第01章 一元二次方程 章节（10知识点回顾+20题型练习） -【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第01章 一元二次方程 章节（10知识点回顾+20题型练习） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 判断是否是一元二次方程 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 由一元二次方程的解求参数 题型五 一元二次方程的解的估算 题型六 解一元二次方程——直接开平方法 题型七 解一元二次方程——配方法 题型八 配方法的应用 题型九 公式法解一元二次方程 题型十 因式分解法解一元二次方程 题型十一 换元法解一元二次方程 题型十二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型二十 其他问题(一元二次方程的应用) 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点6：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点7：一元二次方程的解法（公式法） (1)公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1. 当时， 利用开平方法，得：， 即： 1. 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． (2)求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． (3)用公式法解一元二次方程一般步骤 1. 把一元二次方程化成一般形式（）； 1. 确定a、b、c的值； 1. 求出的值（或代数式）； 1. 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． (4)根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． （5）根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点8：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点9：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点10：常见相关问题的数量关系及表示方法 增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型练习 题型一 一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义： “含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为的整式方程是一元二次程” ，根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．，方程含有两个未知数，故此选项错误，不符合题意； B．，方程符合一元二次方程的定义，故此选项正确，符合题意； C．，方程含有两个未知数，故此选项错误，不符合题意； D. ，方程是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据的最高次数是2，且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 题型二 判断是否是一元二次方程 3． 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 4． 将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 5．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 6．计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 【答案】(1) (2)，1 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义、分式化简求值、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确整式混合运算法则和分式化简求值的方法． （1）根据单项式和多项式乘法、完全平方公式和平方差公式先计算括号，再合并求解即可． （2）根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵m的值为方程的解， ， ， 原式． 题型四 由一元二次方程的解求参数 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ， 解得： 故答案为： ． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2028 B．2021 C．2024 D．2026 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故选B． 题型五 一元二次方程的解的估算 9．（23-24·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 10．根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出的解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 题型六 解一元二次方程——直接开平方法 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不满足，舍去）， 经检验，是原方程的解， 所以方程的根的情况是有一个实数根， 故选：C． 12．（2025·江苏宿迁·一模）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）运用直接开平方法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 题型七 解一元二次方程——配方法 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， 移项得， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解： ∴ ∴， 题型八 配方法的应用 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】2 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法的应用，把代入代数式，利用配方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值等于2； 故答案为：2． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）把方程配方后得到方程 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程左边变形为完全平方式．先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上，这样方程左边就为完全平方式． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边都加上，得， ∴． 故答案为：． 题型九 公式法解一元二次方程 17．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ． 【答案】1或9 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先判断出，再解方程得到 ，根据 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可． 【详解】解：当时，则，等式不成立； ∴， ∴方程是一元二次方程， ∴， ∵方程至少有一个整数根， ∴必须是整数， ∴必须是整数， ∴或， ∴或 故答案为：1或9． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，公式法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解：， ∵，，，， ∴ 解得： 题型十 因式分解法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的解法，先将方程左边因式分解，再求解即可，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， 故选：C． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， ； （2）解：， ， 或， 题型十一 换元法解一元二次方程 21．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 【答案】或， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据已知方程的解得出或，求出即可，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 方程的两根分别为或， 故答案为：或． 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)， 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用整体代换的思想把原一元二次方程化简单的一元二次方程； （2）用直接开平方法解关于的方程，然后求出对应的的值得到原方程的解： （3）先把原方程变形为，令，则原方程可化为，再解关于的方程得到，，然后计算出对应的的值即可． 本题考查了换元法解一元二次方程以及解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】（1）解：依题意，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想； 故选：C； （2）解：∵， ∴， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，； （3）解：原方程变形为， 令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，． 题型十二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 23．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，熟记根的三种情况是解题的关键． 根据根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：B． 24．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，另一根为0 (2)详见解析 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把代入方程，得，然后再把代入方程，求出，即可作答． （2）先求出，然后分析无论k取何值，，即可作答． 【详解】（1）解：把代入方程， 得 ∴； 把代入方程， 得， ∴， 即，另一根为0； （2）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 题型十三 根据一元二次方程根的情况求参数 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A．12 B．11 C．10 D．8 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∵， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 【答案】(1) (2)时，此方程有两个不相等的实数根 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式；理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得, 解得：． （2）∵，，， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴时，此方程有两个不相等的实数根 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用) 27．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，再根据经过两轮传染后有81人患病列方程即可． 【详解】解设每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染， 经过两轮传染后有81人患病， ， ， 故答案为：． 28．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习） 年 月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病；感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现；在“新冠”初期，有 人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可解答； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人． 由题意可得： 解得： ， （舍去） 答：每轮传染中平均一人传染了人． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答的关键． 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 30．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）江苏省教育厅推出名师空中课堂在线教学平台，为学生提供免费辅导．据统计，某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，根据“某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为， 故答案为：． 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B． C．或   D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解、根据正方形的性质求线段长、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查正方形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，设与交于点，与交于点，先证明阴影部分为平行四边形，为等腰直角三角形，设，得到，，根据阴影部分的面积为，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， ∵正方形， ∴，，， ∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， 由题意，得：， 解得：， ∴； 故选D． 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若一个矩形的两边长相差 2，且面积为 80，则较短边的长是 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2，根据面积为80列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以较短边的长是8． 故答案为：8． 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 33．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 解得：， ∴他去世时年龄为或， 又∵他去世时的年龄大于， ∴他去世时的年龄为 故答案为：． 34．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x，则： ， 整理得， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 则这个数为或． 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 35．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可． 【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键． 36．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 【答案】该商店销售了这种商品100或200件 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设该商品售价增加了元，根据“售价每增加1元时，销售量将减少10件”列方程求解即可． 【详解】解：设该商品售价增加了元， 列方程得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 答：该商店销售了这种商品100或200件． 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 37．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为 时的面积为． 【答案】或 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面积，三角形中位线定理，过点作于，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意得，然后列出方程，求出方程的解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据题意得：，， ∴，， 过点作于， ∵，即， ∴， 又∵是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得：，，即当或时，的面积是， 故答案为：或． 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)存在， 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； （2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 题型二十 其他问题(一元二次方程的应用) 39．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设比赛组织者邀请了个队参赛，由题意可知共比赛场，根据“规定参赛的每两个队之间比赛一场”列出方程即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确找到等量关系是解题关键． 40．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）秋季运动会某校初三准备进行篮球比赛，若每两个班都进行一场比赛，一共进行了55场比赛，设这个学校初三共有x个班级，则可列式为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个学校初三年级共有x个班级，根据该校初三年级共进行了55场比赛，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设这个学校初三共有x个班级， 依题意得：， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 一元二次方程 章节（10知识点回顾+20题型练习） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 判断是否是一元二次方程 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 由一元二次方程的解求参数 题型五 一元二次方程的解的估算 题型六 解一元二次方程——直接开平方法 题型七 解一元二次方程——配方法 题型八 配方法的应用 题型九 公式法解一元二次方程 题型十 因式分解法解一元二次方程 题型十一 换元法解一元二次方程 题型十二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型二十 其他问题(一元二次方程的应用) 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点6：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点7：一元二次方程的解法（公式法） (1)公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1. 当时， 利用开平方法，得：， 即： 1. 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． (2)求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． (3)用公式法解一元二次方程一般步骤 1. 把一元二次方程化成一般形式（）； 1. 确定a、b、c的值； 1. 求出的值（或代数式）； 1. 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． (4)根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． （5）根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点8：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点9：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点10：常见相关问题的数量关系及表示方法 增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型练习 题型一 一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 题型二 判断是否是一元二次方程 3． 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 4． 将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三 由一元二次方程的定义求参数 5．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 6．计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 题型四 由一元二次方程的解求参数 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2028 B．2021 C．2024 D．2026 题型五 一元二次方程的解的估算 9．（23-24·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 10．根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 题型六 解一元二次方程——直接开平方法 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 12．（2025·江苏宿迁·一模）解方程： (1)； (2) 题型七 解一元二次方程——配方法 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为 ． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 题型八 配方法的应用 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）把方程配方后得到方程 ． 题型九 公式法解一元二次方程 17．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型十 因式分解法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程 (1) (2) 题型十一 换元法解一元二次方程 21．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 题型十二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 23．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 24．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 题型十三 根据一元二次方程根的情况求参数 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A．12 B．11 C．10 D．8 26．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 题型十四 传播问题(一元二次方程的应用) 27．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 28．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习） 年 月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病；感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现；在“新冠”初期，有 人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 题型十五 增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）江苏省教育厅推出名师空中课堂在线教学平台，为学生提供免费辅导．据统计，某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为 ． 题型十六 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B． C．或   D． 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若一个矩形的两边长相差 2，且面积为 80，则较短边的长是 ． 题型十七 数字问题(一元二次方程的应用) 33．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 34．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 题型十八 营销问题(一元二次方程的应用) 35．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 题型十九 动态几何问题(一元二次方程的应用) 37．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为 时的面积为． 38．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 题型二十 其他问题(一元二次方程的应用) 39．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）秋季运动会某校初三准备进行篮球比赛，若每两个班都进行一场比赛，一共进行了55场比赛，设这个学校初三共有x个班级，则可列式为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$