精品解析：湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从道题中随机选道，若某道题被选中的概率为，则（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 2. 若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 3. 已知点在同一平面内，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，若是的充要条件，则整数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 从这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图所示，是函数的图象与直线的两个交点，且点在轴上，若，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数据的第25百分位数､第50百分位数､第75百分位数分别为，平均数为,则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，角的始边均与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，，则（ ） A. B. C. D. 是第三象限角 11. 已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则（ ） A. B. 球的半径为2 C. 三棱柱的表面积为 D. 点到平面的距离的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 13. 已知正三棱柱的棱长均为分别是棱的中点，则几何体的体积为__________. 14. 已知函数，若存在唯一的，使得，则当时，的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，. （1）若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） （2）证明：平面平面. 16. 现有一批零件，一质检员从中随机抽取200件进行合格性检验，实际尺寸与标准尺寸的差值为，现对进行整理，分组区间为，得到如图所示的频率分布直方图.规定：的为优质品，的为合格品，的为劣质品. （1）求的值，并计算的平均值；（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） （2）估计该批零件中优质品､合格品､劣质品的数量之比； （3）质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过15件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检.问：这批零件能否通过抽检？ 17. 一个质地均匀的正方体的1个面为黄色，2个面为绿色，3个面为红色.连续抛掷该正方体3次，观察落地时朝上的面的颜色. （1）求第1次､第2次､第3次朝上的面的颜色依次为红色､绿色､黄色的概率； （2）求朝上的面的颜色恰有2次相同的概率. 18. 已知的内角所对的边分别为，面积为，且. （1）求的值； （2）若，求及的值. 19. 已知函数满足，其中为偶函数，为奇函数. （1）求的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从道题中随机选道，若某道题被选中的概率为，则（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率计算公式计算即可. 【详解】由题意，从道题中随机选道,某道题被选中的概率为， 根据古典概率计算公式得，即. 故选：B. 2. 若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点对应的复数进行复数运算，再根据实部及虚部运算即可. 【详解】因为， 所以的实部为，虚部为， 实部与虚部的差为. 故选：D. 3. 已知点在同一平面内，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由可得 故， 故选：C 4. 已知集合，若是的充要条件，则整数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 5. 从这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再写出所有情况和满足题意的情况，最后利用古典概型公式即可. 【详解】由 可得 . 从这四个数字中任意取出两个不同的数字, 有 ，共 6 种不同的结果, 取出的两数字之和 满足 对应的结果有共 3 种, 所以所求概率为 . 故选：B. 6. 已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得即为二面角的平面角，即可利用三角形边角关系求解. 【详解】由以及可得故, 进而可得,不妨设, 取中点，连接, 故,故即为二面角的平面角， 由于平面， 故平面，平面，故, 故选：B 7. 如图所示，是函数的图象与直线的两个交点，且点在轴上，若，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据,在函数图象上，即可代入求解可得，结合周期的关系即可求解. 【详解】由题意可得，且都在上， 故，所以， 又，结合在单调递减区间上， 所以，故， 由于，故，所以，故. 故选：A 8. 已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出，再分类得到不等式组，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 的两实数根分别为和， ，解得， ，令，解得或， 则，解得， 由， 可得或，即或， 则所求解集为. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数据的第25百分位数､第50百分位数､第75百分位数分别为，平均数为,则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据百分位数和平均数的计算，即可结合选项逐一求解. 【详解】将从小到大排列为：0,1,2,5,8,9,10,11,12,17, ，故第25百分位数2，故，，故第50百分位数为，即，，故第75百分位数为11，即， 平均数为， 故AC正确，BD错误， 故选：AC 10. 在平面直角坐标系中，角的始边均与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，，则（ ） A. B. C. D. 是第三象限角 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数定义即可求出，再利用二倍角的正切公式即可判断A；直接代入计算好的即可判断B；利用两角差的余弦公式即可判断C；分别计算出的符号即可判断D. 【详解】由题可知. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， ， 所以是第二象限角，故D错误. 故选：BC. 11. 已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则（ ） A. B. 球的半径为2 C. 三棱柱的表面积为 D. 点到平面的距离的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直三棱柱概念知正确，由直三棱柱和球的对称性可确定球心位置，构造直角三角形可求出球的半径知正确，计算直三棱柱各个面之和可得表面积知错误，点到平面的距离的最小值为0，最大值为球心到面的距离与之和，计算可得正确. 【详解】根据直三棱柱的概念知侧棱底面，又底面，，故正确； 由知底面是等腰直角三角形，取的中点为， 则为底面的外心，设直三棱柱外接球的球心为，则点位于的中心， 连接，则，由题意，，则，即.故正确； 三棱柱的表面积为：，故错误； 动点在球的球面上，则当点与重合时，点到平面的距离取得最小值为0， 点到平面的距离的最大值为,点到平面的距离的取值范围是，故正确. 故选：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知正三棱柱的棱长均为分别是棱的中点，则几何体的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用三棱柱及三棱台的体积做差后 得出几何体的体积. 【详解】, ,为三棱台，, . 故答案为：. 14. 已知函数，若存在唯一的，使得，则当时，的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据存在唯一的x成立求出a,再根据函数解析式解不等式即可. 【详解】因为存在唯一的，使得， 则, 则, 或, 又因为,所以, 由，可得或, 可得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，. （1）若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） （2）证明：平面平面. 【答案】（1） （2） 设，则， 因为，所以⊥， 又，故四边形为菱形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，六边形即为所作的截面，并根据中位线进行证明； （2）作出辅助线，证明出⊥，又，故四边形为菱形，故⊥，从而得到线面垂直，面面垂直. 【小问1详解】 取的中点，的中点，的中点，的中点，的中点，顺次连接，六边形即为所作的截面， 理由如下：因为为的中位线，所以， 同理可得， 而，故， 面，面，则面，同理面， 且都在面，故截面平面，则六边形即为所作的截面， 【小问2详解】 略 16. 现有一批零件，一质检员从中随机抽取200件进行合格性检验，实际尺寸与标准尺寸的差值为，现对进行整理，分组区间为，得到如图所示的频率分布直方图.规定：的为优质品，的为合格品，的为劣质品. （1）求的值，并计算的平均值；（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） （2）估计该批零件中优质品､合格品､劣质品的数量之比； （3）质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过15件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检.问：这批零件能否通过抽检？ 【答案】（1）,平均值为； （2） （3）不能. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组概率之和为可得值，再由平均值计算公式计算即可. （2）根据频率分布直方图分别计算优质品，合格品，劣质品的数量即可； （3）因为样本中劣质品的数量为件，已经超过件，故这批零件不能通过抽检. 【小问1详解】 由频率分布直方图中各组概率之和为1得， ，解得， 平均值为. 【小问2详解】 由频率分布直方图得件样品中 优质品的数量为件， 合格品的数量为件， 劣质品的数量为件， 所以优质品合格品劣质品. 【小问3详解】 因为样本中劣质品的数量为件，已经超过件， 所以这批零件不能通过抽检. 17. 一个质地均匀的正方体的1个面为黄色，2个面为绿色，3个面为红色.连续抛掷该正方体3次，观察落地时朝上的面的颜色. （1）求第1次､第2次､第3次朝上的面的颜色依次为红色､绿色､黄色的概率； （2）求朝上的面的颜色恰有2次相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘积公式计算即可； （2）根据互斥事件的概率和公式结合独立事件概率乘积公式计算即可. 【小问1详解】 设第1次､第2次､第3次朝上的面的颜色依次为红色､绿色､黄色为事件A, . 【小问2详解】 设朝上的面的颜色恰有2次相同为事件B, 可以是2次相同的黄色或2次相同的绿色或2次相同的红色， . 18. 已知的内角所对的边分别为，面积为，且. （1）求的值； （2）若，求及的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据同角关系得，由面积公式和正弦定理边角化即可求解， （2）利用余弦定理即可求解，根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 由于，，所以， 又, 故，因此 【小问2详解】 由余弦定理得， ，化简得，解得（负值舍去）， 进而，故，所以为锐角，故， 故， 19. 已知函数满足，其中为偶函数，为奇函数. （1）求的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可联立方程求解， （2）利用换元法，结合二次函数的性质即可求解， （3）将问题转化为两个函数的最值，利用函数的单调性以及基本不等式求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于为偶函数，为奇函数，且， 故， 两式相加可得进而， 【小问2详解】 ， 令，则， 故值域为 【小问3详解】 由于均为单调递减函数，故为单调递减函数，故当时，，即， 故在上的最小值为， ，当且仅当时等号成立， 故在上的最小值为1， 若对任意的，都存在，使得成立， 只需要， 又，故，解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $