）可以排成多少个三位数？ （2）求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）. （i）左起第二、四位数是偶数奇数. （ii）比大的偶数. 【答案】（1）个 （2）（i）20个；（ii）41个 【解析】 【分析】（1）先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）（i）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算；（ii）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算. 【小问1详解】 首先排百位数字有种选法， 再排十位数字有种选法， 最后排个位数字有种选法， 所以一共有三位数（个）. 【小问2详解】 （i）首先从、两数中选一个数排在个位，有种； ①最高位排、中剩下的数，将三个偶数排到左起第二、三、四位，有种； ②最高位为从、两数中选一个，有种，再将剩下的两个偶数排到左起第二、四位，有种，最后将、中剩下的数排到第三位； 综上可得符合条件的数字一共有（个）； （ii）比大的偶数可分为六类： 万位数字为的偶数，有个； 万位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有，共个； 综上可得比大的偶数一共有个. 19. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解， （2）根据相互独立事件的概率，即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 所以X的分布为 X 0 10 20 30 P 所以 【小问2详解】 记“该同学仅答对1道题”为事件M. 这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为. 20. 在二项式的展开式中. （1）若展开式后三项的二项式系数的和等于67，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 【答案】（1）展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，，（2），常数项为 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的值，然后判断第几项二项式系数最大，并求之；（2）常数项其实说明的指数为，根据这一特点，利用项数与第几项的关系求解出的值. 【详解】解：（1）由已知 整理得，显然 则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项 （2）设第项为常数项，为整数， 则有， 所以，或 当时，；时，（不合题意舍去），所以 常数项为 【点睛】对于形如的展开式，展开后一共有项，若为奇数，则二项式系数最大的项有项，分别为项，为若为偶数，则二项式系数最大的项有项，即为项（也可借助杨辉三角的图分析）. 21. 技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司七年时间里在通信技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下： 研发投入（亿元） 收益（亿元） （1）利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）； （2）求关于的线性回归方程． 附：相关系数； 回归方程中的系数，； 参考数据：，，，． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相关系数公式可求得，结合已知条件可得出结论； （2）计算出、的值，结合最小二乘法公式可求得、的值，即可得出回归直线方程. 【小问1详解】 解：， 所以与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合． 【小问2详解】 解：由题意知，． 因为，所以， 故关于的线性回归方程为． 22. 高二某班级举办知识竞赛，从A，B两种题库中抽取3道题目（从A题库中抽取2道，从B题库中抽取1道）回答．小明同学对抽取的A题库中的每道题目回答正确的概率均为，对抽取的题库中的题目回答正确的概率为．设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为． （1）求时的概率； （2）求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式，可得答案； （2）根据离散型分布列的解题步骤，结合概率计算公式，写出分布列，结合均值计算公式，可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 的可能取值为. 所以；； ，. 的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期末联考 高二数学试题 考试范围：选择性必修三；考试时间：120分钟 说明：1．本试卷共4页，满分150分. 2请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、单选题（每题5分共40分） 1. 某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 随机变量的分布列如下：其中，则等于（ ） 0 1 A. B. C. D. 5. 的展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 6. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 600 7. 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ） A. 128种 B. 96种 C. 72种 D. 48种 8. 研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是（ ） A. 若变量和之间相关系数为，则变量和之间的负相关很强 B. 用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型拟合效果越好 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位 D. 经验回归直线至少经过点中的一个 二、多选题（每题5分共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 设离散型随机变量的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 若离散型随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量且，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 11. 某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（ ） A. 晚会节目不同的安排顺序共有种 B. 若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种 C. 若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 D. 若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 12. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．日前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好，某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示： 月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（部） 52 95 a 185 227 若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 ，则下列说法正确是（ ） A. B. 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台 C. 与正相关 D. 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 为了研究某班学生的脚步（单位厘米）和身高之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为______． 14. 排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合条件的排法共有___________种. 15. 已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则__________． 0 1 2 P a 16. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则______．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 四、解答题 17. 某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. （1）若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ （2）若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 18. 有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）. （1）可以排成多少个三位数？ （2）求满足下列条件五位数个数（无重复数字）. （i）左起第二、四位数是偶数的奇数. （ii）比大的偶数. 19. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为． （1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望； （2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 20. 在二项式的展开式中. （1）若展开式后三项的二项式系数的和等于67，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 21. 技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司七年时间里在通信技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下： 研发投入（亿元） 收益（亿元） （1）利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合y与x关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）； （2）求关于的线性回归方程． 附：相关系数； 回归方程中的系数，； 参考数据：，，，． 22. 高二某班级举办知识竞赛，从A，B两种题库中抽取3道题目（从A题库中抽取2道，从B题库中抽取1道）回答．小明同学对抽取的A题库中的每道题目回答正确的概率均为，对抽取的题库中的题目回答正确的概率为．设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为． （1）求时的概率； （2）求的分布列及数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$