专题11 二次函数-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题11 二次函数 思维导图 真题再现 题型一、二次函数与应用 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 题型二、二次函数的系数大小关系 1.（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2020·天津·中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三、二次函数的最值求坐标 1．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 2.（2023·天津·中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 3．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 4．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 5．（2020·天津·中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标； ②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？ 未来视野 题型一、二次函数的铅锤高 1．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． 2．如图，抛物线交x轴于、两点，交轴于点．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在平移后的抛物线上有一点，连接，射线绕点顺时针旋转交直线于点，若时，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个值的求解过程． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，两点，交y轴于点C，点D是线段的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，点Q为线段的中点，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，点E为y轴上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，若，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求解其中一个点Q的坐标的过程写出来． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值． (3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 题型二、二次函数与四边形结合 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． (1)求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； (2)若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点  时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； (3)若x轴上有一点 且  于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当  为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E． ①求面积的最大值； ②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值． 4．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三、二次函数的等角、倍角 1．抛物线与轴交于点，与轴交于点、，平行于轴交抛物线于另一点，点是轴上一动点，连接，过点作交于点（点在线段上，不与点重合）， (1)求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． (2)若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，连接，是否存在点使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上求出点Q，使． 4．如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线上方抛物线上一点D，连接，求的面积最大值以及此时点D的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线交新抛物线于第四象限的点E，连接，当时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 5．已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C． (1)求c的值； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围． 1．（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·天津宝坻·二模）如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·天津滨海新·二模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·天津和平·三模）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中，正确结论的个数是（　　） A．l B．2 C．3 D．4 5．（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2024·天津河东·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024·天津河西·一模）已知点P是直线上的点，过点P的另一条直线m交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)若点P的横坐标为． ①当直线轴，求A，B两点的坐标； ②当时，求A，B两点的坐标； (2)试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立． 9．（2024·天津西青·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左边），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点B，点D的坐标； (2)连接，点P是抛物线上一点（点P与点均不重合），当时，求点P的坐标； (3)已知点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点Q是抛物线上点D至点M之间的一个动点（点Q与点D，点M均不重合），其横坐标为t，过点M作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l交于点N，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H，求式子的值． 10．（2024·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，），对称轴为直线，与轴交于点和点，与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴于点，交直线于点，过点作交直线于点，若，求点坐标； (3)点是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线平移，点的对应点为，过点作轴于点，在平移的过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024·天津和平·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过坐标原点，顶点P的坐标为，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线解析式和点A的坐标； (2)抛物线上有一点D，过点D作直线的垂线，垂足为点E，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l；（，为常数，）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段相交于点H，K，求的值． 12．（2024·天津河西·二模）已知抛物线（为常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接． 当点的坐标为，且时，求的值； 当的最小值是时，求的值． 13．（2024·天津武清·三模）已知抛物线(为常数，)与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴相交于点． (1)若点的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，求的值； (3)若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，当的最小值为17时，求的值． 14．（2024·天津河北·二模）已知抛物线 与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，过抛物线的顶点作轴于点，点在轴正半轴上，，点在抛物线上，过点作轴垂线，交轴于点，交直线于点． (1)若， ． ①求抛物线顶点 和点的坐标； ②若点在第一象限，过点作垂直直线于点， 求点的坐标； (2)若， ， 点与点关于抛物线的对称轴对称， 射线交直线于点， 当 时，求顶点的坐标． 15．（2024·天津河东·二模）已知抛物线（a，b，c为常数）． (1)若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； (2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 16．（2024·天津红桥·二模）已知抛物线（，为常数，）经过点和点，与轴相交于点，为抛物线上横坐标为的点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，过点作轴的垂线与相交于点，若，求点的坐标； (3)为线段的中点，当时，求点的坐标． 17．（2024·天津宝坻·二模）已知抛物线（为常数，）与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标为． (1)求的值及抛物线顶点坐标； (2)点关于轴对称点为为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点的坐标； ②若为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 18．（2024·天津·一模）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点． (1)若，． ①求点和点，的坐标； ②当点 为直线与抛物线的交点时，求的最小值； (2)若，，且的最小值等于时，求，的值． 19．（2024·天津·二模）已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为． (1)求a，c的值及抛物线顶点坐标； (2)点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点P的坐标； ②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数 思维导图 真题再现 题型一、二次函数与应用 1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 2．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 题型二、二次函数的系数大小关系 1.（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， ， ，即，得出，故①正确； ， 对称轴， ， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确； ， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解． 2．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值． ∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1， ∴a-b= -2,2a-b＞0， ∴2a-a-2＞0， ∴a＞2＞0， ∴b=a+2＞0， ∴abc＞0， ∵, ∴△==＞0, ∴有两个不等的实数根； ∵b=a+2，a＞2，c=1， ∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3， ∵a＞2， ∴2a＞4， ∴2a+3＞4+3＞7， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键． 3.（2020·天津·中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a，即可判断③． 【详解】∵抛物线经过点，对称轴是直线， ∴抛物线经过点，b=-a 当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1， ∴abc＜0，由此①是错误的， 由已知，抛物线与x轴，有两个交点， ∴ ∵②中方程， ∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确； ∵，c=-2a>1， ∴，③正确 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 题型三、二次函数的最值求坐标 1．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得负值舍去． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2.（2023·天津·中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为； (2)点和点； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ②当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． （2）由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 4．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为 【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案 （Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案； （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案． 【详解】（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线的顶点坐标为； （Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为： 当时， ∴抛物线的顶点D的坐标为； 过点D作轴于点G 在中，，， ∴ 在中，，， ∴． ∵，即， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为或． （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得． 作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为 当满足条件的点M落在线段上时，最小， 此时，． 过点作轴于点H 在中，，， ∴． 又，即． 解得：，（舍） ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴直线的解析式为． 当时，． ∴， ∴点M的坐标为，点N的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解． 5．（2020·天津·中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标； ②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？ 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点F的坐标为或；②当m的值为或时，MN的最小值是． 【分析】（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标； （2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点. 过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，，可求出m的值，进一步求出F的坐标； ②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值. 【详解】解：（1）当，时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点， ．解得． 抛物线的解析式为． ， 抛物线的顶点坐标为． （2）①∵抛物线经过点和，， ， ，即． ，． 抛物线的解析式为． 根据题意，得点，点． 过点A作于点H． 由点，得点． 在Rt中，，， ． ， ．解得． 此时，点，点，有． 点F在y轴上， 在Rt中，． 点F的坐标为或． ②由N是EF的中点，得． 根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上． 由点，点，得，． 在中，． 当，即时，满足条件的点N落在线段MC上， MN的最小值为，解得； 当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上， MN的最小值为，解得． 当m的值为或时，MN的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．． 未来视野 题型一、二次函数的铅锤高 1．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据，利用待定系数法求得，分别令，，即可求解； （2）连接，过点P作轴，交于点E，由，知，利用待定系数法求得直线的表达式为，设，则，得，进而可得，即可求解； （3）如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则，先证，得，易知四边形是矩形，得，设，则．由，知．得，易证，可得，得点P的坐标为代入抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． ． 令，解得，． ∵点B在点A右侧， ． 令，得， ． （2）如图．连接，过点P作轴，交于点E． ， ． 设直线的表达式为． 将，代入，，解得． 直线的表达式为 设． 轴， ． ． ． ， 当时，的值最大，为． 的最大值为． （3）点P的坐标为． 如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则． ∵，，， ，． ． ． ． ∵ ． 易得， ． ． ． 易得四边形是矩形， 设，则． ∵， ． ． ∵，， ∴ ． ． 点P的坐标为． ，解得，（舍去）． 当时，，． 点P的坐标为． 【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键． 2．如图，抛物线交x轴于、两点，交轴于点．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在平移后的抛物线上有一点，连接，射线绕点顺时针旋转交直线于点，若时，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个值的求解过程． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，的最大值为； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出直线的解析式为，当过点的直线平行并且与抛物线只有一个交点时，的值最大，设过点的直线的解析式为，利用根的判别式可得，即得过点的直线解析式为，联立函数式可求出点的坐标为，连接，可得，据此即可求出的最大值； （）求出平移后的抛物线解析式为，画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，可证，得到，，分在第二象限和第一第二象限解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：、把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 当过点的直线平行并且与抛物线只有一个交点时，的值最大， 设过点的直线的解析式为， 由得，， 整理得，， ∴， 解得， ∴过点的直线解析式为， 由，解得， ∴点的坐标为， 连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为；    （3）解：∵， ∴平移后的抛物线解析式为， 画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，则， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， 当在第二象限时，点在第一象限，，， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）； 当点在第一象限时，点在第四象限，，， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）； ∴点的横坐标为或．    3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，两点，交y轴于点C，点D是线段的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，点Q为线段的中点，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，点E为y轴上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，若，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求解其中一个点Q的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)最大值为：，； (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解，，，为，设，可得，可得，证明，证明，可得，再建立二次函数求解即可； （3）求解抛物线的对称轴为直线，而原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，可得原抛物线的平移方式可看作每次向左平移2个单位，同时向上平移4个单位，求解新抛物线为，由，可得，，，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点且交x轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∵点D是线段的中点． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴为， 设， ∴， ∴， ∵，点Q为线段的中点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 当时，的周长取最大值， 最大值为：， 此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 而原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点， 而， ∴原抛物线的平移方式可看作每次向左平移2个单位，同时向上平移4个单位， 设原抛物线y平移后的抛物线为， 当时，， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴新抛物线为， ∵， ∴，，， 如图，过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴； 如图，同理可得：， ∴， ∴， ∴， 综上：或 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，涉及待定系数法，二次函数的平移，二次函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． （1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出，的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，   过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或； 5．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值． (3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入求解，得出抛物线的解析式即可； （2）过点作，交于，根据抛物线的解析式，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，设点（），得出点的纵坐标点的纵坐标，代入直线的解析式，表示出点的横坐标，根据的边上的高与的边上的高相同，得出，证明，根据相似三角形的性质推出关于的函数关系式，根据二次函数的性质，求出最大值即可； （3）分“点在轴上方”和“点在轴下方”两种情况讨论；作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接，根据“同弧所对圆周角相等”推理证明出当点在点的位置时，最大，根据图形与坐标，结合勾股定理，求出点的坐标；作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接，根据“同弧所对圆周角相等”推理证明出当点在点的位置时，最大，根据图形与坐标，结合勾股定理，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴把、代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作，交于， ∵抛物线的解析式为，与轴交于、两点， ∴令，则， 解得∶（为点横坐标），， ∴，， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限抛物线上的一点， ∴设点（）， ∵，交于， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴把代入得：， 整理得：， ∴点的横坐标， ∴点的横坐标点的横坐标， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴与面积的比值的最大值为； （3）解：如图，作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵， ∴， ∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为； 如图，作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵， ∴， ∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为； 综上所述，当最大时，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、求二次函数解析式及最值、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式的理解、圆与直线相切的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理、图形与坐标等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键． 题型二、二次函数与四边形结合 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标； （2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解； （3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得． 【详解】（1）解：将，代入解析式得， ， 抛物线的解析式为， 点的坐标为； （2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下； 如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于， ∵，， ∴，即，点即为所求； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，的对称轴为直线， 将代入得，， ∴， ∴存在，． 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式是解题的关键． 2．已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． (1)求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； (2)若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点  时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； (3)若x轴上有一点 且  于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当  为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解，进而化为顶点式，即可求解； （2）先用勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，延长至使得，，连接，交轴于点，得出点在上，设直线的解析式为，代入，，求得直线的解析式为，联立抛物线，进而求四边形的面积，即可求解； （3）根据等边三角形的性质与判定得出，得出，进而分三种情况讨论，当时，，②如图所示，当时， ③当时，，根据旋转的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与轴交于点， 且经过点． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 ∵ ∴顶点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且 如图所示，延长至使得，，连接，交轴于点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴， 又∵， ∴点在上， ∵，， 设，则 解得：，， ∴； 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴； ∵，当时，， ∴，则， ∴四边形的面积为 ； （3）解： 如图所示， ∵ ∴ ∴ 取的中点，则 ∴是等边三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形，则， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转可知， ①如图所示，当时，，则 在四边形中， ，， ∴ ∴即 ②如图所示，当时， 在中，， ∴， ∴，又 则是等边三角形， ∴，即； ③当时， ∴ ∴ 在四边形中， ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，面积问题，旋转的性质，四边形内角和定理定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E． ①求面积的最大值； ②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值． 【答案】(1) (2)①；②点M的坐标为或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①先求出直线的解析式，然后设设，则，即可表示并配方得到最值即可； ②分为，，三种情况，利用菱形的性质解题即可； （3）过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，，则，即可得到，然后利用根与系数得的关系解题即可． 【详解】（1）∵抛物经过点，， ∴ 解得 ∴该抛物线的函数解析式为； （2）①∵点，， 设直线的解析式为，把代入得， ∴直线的解析式为. 设， 则， ∴ ∴， ∴当时，； ②∵抛物线与x轴交于A、两点， 令，则，解得或， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴. 以下分三种情况讨论： （i）如答图9-1，当四边形为菱形时，此时， 又∵， ∴垂直平分， ∴点P与点E关于x轴对称 ∴，即 解得，(舍去) ， ∴，， ∴ . （ii）如答图9-2，当四边形为菱形时，此时， ∴. ∴点P与点A重合 ∴，， ∴ . （iii）如答图9-3，当四边形为菱形时，此时， ∵，， ∴， ∴， 解得，(舍去) ， ∴，， ∴ . 综上，点M的坐标为或 或 . （3）如图，过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，， 则， ∴ ∴， ∴， ，，已知，则有， 整理得：①， 设直线的解析式为，联立抛物线， 消去y可得：， 由韦达定理得，， 代入①得， 整理得， ∴直线为， ∴直线过定点， ∴， ∵， ∴点H的轨迹是以为直径的圆， 点H到抛物线对称轴距离的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法是解题的关键． 4．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或． 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似和正方形存在性，图形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，垂足为，交于点，设，表示出点坐标，再利用列式求解； （3）利用先探究是等腰直角三角形，再确定点的方法，分三种：①过点作交坐标轴于点；②过点作交坐标轴于点；③作的垂直平分线交坐标轴于点．本题利用此方法，再结合是等腰直角三角形即可确定． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）如图，过点作轴，垂足为，交于点， 当时， 解得， ∴， 当时，得， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意分三种情况： ①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 此时四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 同①可得四边形是正方形，， ∴； ③如图，∵是等腰直角三角形， ∴点与点重合， ∴作点关于直线的对称点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 综上，存在，或或． 题型三、二次函数的等角、倍角 1．抛物线与轴交于点，与轴交于点、，平行于轴交抛物线于另一点，点是轴上一动点，连接，过点作交于点（点在线段上，不与点重合）， (1)求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． (2)若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，连接，是否存在点使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；②存在两个点P，点P的横坐标是2或 【分析】（1）分别令和可得，，三点的坐标，将抛物线的解析式配方成顶点式可知对称轴是：，根据对称性可得点的坐标； （2）①先作辅助线，构建相似三角形，证明，则，列方程，根据，可得的值，求出抛物线的解析式， ②当中某个角恰好等于的2倍时，存在两种情况：当时，延长交轴于，确定点的坐标，设的解析式为：，联立方程组可得的横坐标；当时，作，证明和，表示的坐标，代入抛物线的解析式中可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：，， ，， 又 ∵轴， ， 解得，，， ； （2）解：①点是线段存在唯一一点， 如图2，过作轴于， 设，则， ，， ， ， ， ， 只有一个点，所以方程只有一个解， ， ， ； ②当时，延长交轴于，如图3， ∵， ，， ，， ， ， ， ， 设的解析式为：， 则， 解得：， 的解析式为：， 联立， 解得：（舍，， 点的横坐标为2； 当时，如图4，在上取点，连接，使， 设， ， 解得，， ， ， ， ， ， ， ，即， 过作轴的平行线交轴于，同时过作于， ，， ， ， 同理，求得直线的解析式为， 设，则，， ， ， 代入抛物线的解析式中得：， 解得：（舍），， 的横坐标为， 综上，存在两个点，点的横坐标是2或． 2．如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标． 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或； (3)满足条件的点的横坐标为2或． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为，令得； （2）由，，知线段的中点，设，根据，得，即可解得的坐标为或； （3）分当时，时，当时三种情况，利用二次函数的性质和等腰三角形，勾股定理等性质进行计算即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线中， 则， 解得：， 抛物线的解析式为， 在中，令得， 解得：，， ； （2）解：存在轴上一点，使得是以为斜边的直角三角形，理由如下： 如图： 点是线段的中点，，， ， 设， 又， ， ， 即， 化简得：， 解得：，， 的坐标为或； （3）解：、， 设直线的解析式为， 把点代入解析式得，， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ①当时， 过点作于点，如图， ，轴， ∴， ，， 又， ， ∵ ∴ ∴ 是线段的中点， ， 整理得：， 解得：或， 点是第一象限内抛物线上的动点， ； ②时， ， ，即， 轴， ， 即， ， ， ， 此种情况不存在； ③当时， ， ， ， ， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）； 综上所述，满足条件的点的横坐标为2或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质、直角三角形性质及应用，利用分类讨论的思想是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上求出点Q，使． 【答案】(1)； (2)； (3)点Q的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、最值的确定等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，由，即可求解； （3）当点Q在下方时，证明，则，得到，即可求解；当点Q在上方时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 则为等腰直角三角形，则， 则， 设直线的表达式为， 将点A、C的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点P的坐标为：，则点， 则， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； （3）解：当点Q在下方时，如下图， 设交y轴于点H， ，， ， ， 即，即， 则， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在上方时， 同理可得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 4．如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线上方抛物线上一点D，连接，求的面积最大值以及此时点D的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线交新抛物线于第四象限的点E，连接，当时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）过D作轴于H交于M，设，，先利用待定系数法求得直线的表达式，由三角形的面积公式和坐标与图形性质可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据平移性质得到新抛物线的表达式，分点P在直线上方和下方，利用三角形的外角性质，结合坐标与图形和含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，则， 设抛物线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过D作轴于H交于M，设，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，面积最大，最大值为， 又当时，， 故点D的坐标为； （3）解：由（1）得：， ∵，， ∴将原抛物线沿射线方向平移，新抛物线与y轴交于点C，即就是将原抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为，即， 当点P在直线上方时，如图，设直线与新抛物线的另一个交点为F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即轴， 则点P的横坐标为， 当时，， ∴； 当点P在直线下方时，如图，设直线与新抛物线的另一个交点为F，过P作轴于H， 同理可得，又， ∴， ∴在中，， 由得， 设点P的横坐标为x，则， ∴，即 解得或（舍去） 则， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形、解一元二次方程等知识，综合性强，计算量大，正确求得函数关系式，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 5．已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C． (1)求c的值； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）将点代入中，即可求解； （2）根据（1）可得抛物线解析式为，求出，分为①当在轴上方抛物线上时，如图1，证明，即可求出点的坐标为． 在求出的解析式，联立即可得出点的坐标；②如图2，当在轴下方抛物线上时，根据对称性得出的解所式为，联立即可求出点的坐标； （3）设，求出直线的解析式，求得，求出直线的解析式，求得．即可求出，，即可得出，从而解得的取值范围． 【详解】（1）∵点在上， ， ； （2）根据（1）可得抛物线解析式为，如图1， 令，则， 解得， 则， 当在轴上方抛物线上时，如图1，设交轴于点， 在和中 ， ， ∴的坐标为． 设直线的解析式为， 代入，得，解得， 故的解析式为． 令， 得或． ∴点的坐标为； 如图2，当在轴下方抛物线上时，的解所式为， 令， 得或． ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． （3）设， 设直线的解析式为， 代入坐标得，， 解得． 所以直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为， 代入坐标得，， 解得． 直线的解析式为， 当时，， ∴，． ， ∴， ∴， ， 故． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式求解，一次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，二次函数的图象和性质，函数交点求解，二次函数最值求解等知识点，解题的关键是数形结合以及分类讨论． 1．（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数与系数关系、二次函数与不等式的关系，解答的关键是利用数形结合的思想方法进行推理和计算． 根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，则当时，可对①进行判断;根据对称轴方程得，再根据抛物线与轴交点可知，可对②进行判断；根据题意，当当时，二次函数值小于一次函数值，可得，将代入即可得出取值范围，可对③进行判断． 【详解】解：点D在x轴下方且横坐标小于3，抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标， ∴当时，， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∵抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， ， 故②正确； 直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3， ∴当时，二次函数值小于一次函数值， ，有， ， 解得：， 故③正确， 综上，正确的有3个， 故选：D． 2．（2024·天津宝坻·二模）如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据二次函数的图象与性质，分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得，解得，①结论正确； 函数关系， ∵， ∴小球的飞行高度最高可达到，②结论错误； 解方程， 得或， ∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到，③结论正确． 故选：C． 3．（2024·天津滨海新·二模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．分别求出和时，的值即可判断①正确，③错误；求出的最大值即可判断②正确，由此即可得． 【详解】解：当时，， 解得或， 则小球从飞出到落地用时为，结论①正确； ， 则小球飞行的最大高度为，结论②正确； 当时，， 解得或， 则小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是或，结论③错误； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 4．（2024·天津和平·三模）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中，正确结论的个数是（　　） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是10，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程，求出x值即可判断正误；③列出二次函数解析式，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 【详解】解：如图①，设边长为，则边长为， 当时，， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或， ∵时，，满足， 故②正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， 故③正确； 如图②，设，则弧长， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积． 故④不正确． ∴正确结论是②③2个． 故选：B． 5．（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为 ，进而建立方程组求出即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为米，故可判断①． 【详解】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为 ， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米），故①正确． 综上，正确的有①②共个． 故选：B． 6．（2024·天津河东·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题. 根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值. 【详解】解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B 7．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：①由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，则可对①进行判断；②根据抛物线与轴有两个交点，则△，作判断；③利用可得到，再把代入即可作出判断；④根据一元二次方程根的判别式可以作出判断． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ， ， 所以②错误； ③，， ， 把代入得， ， 所以③错误； ④对于方程，， ∵， ∴ 方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；， 所以④正确； 本题正确的有：①④2个， 故选：C． 8．（2024·天津河西·一模）已知点P是直线上的点，过点P的另一条直线m交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)若点P的横坐标为． ①当直线轴，求A，B两点的坐标； ②当时，求A，B两点的坐标； (2)试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立． 【答案】(1)①点A的坐标为，点B的坐标为 ②点A的坐标为，点B的坐标为 (2)详见解析 【分析】（1）①当直线轴时，得到点，的纵坐标为2．即可求解； ②当时，得到．即可求解； （2）由，得，结合图象性质以及建立一元二次方程，并运用判别式进行列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：点是直线上的点，其横坐标为， ． ， ①当直线轴时， 直线经过点交抛物线 于，两点， 点，的纵坐标为2． 则， 解得：， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为； ②当时， 分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，， 则， 则． 设点、， ， 整理得：． 同理，，有， ， 即， 解得：或（舍去）， 则，． 点的坐标为，点的坐标为； （2）证明：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，， 则， 由，得． 设点，点，点， 有， ． 同理，， ， ， 整理得关于的一元二次方程， 其中， 无论为何值时，关于的方程总有两个不相等的实数解， 即对于直线上任意给定的一点，在抛物线上都存在点，使成立． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 9．（2024·天津西青·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左边），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点B，点D的坐标； (2)连接，点P是抛物线上一点（点P与点均不重合），当时，求点P的坐标； (3)已知点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点Q是抛物线上点D至点M之间的一个动点（点Q与点D，点M均不重合），其横坐标为t，过点M作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l交于点N，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H，求式子的值． 【答案】(1)，B的坐标是，D的坐标是 (2)点P坐标为 (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出解析式，当，求出B的坐标，把解析式换成顶点式求出D的坐标即可； （2）过点B作x轴垂线，交于点E，证出，得到点E坐标，采用待定系数法求出直线解析式，即可求出交点； （3）先求出直线解析式，从而得到，当时，得到，由点D，点的坐标，求得直线解析式，当时,求出，代入即可． 【详解】（1）解：把点，点坐标代入， ， 解得． 抛物线的解析式为 当时，有， 解得，． 根据题意知点B的坐标是． ． 顶点D的坐标是． （2）解：由点，点，点， 知，， 故． ， ． 过点B作x轴垂线，交于点E， 则． ． 又，， 有． ． 点E坐标为． 设直线解析式为． 有， 解得， 直线解析式为． 根据题意知点P是直线与抛物线的交点， 有． 解得（不合题意，舍去），， 则点P坐标为． （3）解：如图， 根据题意可知点M坐标为，点N的坐标是， 点Q坐标为， 且， 设直线解析式为 解得，即， 当时，可得， 故． 由点D的坐标是， 点坐标为， 设直线解析式为 解得 即． 当时，可得, 故． ． 【点睛】本题主要为二次函数的综合，考查待定系数法，与轴交点，顶点，全等三角形判定和性质，二次函数的图像和性质等知识，采用数形结合的方法和待定系数法是解题的关键． 10．（2024·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，），对称轴为直线，与轴交于点和点，与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴于点，交直线于点，过点作交直线于点，若，求点坐标； (3)点是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线平移，点的对应点为，过点作轴于点，在平移的过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（）求出点坐标，得到点的值，再根据对称轴为直线，经过点列出方程组即可求解； （）分别求出直线的解析式，画出图象，再求出直线的解析式，求出直线与轴的交点的坐标，利用相似三角形的性质求出，即可得到点的横坐标，进而即可求解； （）求出顶点的坐标，进而求出直线的解析式，过点作于，则，可知当，即时，为等腰三角形，此时点的纵坐标为，据此即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，根据题意，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 又∵抛物线与轴有两个交点， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点和点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 根据题意，画图象如下： ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标为； （3）解：存在的坐标为时，为等腰三角形． ∵点是抛物线的顶点， ∴， ∵将抛物线沿着射线平移，点的对应点为， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作于，则， 当，即时，为等腰三角形，此时点的纵坐标为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴当的坐标为时，为等腰三角形． 11．（2024·天津和平·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过坐标原点，顶点P的坐标为，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线解析式和点A的坐标； (2)抛物线上有一点D，过点D作直线的垂线，垂足为点E，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l；（，为常数，）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段相交于点H，K，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一元二次方程等知识，综合性较强，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入，即可求出点A的坐标； （2）过点D作轴， 垂足为C， 与直线相交于点 B.设点D 的坐标为 则点B 的坐标为.求出求出与坐标轴的交点为.得到.则得到解得即可得到答案； （3）过点 H作， 过点 K作，求出点G的坐标为进一步得到根据有两个相等的实数根解得 求出直线l的解析式为，直线解析式为.得到进一步求出待定系数法求出直线解析式为.求出得到利用即可求出答案． 【详解】（1）∵抛物线顶点P的坐标为， ∵抛物线经过坐标原点， ∴把代入得到 解得. ∴抛物线解析式为 当时， 可得 解得 ∴点A的坐标为. （2）如图， 过点D作轴， 垂足为C， 与直线相交于点 B. ∵抛物线上有一点D， 设点D 的坐标为 则点B 的坐标为. 当时， 可得， 解得 当时， ∴直线与坐标轴的交点为. ∴ ∵， ∴. ∵轴，轴， ∴ ∴. 在中， 则 解得 ∴点D的坐标为或. （3）如图， 过点 H作， 过点 K作. ∵点 G是点 关于点的对称点， ∴点G的坐标为 ∴. ∵， ∴在中， ∵点O和点A关于对称轴对称， ∵直线l: (k， b为常数， 与抛物线只有一个公共点， 有两个相等的实数根. ∴. 即 解得 ∴直线l的解析式为， 设直线解析式为： 把代入， 解得 ∴直线解析式为. 解得 ∵在中， 设直线解析式为 把代入， 解得 ∴直线解析式为. 解得 ∵在中， 12．（2024·天津河西·二模）已知抛物线（为常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接． 当点的坐标为，且时，求的值； 当的最小值是时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（）把代入函数解析式，再转化成顶点式即可求解； （）求出，根据点在轴负半轴，可得，进而得，再根据可得，解方程即可求解； 由点为的中点得点的运动轨迹为直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，中点坐标公式，勾股定理，轴对称的性质，三角形的三边性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 在中，当时，，， ∵点在轴负半轴， ∴，即， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，点在轴负半轴上， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∵，即， ∴， 解得或， 又∵， ∴； 由知点，，点， ∵点是轴上一点，点为的中点， ∴随着点的运动，点的运动轨迹为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为， 由对称的性质可知，点的坐标为， ∵点在轴负半轴上， ∴， 在中，， 即， 解得或， ∵， ∴． 13．（2024·天津武清·三模）已知抛物线(为常数，)与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴相交于点． (1)若点的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，求的值； (3)若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，当的最小值为17时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出答案； （2）将代入抛物线解析式得，求出，设点，根据抛物线的对称性得出，求出的长，再由建立方程，求解即可； （3）由（2）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线解析式为，，求出，，作点关于对称轴的对称点，则，，将点向右平移个单位长度得到，则，，证明四边形是平行四边形，得出，从而得到，连接，当点、、在同一直线上时，的值最小，即的值最小，为，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点为； （2）解：将代入抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，即， 设点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线解析式为，， ∵点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点， ∴，， ∴，， 作点关于对称轴的对称点，则， ∴，即， 将点向右平移个单位长度得到，则，， ∵为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴设，则，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 连接，当点、、在同一直线上时，的值最小，即的值最小，为， ∵的最小值为17， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．（2024·天津河北·二模）已知抛物线 与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，过抛物线的顶点作轴于点，点在轴正半轴上，，点在抛物线上，过点作轴垂线，交轴于点，交直线于点． (1)若， ． ①求抛物线顶点 和点的坐标； ②若点在第一象限，过点作垂直直线于点， 求点的坐标； (2)若， ， 点与点关于抛物线的对称轴对称， 射线交直线于点， 当 时，求顶点的坐标． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形； （1）①待定系数法求解析式，即可求解； ②设，其中，由轴于点，在中，得出，求得直线 的解析式为，由于点，轴于点，交于点，则，在中，，根据，解方程，即可求解； （2）根据解析式得出，同（）可得，在中，，根据，建立方程，得出，根据由，点在直线：上，得出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）①将， ，代入，得即，其顶点为， 令，得，即， 令，得， 解得，即， ②点在第一象限，设，其中，由轴于点    由①顶点，，， 有，即 点在轴正半轴， 故在中，，即 设直线 的解析式为：，代入， 解得 即直线 的解析式为 由于点，轴于点，交于点， ， 在中， 点在第一象限， 即， 解得 舍去 即 （2）由，，点与点关于抛物线的对称轴对称， ，对称轴直线，， 顶点坐标为即， 同（）可得，在中，， ， ， ， 解得：， 在中，， 在中， 由，点在直线：上， 则，， 解得：， ， 顶点的坐标为    15．（2024·天津河东·二模）已知抛物线（a，b，c为常数）． (1)若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； (2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 【答案】(1)①②当面积最大时，此时 (2) 【分析】（1）①由待定系数法求出抛物线解析式，再另即可求出抛物线与x轴的交点坐标；②连接并长，过P作轴，交丁点Q，设，求出的函数解析式，则，根据两点之间的距离公式求出，再根据，即可得出，利用二次函数的性质可得出当时，面积有最大值，进一步即可求出点P的坐标． （2）先用待定系数法求出抛物线解析式以及点C的坐标，过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G，则，进一步可得出，由选旋转的性质可得出，结合已知条件可得出，利用证明，由全等的性质可得出，由角平分线的性质定理可得出，即，再用待定系数法求出，进一步可求出的坐标，设，根据，列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵是抛物线的对称轴，且 ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴时， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． ②连接并长，过P作轴，交丁点Q， 设， ∵点， ∴的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，面积有最大值， 此时． （2）∵抛物线过点，得， 又∵， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴ 过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G， 则， ∴， 设与x轴交于K，由旋转可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 设， ∵， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，两点之间的距离公式等等知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 16．（2024·天津红桥·二模）已知抛物线（，为常数，）经过点和点，与轴相交于点，为抛物线上横坐标为的点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，过点作轴的垂线与相交于点，若，求点的坐标； (3)为线段的中点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，线段周长问题，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，得出直线的解析式为，，点，，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论；① 当点 在 上方时，②当点在下方时，设与轴交于点，分别求解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 解得. 该抛物线的解析式为：； （2）当时，， 点；可得 设直线的解析式为，将点，代入， 解得： 直线的解析式为， 设，点， ， 解得 点的坐标为 （3）为的中点，， ① 当点 在 上方时， 由，解得 点的坐标为或 ②当点在下方时，设与轴交于点， ， 设，则， 在中， 解得 设直线的解析式为 可得直线 的解析式为 解得：或， 当时，，当时， 的坐标为或 综上所述：点的坐标为或或或 17．（2024·天津宝坻·二模）已知抛物线（为常数，）与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标为． (1)求的值及抛物线顶点坐标； (2)点关于轴对称点为为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点的坐标； ②若为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 【答案】(1)，抛物线顶点坐标为； (2)①点的坐标；②． 【分析】（1）利用待定系数法可求得的值，配成顶点式即可求得抛物线顶点坐标； （2）①当时，最短，据此求解即可； ②过点作直线平行于交轴于点，求得直线的解析式为，得到，作点关于直线的对称点，交直线于点，得到，则当在同一直线上时，的值最小，再求得点，过点作轴，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：①当时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标； ②过点作直线平行于交轴于点， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 作点关于直线的对称点，交直线于点， ∴， ∴当在同一直线上时，的值最小， ∵，，， ∴， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∴与直线的交点， 过点作轴，垂足为点， ∵在中，． 【点睛】本题是次函数的综合问题，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 18．（2024·天津·一模）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点． (1)若，． ①求点和点，的坐标； ②当点 为直线与抛物线的交点时，求的最小值； (2)若，，且的最小值等于时，求，的值． 【答案】(1)①，； ② (2)， 【分析】（1）①由抛物线的表达式可确定点的坐标；令，所得的值可确定点，的坐标； ②当时，的值最小，即可求解； （2）证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解∶①∵，， ∴抛物线解析式为 ， ∴点， 当时， ， 解得：，， ∵点在点左侧， ∴，； ②∵直线过点且平行于轴，点为直线与抛物线的交点，点， 令， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴ ， 解得：， ∴直线解析式为， 过点作轴交轴于点，与交于点， 将代入，得：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵直线过点且平行于轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）∵抛物线， 当时，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图， 作， 使，，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、共线时， 有最小值，最小值为线段的长， ∴ ， ∵∵直线过点且平行于轴，，， ∴， ∴， ∴， 即 ， 解得：或 （负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∵抛物线过，， ∴， ∴，． 【点睛】本题是二次函数综合运用，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，垂线段最短，三角形三边关系等知识点．通过作辅助线构造直角三角形、构造全等三角形是解题的关键． 19．（2024·天津·二模）已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为． (1)求a，c的值及抛物线顶点坐标； (2)点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点P的坐标； ②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 【答案】(1)，，顶点坐标为 (2)① ② 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得a、c的值，再将解析式化成顶点式，即可求解； （2）①由垂线段最短得，当时，最短，连接，过点P作于E，先根据，求得，再证明，得，即，代入即可求解； ②过点Q作交x轴于H，交y轴于G，则点P在移动，点Q在上移，根据，所以作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值，连接，可求得，再证明，得，即可求出的长． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：①∵当最短时，∴，连接，过点P作于E，如图， ∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得， ∴； ②过点Q作交x轴于H，交y轴于G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点P在移动， ∴点Q在上移， ∵ ∴作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值， 连接， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点A关于的对称点， ∴，， ∴ ∴ ∵点C关于x轴对称点为D， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴当的值最小时， 的长为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，利用轴对称求最短距离问题．本题属二次函数综合题目，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（2024·天津南开·二模）已知抛物线（其中a，b，c为常数，，）与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且点A坐标为．点在抛物线上，连接，过抛物线的顶点E作直线，交抛物线于点P，设点P的横坐标为m． (1)若时，求抛物线的解析式及点E的坐标； (2)若，求a，m的值； (3)过点P作轴交直线于点Q，连接，恰有轴，求a，m的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)抛物线解析式为，点E的坐标为； (2)，m的值为； (3)， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是： （1）把A、D的坐标代入求解即可； （2）把A、D的坐标代入，求出a，b的值，然后利用待定系数法求出直线解析式，进而求出直线解析式，然后联立方程组求解即可； （3）把D的坐标代入，求出，把A的坐标代入，求出，则，，，求出顶点，利用待定系数法求出解析式为，结合，可求出解析式为，联立方程组，求出，，结合轴，求出Q的横坐标为，求出，根据轴，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，，， ∴， 解得， ∴ ∴顶点E的坐标为； （2）解：当时，，，， ∴， 解得或或， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴； （3）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 化简得， ∵， ∴， 又， ∴，， ∴，，， ∵， ∴顶点， 设解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∵轴， ∴， 代入，得， 解得， 令，则， 解得，， ∴， ∵轴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$