专题16 一元二次方程应用题分类训练1（传播工程行程数字几何）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题16 一元二次方程应用题分类训练1 （传播、工程、行程、数字、几何） 目录 【题型1传播问题】 1 【题型2工程问题】 2 【题型3行程问题】 5 【题型4数字问题】 7 【题型5几何问题】 8 【题型1传播问题】 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 2．某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 3．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 4．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 5．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 6．某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人． (1)经过第一轮传染后，共有__________人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） (2)在每轮传播中，平均一人传染了几个人？ 7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 8．有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出多少个小分支？ 9．电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有1台电脑被感染，经过两轮感染后共有169台电脑被感染． 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 10．春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同 (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【题型2工程问题】 11．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 12．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 13．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 14．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值． 15．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 16．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 17．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 18．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 19．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 20．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【题型3行程问题】 21．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 22．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 23．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 24．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 25．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． （1）求返回时A、B两地间的路程； （2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 26．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值． 27．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 28．一辆汽车加速至，然后松开加速踏板让汽车自由滑行，滑行过程中均匀减速，后汽车刚好停下来．请你回答下列问题：（匀变速直线运动的速度﹣位移公式） (1)求汽车滑行后的速度v，并写出t的取值范围． (2)一段时间内的平均速度等于初速度和末速度的算术平均数，比如滑行4秒的过程中，初速度为，末速度为，平均速度就是．某段时间内的路程等于平均速度与时间的积．设滑行路程为y米，试着用t表示y． (3)滑行的路程能达到256米吗？如果能，求出滑行时间． 29．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度 ，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 30．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲以的速度匀速运动，乙运动的路程s（cm）与时间t（s）满足关系：，整个圆周的长度为84cm．    (1)填空：甲运动2 s后经过的路程是___________cm； (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 【题型4数字问题】 31．已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 32．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 33．一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？ 34．一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 35．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 36．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 37．阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 38．对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”． (1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”． (2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值． 39．根据下列问题，设出未知数x，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式． （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数大20，求这个三位数； （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长． 40．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 【题型5几何问题】 41．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为100米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将在矩形停车场沿着边和修建宽度相同的充电桩区域，剩余停车场的面积为，求充电桩区域的宽度是多少？ 42．现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 43．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）．    (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)该农场想要建一个的矩形养殖场，这一想法能实现吗？请说明理由． 44．禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 45．科技创新活动一直在路上．现将某品牌平面展示屏设计与生产过程中收集的精准数据统计如下： 信息数据一：屏占比，指的是屏幕面积与整个外观面积的比，计算公式为：屏占比 信息数据二：某厂商设计了该款版平面展示屏（如图），正面外观呈矩形，长，宽，正中央是长宽之比为的矩形屏幕，若要使屏占比达到，且左右边框等宽，均为，上下边框等宽，均为，应如何设计屏四周边框的宽度？ 信息数据三：在上述版平面展示屏的升级版版中，外观保持不变，对屏的长宽进行调整，调整之后使得左右边框的宽度各减少了，上下边框的宽度各减少了，从而使屏占比进一步提升至． (1)求，的值； (2)求的值． 46．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为31米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为96平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到130平方米？ 47．如图，阳光中学某课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园．除墙外，其他部分均是篱笆围成．若平行于墙一边长为 ，当苗圃园的面积为时，求的长． 48．如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    (1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ (2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 49．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．    (1)如果要设的长为x米，则围成的矩形的面积为，请用含x的代数式来表示y，并写出x的取值范围； (2)若围成花圃的面积为36平方米，请求出的长． 50．已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． (1)求线段的取值范围； (2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题16 一元二次方程应用题分类训练1 （传播、工程、行程、数字、几何） 目录 【题型1传播问题】 1 【题型2工程问题】 6 【题型3行程问题】 15 【题型4数字问题】 25 【题型5几何问题】 30 【题型1传播问题】 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2）则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 2．某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一人传染了7个人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出数量关系正确列方程是解题关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，由题意可知，第一轮患病人数为人，第二轮患病人数为人，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了个人， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每轮传染中平均一人传染了7个人． 3．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)三轮传染后患病的共有512人 【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，得． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）根据题意，得 (人) 答：三轮传染后患病的共有512人． 4．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】5个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意得 ， 解这个方程得，（不合题意，舍去） 答：这种植物每个支干长出5个小分支． 5．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算． 【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人， 列方程得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染巾平均一个人传染了个人． 6．某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人． (1)经过第一轮传染后，共有__________人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） (2)在每轮传播中，平均一人传染了几个人？ 【答案】(1) (2)在每轮传播中，平均一人传染了11个人 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）有两人最初感染了病毒，则第一轮会新感染人，再加上最初的两人即可得到答案； （2）第一轮会新感染人，再加上第一轮感染后的人数即为第二轮感染后感染病毒的人数，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵最初有两个人感染这种病毒，每轮传染中平均一个传染了x人， ∴经过第一轮传染后，共有人感染了病毒， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人． 7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了6个人； (2)第三轮将又有294人被传染． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有49人患了流感，可求出， （2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人； （2）（人． 答：第三轮将又有294人被传染． 8．有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出多少个小分支？ 【答案】每个枝干长出8个小分支． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，注意能够熟练运用因式分解法解方程．由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程求得x的值． 【详解】试题解析：解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）； 答：每个枝干长出8个小分支． 9．电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有1台电脑被感染，经过两轮感染后共有169台电脑被感染． 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 【答案】12台 【分析】第一轮感染后有台电脑被感染，第二轮感染后有台电脑被感染，由此列方程即可求解． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意得：， 整理得：， 解得（舍） 答：每轮感染中平均一台电脑会感染12台电脑． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 10．春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同 (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)平均一个人传染人 (2)经过三轮后共有人患流感 【分析】（1）设平均一个人传染x人，根据“有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+平均每人传染人数），即可求出结论． 【详解】（1）解：设平均一个人传染x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故平均一个人传染人． （2）解：（人）． 故经过三轮后共有人患流感． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型2工程问题】 11．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 12．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 13．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 【答案】（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 14．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值． 【答案】（1）1000米；（2）4 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米， 依题意，得：8（2000-x）≥×6x， 解得：x≤1000． 答：甲最多施工1000米． （2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6-m）=6×（6+8）+11m-8， 整理，得：m2-8m+16=0， 解得：m1=m2=4． 答：m的值为4． 【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 15．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28. 【分析】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，列方程即可得出结论； （2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修建滨河步道与疏通河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出结论． 【详解】（1）设原计划修建滨河步道x千米， 根据题意，得.解这个方程，得. 答：原计划修建滨河步道8千米   （2）根据题意， 一期工程疏通河道里程数：（千米）. 一期工程疏通河道费用：（万元/千米）. 一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米） 令，原方程可化为 ， 整理这个方程，得. 解这个方程，得，. ∴（舍去），.∴. 答：a的值是28. 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 16．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可． （2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解． 【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月， 根据题意，得， 即， 解得（不合题意，舍去）． ∴． 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为m 个月， 由题意得，100m+（100+50）m≤1500， 解得： ∵施工时间为整数， ∴m≤8， 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解． 17．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【答案】(1)4； (2)2． 【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可； （2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍， ∴， 解之得：， ∴桥梁施工最多是4千米． （2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254亿元， ∴， 解之得：， 由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴， 即， 解之得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解． 18．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 19．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 20．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【题型3行程问题】 21．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 22．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 23．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 24．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 25．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． （1）求返回时A、B两地间的路程； （2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【答案】（1）1800米；（2）52分钟． 【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解； （2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： ， 解得x=1800． 答：A、B两地间的路程为1800米；   （2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得： 25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904， 整理得y2﹣50y﹣104=0， 解得y1=52，y2=﹣2（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程． 26．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值． 【答案】（1）1600；（2）20． 【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可； （2）根据题意得出：进而求出即可． 【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：， 解得：， 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米； （2）由题意可得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：m的值为20． 27．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 28．一辆汽车加速至，然后松开加速踏板让汽车自由滑行，滑行过程中均匀减速，后汽车刚好停下来．请你回答下列问题：（匀变速直线运动的速度﹣位移公式） (1)求汽车滑行后的速度v，并写出t的取值范围． (2)一段时间内的平均速度等于初速度和末速度的算术平均数，比如滑行4秒的过程中，初速度为，末速度为，平均速度就是．某段时间内的路程等于平均速度与时间的积．设滑行路程为y米，试着用t表示y． (3)滑行的路程能达到256米吗？如果能，求出滑行时间． 【答案】(1) (2)y=﹣t2+20t (3)能，16s 【分析】（1）求出加速度a，即可得到t与v的关系式； （2）根据“路程等于平均速度与时间的积”可得y与t的关系式； （3）结合（2）列出一元二次方程，可解得答案． 【详解】（1）解：由题意得，加速度， ∴， 即； （2）根据题意得，， ∴， （3）滑行的路程能达到256米，理由如下： 若滑行的路程为256米，则， 解得（大于40，舍去）或， ∴滑行时间是时，滑行的路程为米． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程和二次函数关系式． 29．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度 ，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【答案】(1) (2)该车刹车后秒内向前滑行了米 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：依题意，， ，， 则 依题意，， 即 解得：或（舍去） 答：该车刹车后秒内向前滑行了米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键． 30．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲以的速度匀速运动，乙运动的路程s（cm）与时间t（s）满足关系：，整个圆周的长度为84cm．    (1)填空：甲运动2 s后经过的路程是___________cm； (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1)16 (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 【分析】（1）直接利用路程等于速度乘以时间即可解答； （2）直接利用甲、乙的运动路程和，进而得出的值； （3）直接利用甲、乙的运动路程和，进而得出的值． 【详解】（1）解：由题意得：甲运动2 s后经过的路程为； 故答案为16； （2）解：由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆，甲走过的路程为， 乙走过的路程为，则， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了． （3）解：由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆， 则， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，正确表示出甲、乙运动的路程是解题关键． 【题型4数字问题】 31．已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 32．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【答案】两位数为92或29 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为， ， 解得：， 当时，两位数为92， 当时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 33．一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？ 【答案】或 【分析】设原两位数个位数字为，则十位数字为，根据这两个两位数之积是，列方程进行求解即可． 【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为， 根据题意得： ， 解得：或， 这个两位数是或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够设出未知数并表示出这两个数． 34．一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为26． 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：原来的两位数为26． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 35．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是12或21 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是12或21， 答：原来的两位数是12或21． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 【答案】或 【分析】设个位数字为，则十位数字是．再建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是．根据题意可得： ， 整理得：． 分解得：，         解得：，． 答：原来的两位数是或． 【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题，确定相等关系列方程是解本题的关键． 37．阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 【答案】 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴这个两位数为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 38．对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”． (1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”． (2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)263不是方积数，121 (2)121，242，363，484 【分析】（1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合方积数的定义即可得出答案 【详解】（1）∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24 ∴263不是方积数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“方积数”是121； （2）∵k＝100a＋10b＋c是方积数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0， ∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根， ∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0， 将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0， ∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1， ∵m＋n＝﹣2， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b＋c＝0， ∴b＝a＋c， ∵b2＝4ac， ∴（a＋c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清方积数的定义． 39．根据下列问题，设出未知数x，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式． （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数大20，求这个三位数； （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长． 【答案】（1），；（2），． 【分析】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解； （2）设一边长为，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可． 【详解】解：（1）设十位数字为x，则个位数字为，百位数字为，根据题意得：， 化简为； （2）设其中一条直角边的长为，则另一条直角边的长为， 根据题意得， 整理得． 【点睛】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系列出方程是解题的关键． 40．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为73 【详解】【分析】等量关系为：原来的两位数-新两位数=36，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x2－2， 由题意得10(x2－2)＋x－(10x＋x2－2)＝36， 整理得x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)， ∴十位数字为32－2＝7， 则原来的两位数为73 【点睛】本题考核知识点：列一元二次方程解应用题.解题关键点：弄清已知中的等量关系. 【题型5几何问题】 41．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为100米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将在矩形停车场沿着边和修建宽度相同的充电桩区域，剩余停车场的面积为，求充电桩区域的宽度是多少？ 【答案】充电桩区域的宽度是米 【分析】考查了一元二次方程的应用，设和减少的长度为米，根据题意列出方程求解即可， 理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 【详解】解：设和减少的长度为米， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：充电桩区域的宽度是米． 42．现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 【答案】的长是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为，根据矩形的面积公式及矩形的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可求出的长． 【详解】解：设的长为，则的长为，依题意，得： ， 整理，得：， 解得： ， 答：的长是 43．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）．    (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)该农场想要建一个的矩形养殖场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． （1）设，根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得的值为2； （2）令，得出，即可判断． 【详解】（1）解：∵，矩形的面积是矩形面积的2倍， ∴， ∴，    依题意得：， 解得： ∵墙的长度为10， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）， 综上，x的值为； （2）若， 则， ， ∴此方程没有实数根，故这一想法不能实现． 44．禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据饲养室总占地面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米， ∴边长为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米． 45．科技创新活动一直在路上．现将某品牌平面展示屏设计与生产过程中收集的精准数据统计如下： 信息数据一：屏占比，指的是屏幕面积与整个外观面积的比，计算公式为：屏占比 信息数据二：某厂商设计了该款版平面展示屏（如图），正面外观呈矩形，长，宽，正中央是长宽之比为的矩形屏幕，若要使屏占比达到，且左右边框等宽，均为，上下边框等宽，均为，应如何设计屏四周边框的宽度？ 信息数据三：在上述版平面展示屏的升级版版中，外观保持不变，对屏的长宽进行调整，调整之后使得左右边框的宽度各减少了，上下边框的宽度各减少了，从而使屏占比进一步提升至． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据屏占比的计算公式列出方程组和方程，求解即可． （2）根据长和宽的边框减小后，通过屏占比列出方程，求解即可． 【详解】（1）由题可得的矩形屏幕的长为，宽为， ∵正中央是长宽之比为的矩形屏幕， ∴①， ∵外观呈矩形，长，宽， ∴，即②， 联列①②可解得，． （2）由题可得屏幕外观呈矩形，长，宽，原左右边框宽均为，上下边框等宽，均为，矩形屏幕的长为，宽为， ∴减小边框后，屏幕长为，屏幕宽为， ∴屏占比为， 解得，（舍）， 故． 46．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为31米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为96平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到130平方米？ 【答案】(1) (2)当为12米时，鸡舍的面积为96平方米 (3)鸡舍面积不能达到130平方米，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确地理解题意，得出方程是解题的关键． （1）设米时，鸡舍面积为S平方米，根据题意得函数解析式解不等式求得x的取值范围； （2）根据题意得到方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到方程，求出的值即可得到结论． 【详解】（1）解：设米时，则米， 鸡舍面积为S平方米， 根据题意得，； ∵， ∴， ∴x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 解得=12， ∵x的取值范围为 ∴． 答：当为12米时，鸡舍的面积为96平方米． （3）解：根据题意得， 整理得，，， 所以方程没有实数根， ∴鸡舍面积不能达到130平方米． 47．如图，阳光中学某课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园．除墙外，其他部分均是篱笆围成．若平行于墙一边长为 ，当苗圃园的面积为时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由篱笆的总长．墙的长及边的长，可得出，，结合苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】解：篱笆的总长为，墙的长为，平行于墙一边长为 ， ，． 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 答：的长为． 48．如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    (1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ (2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米 (2)不能 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为． （2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米． 49．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．    (1)如果要设的长为x米，则围成的矩形的面积为，请用含x的代数式来表示y，并写出x的取值范围； (2)若围成花圃的面积为36平方米，请求出的长． 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用： （1）用含x的式子表示出，根据即可求解； （2）将代入（1）中解析式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ， ， ； （2）解：若围成花圃的面积为36平方米，则： ， 解得，， ， ，即的长为6米． 50．已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． (1)求线段的取值范围； (2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的长和宽分别为， (3)不能围成面积为的自行车车棚，见解析 【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解； （2）表示出矩形面积，求出即可； （3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题． 此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设线段的长为，则的长为， 根据题意得，解得， 线段的取值范围为； （2）解：根据题意列方程，得， 解得，； 当时，， 当时，，而墙长，不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，； （3）解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下： 根据题意得， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$