专题06 尺规作图-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题06尺规作图 思维导图 真题再现 题型一、角平分线作图 （2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 题型二、垂直平分线作图 （2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 题型三、圆作图 1．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 2．（2021·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 4．（2020·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 5．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 未来视野 题型一、 四边形的无刻度尺作图 1．如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． (1)在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； (2)在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 2．如图，，E是的中点，平分，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形，其中． (2)在图2中作菱形． 3．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； (2)如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 4．如图，正方形的边长2，点E，F分别是、的中点，仅用无刻度的直尺分别按要求作图． (1)在图1的正方形中，以为边作一个三角形，使其面积为1； (2)在图2的正方形中，以为边作四边形，使其面积为1． 5．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，点为线段的中点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，在线段上作点，连结，使； (2)在图②中，在线段上作点，连结，使； (3)在图③中，在线段上作点，连结，使． 题型二、 三角函数的无刻度尺作图 1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，点是的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中按要求作图． (1)在图①上找一点，使得； (2)在图②上找一点使得； (3)在图③上找一点使得． 2．如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． (2)在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 3．如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点、都在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．    (1)在图①中画一个，使，且； (2)在图②中，在线段上找到点，使； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且点、均在格点上． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，点D在上，且为格点：①将线段绕点A逆时针旋转，得到线段；②在上取点F，使 (2)如图2，点P在上，过点P作交于点M； (3)如图3，点P是下方网格内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段； 5．如图，在 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．请仅用无刻度的直尺按下列要求画出图形，并保留作图痕迹． (1)在图①中找格点， 使得； (2)在图②中，画一个以为直角边的直角三角形，使的面积为 ； (3)在图③中找点 ， 作使得 ． 题型三、 圆的无刻度尺作图 1．如图，已知矩形，请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的四个顶点都在圆上； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内． 2．请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线： (1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D； (2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明． 3．如图，是的直径，点C，D均在上，且，． (1)请你在图1中，用无刻度的直尺作出的平分线； (2)请你在图2中，用无刻度的直尺作出的平分线． 4．在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）． (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点，使得． 5．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，是的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中，作一个以为腰的等腰． (2)在图2中，作一个以为对角线的矩形． 1．（2024·天津红桥·二模）如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津宝坻·二模）如图，中，已知，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D．3 3．（2024·天津西青·二模）如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津武清·三模）如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 5．（2024·天津和平·二模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线与相交于点，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津河北·二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线，于点 ，  ，分别以点， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ；在射线上取点 ，以点为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点；点， 分别在射线，上，，射线， 交于点， ， 则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·天津红桥·三模）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 8．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 9．（2024·天津河东·一模）如图，在中，以点为圆心，5为半径作弧，分别交射线，于点、，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接并延长，若，则、两点之间的距离为（    ） A．3 B．5 C． D．6 10．（2024·天津河北·一模）如图，在中，，任取一点O，使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，所在直线交于点D．若的长为3，则的长为（  ） A．3 B． C．6 D． 11．（2024·天津滨海新·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 12．（2024·天津南开·二模）如图1，在中，，，．如图2，按照如下尺规作图的步骤进行操作：       ①以点C为圆心，以2为半径画弧，交边于点D，连接； ②以点B为圆心，以2为半径画，交延长线于点E，交边于点F； ③以E为圆心，以长为半径画弧，交于点G； ④连接，，连接交于点H． 则下列结论中正确的是（    ） A．平分 B． C．四边形为菱形 D．四边形为菱形 13．（2024·天津·一模）如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 14．（2024·天津河西·二模）如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2024·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ． 16．（2024·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点P，使，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 17．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于 ； （2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 18．（2024·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 19．（2024·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是圆的直径，且点在格点上，圆与网格线相交于点和点． （1） （度）； （2）在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 20．（2024·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．    （I）线段的长等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，上方的圆上画点P，使得，并画出的中点Q．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06尺规作图 思维导图 真题再现 题型一、角平分线作图 （2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 题型二、垂直平分线作图 （2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 题型三、圆作图 1．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1) (2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求 【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可； （2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求； 连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，      由图可得：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，此时点Q即为所求； 故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． 2．（2021·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可； （Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接并延长，与半圆相交于点E，连接并延长，与的延长线相交于点F，则OE为中位线，且，连接交于点G，连接并延长，与相交于点P，因为，则点P即为所求． 【点睛】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键． 3．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算； （Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N． 【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1， 所以， 故答案为：； （Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求， 理由如下：连接 由勾股定理算出， 由题意得， 四边形为正方形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 从而确定了点的位置． 【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理． 4．（2020·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解； （2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==； （Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 5．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）根据圆的相关性质和网格特点进行作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与相交于点，则点即为所求． 未来视野 题型一、 四边形的无刻度尺作图 1．如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． (1)在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； (2)在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺和旋转的作图、正方形的性质理解、全等三角形的判定与性质的理解，熟练掌握无刻度直尺和旋转的作图、全等三角形的判定与性质的理解是解题的关键． （1）根据无刻度直尺和旋转作图即可； （2）记和交于点，根据旋转、正方形的性质，得出，，结合，利用可证，得出，故射线即为的平分线． 【详解】（1）解：如图，图形即为所求， ； （2）解：如图，射线即为所求， ． 2．如图，，E是的中点，平分，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形，其中． (2)在图2中作菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质及菱形的判定， （1）延长交的延长线于点F，则即为所求； （2）延长交的延长线于点N，连接并延长交的延长线于点M，连接，则四边形即为所求菱形； 【详解】（1）解：延长交的延长线于点F，则即为所求； ， ， 平分， ， ， ； （2）延长交的延长线于点N，连接并延长交的延长线于点M，连接，则四边形即为所求菱形， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 是菱形； 3．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； (2)如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，点即为所求；    同（1）可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 同法可得：， ∴， ∴， ∴． 4．如图，正方形的边长2，点E，F分别是、的中点，仅用无刻度的直尺分别按要求作图． (1)在图1的正方形中，以为边作一个三角形，使其面积为1； (2)在图2的正方形中，以为边作四边形，使其面积为1． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是作图题，考查了正方形的性质、三角形的面积、平行四边形的面积． （1）； （2）． 【详解】（1）如图1所示，即为所求； （2）如图2所示，四边形即为所求（答案不唯一）． 5．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，点为线段的中点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，在线段上作点，连结，使； (2)在图②中，在线段上作点，连结，使； (3)在图③中，在线段上作点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线和直角三角形斜边中线的性质，解题关键是利用格点作线段中点或垂直的线段． （1）取的中点，由三角形中位线性质可得， （2）过点作，垂足为，连接，则是直角三角形斜边中线，， （3）过点作，垂足为，连接，则是直角三角形斜边中线，， 【详解】（1）解：如图，为所求，    （2）解：如图，为所求，    （3）解：如图，为所求．    题型二、 三角函数的无刻度尺作图 1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，点是的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中按要求作图． (1)在图①上找一点，使得； (2)在图②上找一点使得； (3)在图③上找一点使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了网格作图，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握以上知识点并能根据题意画出相应的辅助线是解题的关键． （1）通过网格可以求出，，的长度，推出是直角三角形，利用，知道，从而判断出的位置； （2）将点往左移1个单位，再往下移2个单位得到，再将右移1格得到点，根据平行线的性质，可知，通过，推出，从而知道； （3）将点向下移2格得到点，连接交于，可证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一， 得到，再结合对顶角相等，得证． 【详解】（1）是的中点，理由如下 ，， 为直角三角形，且 ，， ， 点是的中点 当是的中点时， 如图所示，点E即为所求， ； （2）将点往左移1个单位，再往下移2个单位得到，再将右移1格得到点 连接，交于点，为所求 理由如下： 由（1）可知 （3）将点向下移2格得到点，连接交于点，连接，点为所求，理由如下：连接交于点 点G即为所求， 是的垂直平分线 是等腰三角形 又 2．如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． (2)在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的定义画出图形； （2）取格点D，连接，根据相似三角形的性质和正切的定义即可得到符合题意的图形． 【详解】（1）解：如图①所示，即为所求， （2）解：如图②所示， ，使， 则， ∴即为所求图形． 3．如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点、都在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．    (1)在图①中画一个，使，且； (2)在图②中，在线段上找到点，使； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且点、均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图1，格点向右两个格点为，连接， 则，； （2）如图2，格点向左一个格点为，格点向左四个格点为，连接交于，则，，可得； （3）如图3，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，四边形即为所作； 【详解】（1）解：如图1，格点向右两个格点为，连接，    ∴，， 即为所作； （2）解：如图2，格点向左一个格点为，格点向左四个格点为，连接交于，    ∵， ∴， ∴， ∴，点即为所作； （3）解：如图3，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，四边形即为所作；      【点睛】本题考查了正切，相似三角形的判定与性质，中心对称图形，平行四边形的性质等知识．熟练掌握正切，相似三角形的判定与性质，中心对称图形，平行四边形的性质是解题的关键． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，点D在上，且为格点：①将线段绕点A逆时针旋转，得到线段；②在上取点F，使 (2)如图2，点P在上，过点P作交于点M； (3)如图3，点P是下方网格内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）①取格点，连接即可； ②取中点，连接交 于点，点即为所求； （2）在网格图中取两点、使得且，连接交于点，连接，连接交于点，连接并延长交于点，作直线，则即为所求． （3）延长交格点与点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，即为所求； 【详解】（1）①将线段绕点A逆时针旋转， 如图，即为所求． 如图，点F即为所求． 理由： ， 是等腰三角形， 是中点， ∴． （2）在网格图中取两点、使得且，连接交于点，连接， 连接交于点，连接并延长交于点，作直线，则即为所求． 如图，即为所求． 理由：∵且 ∴四边形为平行四边形 ∴点为的中点 延长至点，使得， ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴． （3）如图，延长交格点于点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，则即为所求． 理由：， ， ， ， ， ， ， ， 即； ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查作图-应用与设计作图，三角形中位线定理，重心，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键． 5．如图，在 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．请仅用无刻度的直尺按下列要求画出图形，并保留作图痕迹． (1)在图①中找格点， 使得； (2)在图②中，画一个以为直角边的直角三角形，使的面积为 ； (3)在图③中找点 ， 作使得 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，三角函数的定义，相似三角形的性质与判定； （1）根据勾股定理及其勾股定理的逆定理，作等腰直角，即可求解； （2）在（1）的基础上，作，即可求解． （3）在（1）的基础上，作，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 即为所求， ∵， ∴ ∴ ∴； （3）解：如图所示点 即为所求， 如图所示， ∵ ∴， ∴ ∴，， 由（1） 可得 ∴ ∴ 题型三、 圆的无刻度尺作图 1．如图，已知矩形，请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的四个顶点都在圆上； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、，则与的交点，即为点O； （2）延长交圆于点H，延长交圆于点M、N，连接、并延长，交于点E，连接、交于点F，延长交圆于点G，连接，连接并延长，交于点O． 【详解】（1）解：点O即为所求． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴O为圆的半径． （2）解：点O即为所求． ∵四边形为矩形， ∴，， ∴为的直径， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点O在圆的直径上， ∵为圆的直径， ∴O为圆心． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆周角定理，垂直平分线的判定，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2．请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线： (1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D； (2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明． 【答案】(1)见详解 (2)作图见详解，平分 【分析】 本题考查了复杂作图，圆周角定理，掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据“在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”进行作图； （2）先画出图形，再根据菱形的性质进行证明． 【详解】（1）如图1，作的平分线交圆于，点即为所求． （2） ，即为所求；平分． 理由：正六边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， ∴平分． 3．如图，是的直径，点C，D均在上，且，． (1)请你在图1中，用无刻度的直尺作出的平分线； (2)请你在图2中，用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，角平分线的性质，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，延长交于，交于，连接，即为所求； （2）如图，在（1）的基础上，连接交于，连接并延长交于，即为所求． 【详解】（1）解：如图，延长交于，交于，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即平分， 即：即为所求； （2）在（1）的基础上，连接交于，连接并延长交于， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴平分， 又∵平分， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 即：即为所求． 4．在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）． (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点，使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作的外接圆交于点，则根据圆周角定理得到； （2）先作点关于的对称点，则，再作的外接圆交于点，则根据圆周角定理得到，所以． 【详解】（1）解：作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆交于点，如图所示： 点为所作； （2）解：作点关于的对称点，再作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆交于点，如图所示： 点为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理． 5．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，是的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中，作一个以为腰的等腰． (2)在图2中，作一个以为对角线的矩形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查圆的基础知识，等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质的综合，掌握圆的基础知识，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等弧所愿圆周角相等可判定是角平分线，再根据直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形的“三线合一”即可作图； （2）根据线段中点，中位线的性质可得，，再根据直径所对圆周角为直角，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，延长，交于点，    ∵点是的中点， ∴， ∴，即平分， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴即为所求图形； （2）解：如图所述，    连接，令交于点， ∵点是的中点，是经过圆心的半径， ∴点为的中点， 连接，与交于点， ∵点是的中点， ∴是上的中线，是上的中线， ∴点是中线的交点， 连接并延长交与点， ∴点是的中点，则， 连接， ∴，， ∵点为的中点，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的直径， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴四边形即为所求图形． 1．（2024·天津红桥·二模）如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形中两个锐角互余，根据作图可得四边形是菱形，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴． 故选：C． 2．（2024·天津宝坻·二模）如图，中，已知，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，利用角平分线的性质得到，再利用等积法求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 作，垂足为， 由作图知，是的平分线， ∵，， ∴， ∵， 即， 解得， ∴， 故选：C． 3．（2024·天津西青·二模）如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查基本作图、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质，属于中考常考题型．根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知， ∴． 故选：D． 4．（2024·天津武清·三模）如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据作图痕迹得到平分，根据等腰三角形的三线合一性质得到，，再利用勾股定理求得，再根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹得到平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查基本作图作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到平分且垂直平分是解答的关键． 5．（2024·天津和平·二模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线与相交于点，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线以及角平分线的性质．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点P到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为8， ∴点D到的距离为． 的面积． 故选：C． 6．（2024·天津河北·二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线，于点 ，  ，分别以点， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ；在射线上取点 ，以点为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点；点， 分别在射线，上，，射线， 交于点， ， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作角平分线，等边对等角，三角形的外角的性质；根据作图可得是的角平分线，，设，得出，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：设，根据作图可得是的角平分线， ∴ 根据作图可得 ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ 故选：A． 7．（2024·天津红桥·三模）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，的周长，即：， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，， ，， ， ，， ， ． 故选：A． 9．（2024·天津河东·一模）如图，在中，以点为圆心，5为半径作弧，分别交射线，于点、，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接并延长，若，则、两点之间的距离为（    ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，菱形的判定及性质，勾股定理；连接， ，连接交于，由作法得四边形是菱形，由菱形的性质得，，由勾股定理得，即可求解；能根据作法作出辅助线，判断出四边形是菱形是关键． 【详解】解：如图，连接， ，连接交于， 由作法得： ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ； 故选：D． 10．（2024·天津河北·一模）如图，在中，，任取一点O，使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，所在直线交于点D．若的长为3，则的长为（  ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，正切等知识．熟练掌握作垂直平分线，正切是解题的关键． 由作图可知，是的垂直平分线，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 11．（2024·天津滨海新·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12．（2024·天津南开·二模）如图1，在中，，，．如图2，按照如下尺规作图的步骤进行操作：       ①以点C为圆心，以2为半径画弧，交边于点D，连接； ②以点B为圆心，以2为半径画，交延长线于点E，交边于点F； ③以E为圆心，以长为半径画弧，交于点G； ④连接，，连接交于点H． 则下列结论中正确的是（    ） A．平分 B． C．四边形为菱形 D．四边形为菱形 【答案】D 【分析】本题是基本作图与四边形综合题，解题关键是清楚作图的过程和结果． 由作法可知，，根据即可判定选项A不正确，判定四边形为平行四边形，四边形为菱形，由勾股定理和解三角形求出、即可判定选项BC错误，D正确． 【详解】解：∵，，． ∴， 由作法可知，． ∴， ∴，，故A选项结论错误； ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形为菱形，故选项D正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， 故，故B结论错误， ∵， ∴，故不是菱形，故C选项结论错误． 故选D． 13．（2024·天津·一模）如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线等知识点，根据作法得到是线段的垂直平分线是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线的性质解答即可． 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，则 ∴是的中位线， ∴． 故选B． 14．（2024·天津河西·二模）如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设交于点O，根据题意得到平分，再根据平行线的性质，易证四边形是菱形，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：设交于点O， 由作图依据可得：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的作法及菱形的判定定理是解题的关键． 15．（2024·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图， （1）利用勾股定理可得答案； （2）取格点，连接并延长交半圆于点；取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，即可得图． 【详解】（1）解：在中，； 故答案为：． （2）解：如图所示， 如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，，，点即为所作点； 取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，，，，，，，点即为所求． 16．（2024·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点P，使，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 画图见解析，如图，取的内接圆与网格线的交点、、、，连接，交于点，连接并延长交于，连接，点即为所求． 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、圆周角定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． （1）利用勾股定理解题即可； （2）先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用直径所对圆角为直角，结合圆周角定理作图即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：， 故答案为：； （2）如图，取的内接圆与网格线的交点、、、， 连接，交于点， 由图可知，， ∴，为的内接圆的直径， ∴点为圆心， 连接并延长交于，连接，则， 由圆周角定理可知：， ∴， 即点即为所求． 故答案为：如图，取的内接圆与网格线的交点、、、，连接，交于点，连接并延长交于，连接，点即为所求． 17．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于 ； （2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 作图见解析，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解， （2）由，当时，取得最小值，即取得最小值，找到中点，中点G，，，根据特殊角直角三角形的性质，通过的圆心角得到，的圆周角，即可求解， 本题考查了，直径所对圆周角为，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，圆周角定理，特殊角直角三角形，解题的关键是：将问题转化为． 【详解】解：（1）连接， ∵为直径， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）在左侧，作，， 则，当点、、三点共线的时候，取得最小值，即取得最小值， 此时 ， ， 则是等边三角形， 过点作，交于点，交于点， 则为中点，为中点， ∴过中点，作的平行线，与圆交于点，与的交点，即可确定点， 用无刻度直尺作图如下， 连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 18．（2024·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析． 【分析】（Ⅰ）结合网格的性质，利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点，连接交于点，取与网格线的交点，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，分别连接并延长相交于点，则点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由网格可知，， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取格点，连接交于点，取与网格线的交点，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，分别连接并延长相交于点，则点即为所求． 理由：由作图可得：，， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题关键． 19．（2024·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是圆的直径，且点在格点上，圆与网格线相交于点和点． （1） （度）； （2）在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 延长与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点，连接与圆相交于点；取与网格线的交点，连接并延长与圆相交于点，连接与相交于点，则点即为所求 【分析】本题考查了圆周角，中位线，作图等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． （1）用直径所对的圆周角为直角可解． （2）延长与网格线相交于点，即为的中点，连接，与网格线相交于点，即为的中点，故是的中位线，连接与圆相交于点，即，取与网格线的交点，即圆心为点，连接并延长与圆相交于点，即为直径，连接，即，故，，与相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）由于是圆的直径，直径所对的圆周角为直角， 所以． （2）延长与网格线相交于点，即为的中点， 连接，与网格线相交于点，即为的中点， 连接与圆相交于点， 故是的中位线，即， 取与网格线的交点，即圆心为点， 连接并延长与圆相交于点，即为直径， 连接，即，故， 由于， 故， 与相交于点，即，则点即为所求． 20．（2024·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．    （I）线段的长等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，上方的圆上画点P，使得，并画出的中点Q．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点D，连接CD并延长交于点P，取格线与的交点E，连接PE交AB于点F，连接CF并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求． 【分析】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ①对运用勾股定理求解即可； ②先根据垂径定理找到点P位置，其依据是在同圆或等圆中，等弦对等弧，再根据同弧所对的圆周角相等找出点Q的位置． 【详解】①解：在中，， 故答案为：． ②如图，取格点D，连接并延长交于点P，取格线与的交点E，连接交于点F，连接并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$