专题07 三角函数与视图-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题07 三角函数与视图 思维导图 真题再现 题型一、三角函数运算 1．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2022·天津·中考真题）的值等于（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（2021·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 题型二、三视图 1．（2024·天津·中考真题）下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ）    A．  B．   C．   D．   3．（2022·天津·中考真题）下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A．B．C．D． 5．（2020·天津·中考真题）右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A．B．C． D． 题型三、三角函数的应用 1．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 2．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 3．（2022·天津·中考真题）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 4．（2021·天津·中考真题）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73． 5．（2020·天津·中考真题）如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接．测得，，．根据测得的数据，求的长（结果取整数）． 参考数据：，，． 未来视野 题型一、三角函数与四边形结合 1．如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ． 3．如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．若，，则 ． 4．如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接．若，则的长为 ． 5．在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N． (1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论； (2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若．连接交于点G．求的长； (3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值． 题型二、三角函数与圆结合 1．如图，在中，，，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是 ． 3．如图，为的直径，点B是圆上的动点，点D在外，连接交于点E，连接．    (1)若，求证：是的切线； (2)若，设的面积分别为，当时，求的值； (3)在（1）的条件下，若，求的值． 4．如图，圆O半径，互相垂直，弦，过点C 的直线， (1)求证： 是圆O的切线； (2)求 的值． 5．如图，为的直径，点C是弧的中点，点D在圆O上，点E在的延长线上，且．    (1)求证：DE是的切线； (2)连接，若，，求的长． 题型三、三角函数中的比值 1．如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 2．如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 ． 3．如图，点在正方形的边上，连接，过点作的垂线，连接，则点在上运动（不与端点重合）的过程中，的范围是 ． 4．如图，四边形内接于，是的直径，分别延长、相交于点，，点在上，且． (1)若，，求的值； (2)求证：是的切线； (3)点是劣弧的中点，连接交于点，若，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，内接于为直径，为上的点，连结并延长交于点为上的点，连结交于点，已知． (1)用含的代数式表示的大小． (2)求证：． (3)连结并延长交于点，若，求的值． 1．（2024·天津南开·二模）的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津滨海新·二模）的值等于（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（2024·天津红桥·三模）的值等于（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·天津红桥·三模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津河西·一模）下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津宝坻·二模）下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津宝坻·二模）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 8．（2024·天津和平·二模）的值等于（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津和平·三模）的值等于（　　） A．0 B． C． D．1 10．（2024·天津·二模）右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 11．（2024·天津滨海新·二模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（    ）    A．  B．  C．  D．   12．（2024·天津南开·二模）校庆期间，小南同学从家到学校瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从家出发后，导航给出两条线路，如图：①；②．经勘测，点E在点A的北偏西方向米处，点D在点E的正北方向，点M在点D的正东方向90米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东方向；点C在点M的正东方向米处，且在点B的北偏西方向．    (1)求的长度；（结果保留根号） (2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择哪条路线距离更短（参考数据：，，取0.6，取0.8，取0.75）． 13．（2024·天津宝坻·二模）学校教学楼上悬挂一块标语牌，标语牌的高，数学兴趣小组要测量标语牌的底部点到地面的距离．兴趣小组在处测得标语牌底部点的仰角为，在处测得标语牌顶部点的仰角为，．设标语牌底部点到地面的距离为（单位：）． (1)用含的式子表示线段的长； (2)求点到地面的距离的长（取0.4，结果取整数）． 14．（2024·天津河东·二模）如图，，是两条南北向的笔直的公路，是公路上一座南北走向的大桥，一辆汽车在公路上由南向北行驶．已知在A处测得桥头C在北偏东方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在北偏东方向上，桥头D在北偏东方向上．    (1)求线段的长和的度数； (2)设两条公路之间的距离的长度为x（单位：m）． ①用含有x及的式子表示线段的长； ②若，求大桥的长度（，，结果保留整数）． 15．（2024·天津·二模）学校教学楼上悬挂一块标语牌，标语牌的高，数学兴趣小组要测量标语牌的底部B点到地面的距离．兴趣小组在C处测得标语牌底部B点的仰角为，在D处测得标语牌顶部A点的仰角为，．设标语牌底部B点到地面的距离为h（单位：m）．    (1)用含h的式子表示线段的长； (2)求B点到地面的距离的长（取0.4，结果取整数）． 16．（2024·天津滨海新·二模）如图，学校数学兴趣小组计划测量建筑物的高度，先在处测得该建筑物顶端的仰角为，从处前进到达处，在处测得该建筑物顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，且．求建筑物的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 17．（2024·天津和平·三模）如图，小岛A，B，C在同一条南北方向的直线上．一艘轮船位于灯塔M的正西方向，距离灯塔M30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔M的西北方向上的B处，轮船沿北偏东方向航行到达小岛D，这时测得灯塔M位于D的南偏东 方向上，C在D处的正西方向． (1)求小岛A，B之间的距离的长； (2)设小岛C，D之间的距离为h（单位：海里）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求小岛C，D之间的距离．（，，，取1.73，结果精确到0.1） 18．（2024·天津河北·二模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量郊外一小山的高度．如图，两山脚距离，在山脚测得山腰处的仰角为 ，山脚和山腰相距， 在山腰处测得山顶的仰角为 ，在山脚测得山顶的仰角为 ，点，， ，在同一平面内． (1)求山腰到的距离的长； (2)设山高为 (单位：)． ①用含有的式子表示线段的长结果保留三角函数形式)； ②求山高 (取， 取， 取，结果取整数)． 19．（2024·天津武清·三模）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 20．（2024·天津·三模）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角函数与视图 思维导图 真题再现 题型一、三角函数运算 1．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 2．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可． 【详解】解 ：， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（2022·天津·中考真题）的值等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图： ∴∠B=90°-45°=45°， ∴△ABC是等腰三角形，AC=BC， ∴根据正切定义，， ∵∠A=45°， ∴， 故选 B． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 4．（2021·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据30°的正切值直接求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 故选：A． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可． 题型二、三视图 1．（2024·天津·中考真题）下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是指从正前方向看到的图形求解即可． 【详解】解：由此从正面看，下面第一层是三个正方形，第二层是一个正方形（且在最右边）， 故选：B． 2．（2023·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图的定义判断． 【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形， 故答案为：C． 【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键． 3．（2022·天津·中考真题）下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图． 【详解】解：几何体的主视图为： 故选：A 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 4．（2021·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图． 【详解】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据主视图的概念由立体图形得到相应的平面图形． 5．（2020·天津·中考真题）右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，画出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正方形，即： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向． 题型三、三角函数的应用 1．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 2．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 3．（2022·天津·中考真题）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】这座山的高度约为 【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：这座山的高度约为． 【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程． 4．（2021·天津·中考真题）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73． 【答案】的长约为168海里． 【分析】如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H,解直角三角形即可 【详解】如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H． 根据题意，． ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴． 又， ∴． 可得． ∴． 答：的长约为168海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造高线构造出直角三角形，并灵活解之是解题的关键． 5．（2020·天津·中考真题）如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接．测得，，．根据测得的数据，求的长（结果取整数）． 参考数据：，，． 【答案】AB的长约为160m． 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H． 根据题意，，，． 在中，， ． 在中，，， ，． 又， ．可得． ． 答：AB的长约为160m． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型． 未来视野 题型一、三角函数与四边形结合 1．如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半． 先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，． 【详解】解：连接，如图，    ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 3．如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．若，，则 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，可得，，利用，结合矩形的性质证明，即，设，而，则，，，再求解，由折叠可得：，，利用 ，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴四边形是矩形， 则，， ∵， ， ∵矩形， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴设， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴，   解得：，经检验符合题意； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键． 4．如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，过点作于点，先证明是等边三角形，再证，得出，，由折叠的性质可得，利用三角函数求得的长，进而得点与点重合，从而求得的长，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ∵将沿折叠，的对应边交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点与点重合， ， 故答案为：． 5．在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N． (1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论； (2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若．连接交于点G．求的长； (3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为或 【分析】（1）由四边形是正方形，则，，由翻折的性质得，，，由旋转的性质得，，，，，证明，则，进而可证； （2）由四边形是菱形，是对角线，，可得 ，，由翻折的性质得，，，，，由旋转的性质得，，则，即是的平分线，证明，则．，如图2，连接，证明，则，由，可得，进而可求的长； （3）由题意知，分①在点右侧，；②在点左侧，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 由翻折的性质得，，， 由旋转的性质得，，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 由翻折的性质得，，，，， 由旋转的性质得，， ∴，即是的平分线， 又∵， ∴， ， ， ， ∴． ∴， 如图2，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折的性质可知，，， ∴， 由题意知，分①在点右侧，；②在点左侧，两种情况求解； ①当在点右侧，时，如图3，    设，则，， 由勾股定理得，， ∴； ②当在点左侧，时，如图4，    设，则，， 由勾股定理得，， 同理①，； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键． 题型二、三角函数与圆结合 1．如图，在中，，，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质、扇形面积的计算、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，求得，得到，根据三角形中位线定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵O是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆的有关计算，勾股定理和等腰直角三角形的性质，利用特殊角度度角的正切值为切入点，构造出一个特殊的度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段，此时点与点重合，进而求出所需要的最大值，解题的关键熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】如图，作，过点作于点，延长交于点，过点作垂足为点，过点作于点，延长交于点， 当点与点重合，点在点处时，取得最大值， 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或 （舍去）， ∴， ∵， ∴， 在上取不同于点的一点，过点作于点，过点作 所在的直线于点，并延长交于点， ∵，， ∴， 则或， ∵，， ∴，， ∴，， 由图可知：， ∴， ∴当点在点处时，取得最大值，最大值为的长， ∵， ∴取得最大值， 故答案为：． 3．如图，为的直径，点B是圆上的动点，点D在外，连接交于点E，连接．    (1)若，求证：是的切线； (2)若，设的面积分别为，当时，求的值； (3)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由圆周角定理可得，即，再结合，最后根据切线的定义即可解答； （2）先说明可得，然后结合得到，然后求解即可； （3）如右图，过点B作于点H．则，再证明，进而得到，设，再证可得，然后代入相关数据即可解答． 【详解】（1）证明：是的直径, , ， , ，即，且是的直径， 是的切线． （2）解：在上的高相等． ， , , , ，即,解得（舍去负值）． （3）解：如右图，过点B作于点H．则， 由（1）得,   ，且 ， ， 设， ， ， ， ，即, ,解得：（舍去负值）．     ．    4．如图，圆O半径，互相垂直，弦，过点C 的直线， (1)求证： 是圆O的切线； (2)求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握相关定理是解题的关键． （1）连接并延长交于点D，则得到，然后根据两直线平行，内错角相等解题即可； （2）设圆的半径为r，根据三线合一得到，然后利用解直角三角形得到，然后解题即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点D， ∵，， ∴点C，O在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是圆O的切线； （2）解：设圆的半径为r，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，     ∴． 5．如图，为的直径，点C是弧的中点，点D在圆O上，点E在的延长线上，且．    (1)求证：DE是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）连接，，利用等弧所对圆心角相等以及平角定义求出，进而求出，利用等边对等角可得出，，结合对顶角的性质可求出，利用切线的判定即可得证； （2）过D作于H，利用同角的三角函数性质求出，设，，半径为r，在中，利用勾股定理求出 ，进而求出，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：连接，，    ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：过D作于H，    ∵， ∴， ∴， 设，，半径为r， 则， 在中，， ∴， 解得 ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键． 题型三、三角函数中的比值 1．如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答． 【详解】解：如图，过点A作垂足为H, ∵，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴，， ∴，， ∴， 过点C作垂足为M， ∴，， ∵,， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ， ∴， 当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， 当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键 3．如图，点在正方形的边上，连接，过点作的垂线，连接，则点在上运动（不与端点重合）的过程中，的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形．分点与点重合和点与点重合时，分别求得和，据此求解即可． 【详解】解：当点与点重合时，此时点与点也重合， ∴， 当点与点重合时，此时与正方形的对角线重合， ∵，， ∴是对角线的垂直平分线， ∴也是正方形对角线， ∴， ∵点在上运动（不与端点重合）， ∴． 故答案为：． 4．如图，四边形内接于，是的直径，分别延长、相交于点，，点在上，且． (1)若，，求的值； (2)求证：是的切线； (3)点是劣弧的中点，连接交于点，若，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，1 【分析】（1）由圆周角定理得，从而得出，推出，由勾股定理求出，最后由正弦的定义计算即可得出答案； （2）连接，证明得出，证明是的中位线，得出，从而推出，即可得证； （3）连接交于点，设，，则，，，由勾股定理求出，得到，，证明是等腰直角三角形，结合相似三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，推出，证明四边形是矩形，得出，再证明，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的直径． ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， （3）解：连接交于点， ∵点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴是的中位线， ∵， 设，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的值为1． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．如图，内接于为直径，为上的点，连结并延长交于点为上的点，连结交于点，已知． (1)用含的代数式表示的大小． (2)求证：． (3)连结并延长交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理 相似三角形的判定与性质，三角函数的计算， （1）由直径所对的圆周角是直角得求出，由等腰三角形的性质得从而可得结论； （2）证明，得再进行等量代换可得结论； （3）证明得求出，得到得，过作于点，则求出故可得结论 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴ 又 ， （2）证明：∵ ． 又， ． （3）解：，即 ， ， ． 过作于点， 则 ， 1．（2024·天津南开·二模）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键，先计算特殊角的三角函数值，再进行二次根式计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：A 2．（2024·天津滨海新·二模）的值等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，有理数的减法，熟练掌握知识点是解题的关键． 代入，即可计算． 【详解】解：， 故选：A． 3．（2024·天津红桥·三模）的值等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．，，代入计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．（2024·天津红桥·三模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，掌握三视图的定义及图示的特点是解题的关键． 【详解】解：主视图是从正面看，可以看到立体的几何包括上下两层，第一层有三个正方形，第二层中间有一个正方形， 即主视图为： 故选：A． 5．（2024·天津河西·一模）下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图，即可解答．熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该立体图形的主视图为： 故选：C． 6．（2024·天津宝坻·二模）下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．找出从正面看到的图形即可得到它的主视图． 【详解】解：这个几何体的主视图为： 故选：D． 7．（2024·天津宝坻·二模）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．直接代入特殊角的三角函数值，再进行无理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 8．（2024·天津和平·二模）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先整理，再进行二次根式的混合运算，即可作答． 【详解】解：依题意， 故选：B． 9．（2024·天津和平·三模）的值等于（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 10．（2024·天津·二模）右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 画出从正面看到的图形即可得到它的主视图． 【详解】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、2、1． 即 故选：D． 11．（2024·天津滨海新·二模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据俯视图的定义去判断即可,本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键． 【详解】 该几何体的俯视图是   故选C． 12．（2024·天津南开·二模）校庆期间，小南同学从家到学校瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从家出发后，导航给出两条线路，如图：①；②．经勘测，点E在点A的北偏西方向米处，点D在点E的正北方向，点M在点D的正东方向90米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东方向；点C在点M的正东方向米处，且在点B的北偏西方向．    (1)求的长度；（结果保留根号） (2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择哪条路线距离更短（参考数据：，，取0.6，取0.8，取0.75）． 【答案】(1)的长度为米； (2)选择路线②距离短，见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过点A作，于点P，分别在，中，利用三角函数求解，，即可得到答案； （2）过点B作，垂足为Q，证明四边形为矩形，求解；在中， 在中进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点A作，于点P，    由题意得：，，，米． ∵在中，，， ， 同理； ∵在中，，， ， ； 即的长度为米． （2）过点B作，垂足为Q，    由题意得：， 四边形为矩形， ，， ， 且， ； ∵在中，，， ，， ，， ∵在中，，，， ； 路线①的长为（米）， 而路线②的长为（米）， 显然， 选择路线②距离短． 13．（2024·天津宝坻·二模）学校教学楼上悬挂一块标语牌，标语牌的高，数学兴趣小组要测量标语牌的底部点到地面的距离．兴趣小组在处测得标语牌底部点的仰角为，在处测得标语牌顶部点的仰角为，．设标语牌底部点到地面的距离为（单位：）． (1)用含的式子表示线段的长； (2)求点到地面的距离的长（取0.4，结果取整数）． 【答案】(1) (2)点到地面的距离的长为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的判定与性质，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意得：，由，得到是等腰直角三角形，得到，即可求解； （2）在中，由，利用正切的定义建立关于h的方程，求解方程即可求出． 【详解】（1）解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：在中， ， ， ，即， ∴， 答：点到地面的距离的长为． 14．（2024·天津河东·二模）如图，，是两条南北向的笔直的公路，是公路上一座南北走向的大桥，一辆汽车在公路上由南向北行驶．已知在A处测得桥头C在北偏东方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在北偏东方向上，桥头D在北偏东方向上．    (1)求线段的长和的度数； (2)设两条公路之间的距离的长度为x（单位：m）． ①用含有x及的式子表示线段的长； ②若，求大桥的长度（，，结果保留整数）． 【答案】(1)， (2)①米②米 【分析】本题主要考查了方向角，平行的性质以及解直角三角形的相关计算． （1）根据题意可得出，． （2）过点B作于H． 可得出四边形为矩形，，①由题意得出，由平行线的性质可得出，解直角三角形即可得出．②由平行的性质可得出，解求出，，再得出为等腰直角三角形，即可得出，最后根据线段得和差关系求出． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ; （2）过点B作于H．    ∴四边形为矩形， ∴，， ①由题意得：， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解的长为：． ②∵ ∴， 在， ，， ∴， 即， 解得：米， 则米， 在中， ∵， ∴， ∴， 即求大桥的长度为． 15．（2024·天津·二模）学校教学楼上悬挂一块标语牌，标语牌的高，数学兴趣小组要测量标语牌的底部B点到地面的距离．兴趣小组在C处测得标语牌底部B点的仰角为，在D处测得标语牌顶部A点的仰角为，．设标语牌底部B点到地面的距离为h（单位：m）．    (1)用含h的式子表示线段的长； (2)求B点到地面的距离的长（取0.4，结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． （1）先利用直角三角形两锐角互余求得，由等腰三角形的判定得，即可求解； （2）在中，由，得，解之即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， 在中， ∵ ∴ ∴， 答：B点到地面的距离的长． 16．（2024·天津滨海新·二模）如图，学校数学兴趣小组计划测量建筑物的高度，先在处测得该建筑物顶端的仰角为，从处前进到达处，在处测得该建筑物顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，且．求建筑物的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】约27.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：题意得，， 设米， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， （米， 建筑物的高度约为27.5米． 17．（2024·天津和平·三模）如图，小岛A，B，C在同一条南北方向的直线上．一艘轮船位于灯塔M的正西方向，距离灯塔M30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔M的西北方向上的B处，轮船沿北偏东方向航行到达小岛D，这时测得灯塔M位于D的南偏东 方向上，C在D处的正西方向． (1)求小岛A，B之间的距离的长； (2)设小岛C，D之间的距离为h（单位：海里）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求小岛C，D之间的距离．（，，，取1.73，结果精确到0.1） 【答案】(1)30海里 (2)①海里；②15.7海里 【分析】本题考查了解直角三角形-方向角问题、正确的识别图形是解题的关键． （1）由题意得：，，，在中，利用正切即可求解； （2）①在中，利用，求出，即可得出结果；②过点D作，垂足为N，证明四边形是矩形，，在中，利用，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 在中， ∴， 即的长为30海里； （2）解：①在中， ， ， ， 即的长为 海里； ②如图，过点D作，垂足为N， 根据题意，， ∴四边形是矩形， ， 可得， 在中，， ∴， 即， （海里） 答：小岛C，D之间的距离约为15.7海里． 18．（2024·天津河北·二模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量郊外一小山的高度．如图，两山脚距离，在山脚测得山腰处的仰角为 ，山脚和山腰相距， 在山腰处测得山顶的仰角为 ，在山脚测得山顶的仰角为 ，点，， ，在同一平面内． (1)求山腰到的距离的长； (2)设山高为 (单位：)． ①用含有的式子表示线段的长结果保留三角函数形式)； ②求山高 (取， 取， 取，结果取整数)． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题； （1）在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）①在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； ②过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用①的结论，再根据，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， 山腰到的距离的长为； （2）①在中，， 即的长为 ②如图，, 过点作，垂足为 根据题意，， ∴四边形 是矩形， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 答:山高 约为. 19．（2024·天津武清·三模）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 【答案】(1)点到直线的距离为 (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，于，证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出的长即可得解； （2）解直角三角形得出的长，在求出的长，由勾股定理得出的长，最后由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，于，   ， 则， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； （2）解：在中，，，， ∴， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为： ． 20．（2024·天津·三模）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） 【答案】(1) (2)61.3海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理求出； （2）过点作于，根据正弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 在中，海里，， ， （海里）， 在中，， 则（海里）， 答：货轮从到航行的距离约为61.3海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$