专题08 圆-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题08圆 思维导图 真题再现 题型一、圆切线的性质定理 1．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 2．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出； （2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，    ∴，得． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接．    同（1）得． ∵在中，， ∴． ∴． 又， ∴． ∵与相切于点E， ∴，即． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识． 3．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 4．（2021·天津·中考真题）已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知，，即可推出；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而求出． （Ⅱ）连接，由平行线的性质可知．由圆内接四边形的性质可求出．再由三角形内角和定理可求出．从而由圆周角定理求出．由切线的性质可知．即可求出． 【详解】（Ⅰ）为的直径，   ∴． ∵在中，， ∴； ∵， ∴． ∴． （Ⅱ）如图，连接． ∵， ∴． ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∴． ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质．利用数形结合的思想以及连接常用的辅助线是解答本题的关键． 5．（2020·天津·中考真题）在中，弦与直径相交于点P，． （Ⅰ）如图①，若，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，过点D作的切线，与的延长线相交于点E，求的大小． 【答案】（I），；（II）． 【分析】(Ⅰ)先由△CPB中外角定理求出∠C的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD的值；且∠ADC=∠ABC，再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC即可得到∠CDB的值； (Ⅱ)连接OD，由CD⊥AB先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质可知∠ODE=90°，进而求出∠E的度数． 【详解】解：（Ⅰ）是的一个外角，，， ． 在中，， ． 为的直径， ． 在中，， 又， ． 故答案为：，． （Ⅱ）如下图所示，连接OD， ， ． ． 在中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ， ∴， 是的切线， ．即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键． 未来视野 题型一、垂径定理 1．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故选：C． 2．如图，A是的直径，弦于点，连接，，则弦的长为(   ) A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理，解直角三角形，垂径定理；先根据垂径定理得出，再由圆周角定理求出的度数，在中，根据锐角三角函数的定义即可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：是的直径，弦于点， ， ， ， 在中， ，， ． 故选：D． 3．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，高米，则此圆的半径的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，先根据垂径定理得出的长，设米，则米，由勾股定理得到，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴米，， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径的长度为米， 故选：． 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：，是直径，， ， 在中，（）， （）， 故选：． 5．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，设寸，则寸，寸，先根据垂径定理求出寸，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 则， 设寸，则寸，寸， ∵是的直径，弦于点，寸， 寸， 在中，，即， 解得， 则寸， 故答案为：26． 题型二、圆周角定理 1．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．根据切线的性质得出，继而求得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 为的直径， ， ． 故选：C． 3．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，即可求解，掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，是的外接圆，的半径为3，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式，连接、，由圆周角定理可得，再根据弧长公式进行计算即可，熟练掌握圆周角定理以及弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ， ， 故选：A． 5．如图，是的直径，，，是上的三点，，点是的中点，点是上一动点，若的半径为，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．﹣1 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得＋的最小值为，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后可得，再求出，根据对称性及图形得出，从而判断出 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得的长度． 【详解】解：作点关于的对称点，连接、、、，则＋的最小值， ， ， ， 点为的中点， ， 由对称性可得，， ， 是等腰直角三角形， ，即＋的最小值为． 故选C． 题型三、圆的切线判定定理 1．如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查圆的综合题型，涉及切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形相似，角的正切值． （1）先用勾股定理的逆定理证是直角三角形，得出即可； （2）证，得到对应边成比例，再变形即可，具体见详解； （3）先求出的值，再证明得出对应边的比，最后用对应边的比表示出即可． 【详解】（1）证明：在中 是直角三角形 是的的直径 是的切线； （2）证明：是直径， （公共角） 即； （3）由（2）得 即 解这个方程，得或（舍去） 连结 与都是的直径， 与互相平分 四边形为平行四边形， 在中 ． 2．如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求劣弧的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，求出，求出，再根据切线的判定求出即可； （2）求出，求出，求出和，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ， 过， 为的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ，， ， 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 解得：，， 即， 劣弧的长是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，弧长公式等知识点，能熟记切线的判定和弧长公式是解此题的关键． 3．如图，点在以为直径的上，平分，且于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，解决本题的关键是掌握切线的判定． （1）如图1中，连接．只要证明，由，即可推出； （2）过点作于点，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长． 【详解】（1）证明：如图中，连接．   ， ， 平分， ， ∴， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点，得矩形，   ，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得． 的半径为． 4．如图，是的直径，F为上一点，平分交于点C．过点C作交的延长线于点D． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，交与点，首先借助圆周角定理证明四边形为矩形，由矩形性质可得，，利用垂径定理即可推导；然后在中，由勾股定理计算的长即可． 【详解】（1） 证明：连接，如下图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接，交与点，如下图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，即， ∵为半径， ∴， ∴在中，由勾股定理可得． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键． 5．如图，在中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线； （2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ， 则， 设，， ， ， 为的直径， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）如图， 是的切线，则，又， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， 由（1）可得， ， ， ， 解得 ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 1．（2024·天津西青·二模）已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接． (1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小； (2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出的度数，根据等弧所对的角等得到，根据直径所对的角为直角求出，即可求出结果； （2）连接，得到，根据等边三角形性质，再求出，再利用勾股定理即可求出； 本题主要考查切线的性质，圆周角定理，弧，弦，等边三角形等知识． 【详解】（1）解：连接． ， ． ∵点C是的中点， ． ． ∵AB是的直径， ． ． ． （2）解：连接． ∵点D是半圆的中点， ． ． ， ． ， ． ，， ． 是等边三角形． ． ． ∵切于点C， ．即． ． ． ． ． ． 在中，． 2．（2024·天津河西·一模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)； (2)半径为4 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】（1）解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． （2）如图：连接，   直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 3．（2024·天津·一模）已知，是的直径，且，E为 上一点，与交于点F． (1)如图①，若E为 的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，过点E作的切线，分别与，的延长线交于点G，H，若的半径为6， ， 求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理及切线的性质，熟练掌握圆周角的相关性质及切线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据圆周角定理可进行求解； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定可进行求解． 【详解】（1）解：∵E为 的中点， ， ， 又∵， ∴． ∴， ∵是的直径， ∴， ； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴，即． ， 又，得， ∵，得， ∴． ∴． 在中，，， ∴． 在中，， ． 4．（2024·天津·二模）已知是的直径，是的弦． (1)如图①，若为的中点，，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据为的中点，得到，进而得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ； （2）解：是的切线，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5．（2024·天津滨海新·二模）在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂径定理推论得到，再根据圆周角定理可求，由切线的性质得到，即可求解； （2）连接，过点M作，垂足为点H，解得出，，然后通过以及对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：连接，过点M作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 6．（2024·天津和平·三模）圆内接四边形，平分，． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，过点作圆的切线与的延长线相交于点，若，，求圆半径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明得出，根据四边形是圆内接四边形，可得，即可得出； （2）由（1）可得是圆的直径 设的中点为，点即为圆心连接并延长与相交于点根据垂径定理可得，结合已知条件可得 是等边三角形，进而得出四边形 是矩形，得出，根据含度角的直角三角形的性质，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解:∵平分， ， 、 ， 又， 四边形是圆内接四边形， （2）， 是圆的直径 设的中点为，点即为圆心 连接并延长与相交于点 是的切线， ， 由 () 得， 可得 是等边三角形 在中， ， 四边形 是矩形 即圆的半径长为    【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2024·天津河西·二模）在中，延长直径至点，以为一边的等腰三角形，，底边与交于点，直线是的切线，交于点． (1)如图①，当时，求和的大小； (2)如图②，当且直线恰与相切．若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据等腰三角形的判定与性质可知，最后利用平行线的判定与性质以及切线的性质即可解答； （）根据等边三角形的判定与性质可知，再利用切线的性质及角平分线的判定可知，最后利用锐角三角函数及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵直线是的切线， ∴， ∵，，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线，是的切线， ∴， ∴，，又， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，切线的性质、等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质以及切线的性质是解题的关键． 8．（2024·天津宝坻·二模）已知是的直径，是的弦． (1)如图①，若为的中点，，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据为的中点，得到，进而得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ； （2）解：是的切线，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 9．（2024·天津武清·三模）已知是的直径，是的弦，连接并延长交于点E，，，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点G．若，求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据垂径定理可得，从而得出，再证明是等边三角形，得到，根据圆周角定理，得到，即可求解； （2）根据勾股定理求出，的长，再证明，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于点，如图： ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∵是的切线， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴． 10．（2024·天津河东·一模）已知点在上． (1)如图①，过点作的切线，交延长线于点是弧的中点，连接并延长，交于点，交于点，交切线于点，连接．若，求的大小； (2)如图②，若，的半径为5，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆的切线的性质，得到，再根据圆周角定理，得到，进而得到，然后结合垂径定理求解即可； （2）连接，过作，垂足为，根据圆周角定理，推出，是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理，求出，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，连接， 为的切线，为切点， ，． ， ， ， 是弧的中点， ，． 在中，． （2）解：如图，连接，过作，垂足为， ，， ， ，． ，是等腰直角三角形， ，， ，， 在中，， ． 11．（2024·天津南开·三模）如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接．    (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，垂径定理，得到，切线得到，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）分别连接，求出，设的半径半径为r，在中，利用三角函数求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵，， ∴． ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∴． ∵为的切线，且为半径， ∴，即， ∴． （2）如图，分别连接，    由（1）可知，且， ∵， ∴． 在中，有， 即：， ∴． ∵是的直径， ∴， ∵，且G为中点， ∴， ∴， ∴， 设的半径半径为r， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，，， 由勾股定理得：， ∴，即半径为． 12．（2024·天津西青·一模）已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小和的长； (2)如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识， （1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解； （2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接． 切于点， ，即． 是的直径，， ． ． ． ． ． ． 在中，． （2）解：连接． ，， 是等边三角形． ． 同（1）可得， ， ． ， ．即， 又是的直径， ． 是等边三角形，， ． 在中，． ． 13．（2024·天津滨海新·一模）在中，，为上一点，与相交于点． 图①                            图② (1)如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小； (2)如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直径，得到，等边对等角，得到，利用，求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，进而求出的度数； （2）连接，与相交于点，等边对等角，推出，得到，切线，得到，推出四边形为矩形，得到，即可． 【详解】（1）为的直径， ． ． ， ． ． 四边形是圆内接四边形， ． ． （2）如图，连接，与相交于点． ， ． ， ． ． ． 与相切于点， ，即． ． ， ． ，． 为的直径， ． 四边形为矩形． ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 14．（2024·天津河北·一模）在中，点A，点B，点P在圆上，． (1)如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； (2)如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由半径经过弦的中点．可得，则，，由，可得，根据，计算求解即可； （2）由题意得，由切线的性质可知，则，由，可得，则为等边三角形，，，由勾股定理求即可． 【详解】（1）解：∵半径经过弦的中点． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 15．（2024·天津河东·二模）已知是的直径，点C，点D在上． (1)如图①，若且C是弧的中点，与延长线交于点E，求的大小； (2)如图②，过点D作的切线l，若切线，且，，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，如图，先根据圆心角、弧、弦的关系，由 得到 ，再根据平行线的性质得到，接着证明为等边三角形得到，进而得到，然后判断和都为等边三角形得到，从而得到的度数； （2）连接，，过B点作于H点，根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，即，利用圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质计算出，，然后利用勾股定理计算出，最后计算即可． 【详解】（1）解：连接，，如下图 ∵C是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴都为的等边三角形， ∴， ∴． （2）连接，，过B点作于H点，如图： ∵直线l为切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定以及性质，切线的性质以及勾股定理等知识，作出辅助线是解题的关键． 16．（2024·天津河北·二模）在中， 是的直径， ，弦交于点 ， (1)如图①， 求 和的大小； (2)如图②， 过点作的切线， 过点作 于点，若 求 的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理， （1）连接，根据垂径定理证明，然后根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）根据切线的性质证明，过点作于点，结合（1）证明是等腰直角三角形，四边形为矩形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：在中，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图②，连接， 切于点， 于点，， 于点， ， ， ， 同（）可得， ， 如图②，过点作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ． 17．（2024·天津红桥·二模）以为直径的分别与的边相交于点D，E，平分． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点F，与相交于点G．若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合可求得，再根据角平分线的性质即可求解； （2）连接，根据切线的性质和角平分线的性质、三角形外角的性质可得是等边三角形，根据三线合一的性质可得，即可求解． 【详解】（1）∵为的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ （2）连接 ∵过点E作的切线， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，是等边三角形 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 18．（2024·天津南开·二模）已知，的半径为．在中，，，点在上． (1)如图，的顶点在上，，分别交于，两点，连接，．求的大小和的长； (2)如图，的顶点在外，且边与相切于点，边与相交于点，连接，，求和的长． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】（1）由等腰三角形及三角形的内角和定理得，点在上，且，在中，由勾股定理得：，从而得；然后利用圆内接四边形的性质及解直角三角形即可求解； （2）如图，连接，过点作于点，由切线性质得于点，即，证四边形为矩形，得，，即，又由垂径定理得，即；从而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵点在上，且， 为直径，即， 在中，，，， 由勾股定理得：， ； ∵四边形内接于圆，且， ， ，， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵切于点，且为半径， 于点，即， ∵， 四边形为矩形， ，， ∴， ∵，且为半径， ，即； 在中，由勾股定理得：， ，可知； 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形以及切线的性质定理和矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形以及切线的性质定理和矩形的判定及性质是解题的关键． 19．（2024·天津·三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补可求，利用圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理即可求出；根据点为中点，可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出； （2）先利用圆周角定理、切线的定义、垂径定理的推论证明，进而得出四边形是矩形，，再利用勾股定理求出，利用垂径定理可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：（1）如图①，连接．   四边形内接于，， ， 为的直径， ， ． 点为中点， ， ． 综上可知，． （2）解：如图②，连接，连接交于点． 为的直径， ， ， 为的切线， ，即， 点为中点，为过圆心的线段， ，即， ， 四边形是矩形， ． ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理及其推论，勾股定理，矩形的判定与性质，圆内接四边形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识，逐步进行推导． 20．（2024·天津·一模）已知，是的直径，且，为上一点，与交于点． (1)如图①，若为的中点，连接，求和的大小; (2)如图②，过点作的切线，分别与，的延长线交于点，，若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可知，再根据圆周角定理可得、、，然后根据角的和差即可解答； （2）如图：连接,过E作，即，由切线的性质可得，即，再根据勾股定理可得，再证明可得进而求得，再运用勾股定理可得，即，最后再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图①，∵，是的直径且， ∴， ∵为的中点， ∴, ∴, ∵是的直径， ∴, ∴． （2）解：如图：连接，过E作，即， ∵过点作的切线， ∴,即,则， ∴, ∵, ∴， ∴, ∵， ∴, ∴,即,解得：, ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握圆的相关性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08圆 思维导图 真题再现 题型一、圆切线的性质定理 1．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 2．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 3．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 4．（2021·天津·中考真题）已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小． 5．（2020·天津·中考真题）在中，弦与直径相交于点P，． （Ⅰ）如图①，若，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，过点D作的切线，与的延长线相交于点E，求的大小． 未来视野 题型一、垂径定理 1．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，A是的直径，弦于点，连接，，则弦的长为(   ) A．6 B． C．12 D． 3．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，高米，则此圆的半径的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为 寸． 题型二、圆周角定理 1．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（　  　） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的外接圆，的半径为3，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，，，是上的三点，，点是的中点，点是上一动点，若的半径为，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．﹣1 题型三、圆的切线判定定理 1．如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)求的正切值． 2．如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求劣弧的长． 3．如图，点在以为直径的上，平分，且于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 4．如图，是的直径，F为上一点，平分交于点C．过点C作交的延长线于点D． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 5．如图，在中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1．（2024·天津西青·二模）已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接． (1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小； (2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长． 2．（2024·天津河西·一模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 3．（2024·天津·一模）已知，是的直径，且，E为 上一点，与交于点F． (1)如图①，若E为 的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，过点E作的切线，分别与，的延长线交于点G，H，若的半径为6， ， 求的长． 4．（2024·天津·二模）已知是的直径，是的弦． (1)如图①，若为的中点，，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 5．（2024·天津滨海新·二模）在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 6．（2024·天津和平·三模）圆内接四边形，平分，． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，过点作圆的切线与的延长线相交于点，若，，求圆半径的长． 7．（2024·天津河西·二模）在中，延长直径至点，以为一边的等腰三角形，，底边与交于点，直线是的切线，交于点． (1)如图①，当时，求和的大小； (2)如图②，当且直线恰与相切．若，求的长． 8．（2024·天津宝坻·二模）已知是的直径，是的弦． (1)如图①，若为的中点，，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 9．（2024·天津武清·三模）已知是的直径，是的弦，连接并延长交于点E，，，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点G．若，求的长． 10．（2024·天津河东·一模）已知点在上． (1)如图①，过点作的切线，交延长线于点是弧的中点，连接并延长，交于点，交于点，交切线于点，连接．若，求的大小； (2)如图②，若，的半径为5，，求的长． 11．（2024·天津南开·三模）如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接．    (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径． 12．（2024·天津西青·一模）已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小和的长； (2)如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长． 13．（2024·天津滨海新·一模）在中，，为上一点，与相交于点． 图①                            图② (1)如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小； (2)如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长． 14．（2024·天津河北·一模）在中，点A，点B，点P在圆上，． (1)如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； (2)如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 15．（2024·天津河东·二模）已知是的直径，点C，点D在上． (1)如图①，若且C是弧的中点，与延长线交于点E，求的大小； (2)如图②，过点D作的切线l，若切线，且，，求弦的长． 16．（2024·天津河北·二模）在中， 是的直径， ，弦交于点 ， (1)如图①， 求 和的大小； (2)如图②， 过点作的切线， 过点作 于点，若 求 的长． 17．（2024·天津红桥·二模）以为直径的分别与的边相交于点D，E，平分． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点F，与相交于点G．若，求的长． 18．（2024·天津南开·二模）已知，的半径为．在中，，，点在上． (1)如图，的顶点在上，，分别交于，两点，连接，．求的大小和的长； (2)如图，的顶点在外，且边与相切于点，边与相交于点，连接，，求和的长． 19．（2024·天津·三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 20．（2024·天津·一模）已知，是的直径，且，为上一点，与交于点． (1)如图①，若为的中点，连接，求和的大小; (2)如图②，过点作的切线，分别与，的延长线交于点，，若的半径为6，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$