专题03 方程与不等式（组）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题03方程与不等式（组） 思维导图 真题再现 题型一、列二元一次不等式组及其求解 1．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·天津·中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型二、一元二次不等式的根 1．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 题型三、解一元一次不等式组 1.（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 2．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 3．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 4．（2021·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为___________． 5．（2020·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_____________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为_______________． 未来视野 题型一、 一元二次方程根与系数关系 1．若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 3．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 4．若一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 5．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 题型二、 分式方程的应用 1．九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后，某电商用元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 3．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌的自行车相继投放市场某车行经营的甲型车去年销售总额5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． 甲，乙两种型号车进货价和销售价格如下表： 甲型车 乙型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2000 (1)今年甲型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批甲型车和乙型车共60辆，且乙型车的数量不超过甲型车辆的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 5．近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同． (1)求A种、B种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？ 题型三、一元二次方程的应用 1．某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（    ） A．10 B．11 C．12 D．20 2．一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为，则这个矩形的周长为（    ） A．18cm B．24cm C．28cm D．32cm 3．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　） A． B． C． D． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 1．（2024·天津和平·二模）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津滨海新·二模）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·三模）方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·天津西青·一模）已知方程的两根分别为，，则式子的值等于（    ） A． B．0 C．3 D．7 5．（2024·天津·一模）若一元二次方程的两个实数根是和，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津河北·二模）若，是方程， 的两根，则 （   ） A． B． C． D． 7．（2024·天津西青·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，且；，则b，c的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2024·天津南开·二模）如果，是方程的两根，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 9．（2024·天津河北·一模）若是方程的两根，则（  ） A．4 B．5 C．6 D． 10．（2024·天津河西·一模）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·天津红桥·二模）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2024·天津河西·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 14．（2024·天津武清·三模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得_______________； (2)解不等式，得_______________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 15．（2024·天津·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 16．（2024·天津和平·三模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得　　； (2)解不等式②，得　　； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为　　． 17．（2024·天津红桥·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______________； (2)解不等式②，得______________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 18．（2024·天津宝坻·二模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 19．（2024·天津红桥·三模）解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 20．（2024·天津南开·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得__________； (2)解不等式，得__________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03方程与不等式（组） 思维导图 真题再现 题型一、列二元一次不等式组及其求解 1．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 2．（2021·天津·中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可． 【详解】， ②-①得：，即， ∴． 将代入①得：， ∴． 故原二元一次方程组的解为． 故选B． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键． 3．（2020·天津·中考真题）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法解出的值即可． 【详解】解： ①+②得：，解得：， 把代入②中得：，解得：， ∴方程组的解为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键． 题型二、一元二次不等式的根 1．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 2．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将进行因式分解，，计算出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 题型三、解一元一次不等式组 1.（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 2．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 3．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果； （2）通过移项直接求出结果； （3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可； （4）根据数轴得出原不等式组的解集． 【详解】（1）解：移项得： 解得： 故答案为：； （2）移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）所以原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 4．（2021·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为___________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答． 【详解】（Ⅰ）解不等式，得：． 故答案为：； （Ⅱ）解不等式，得：． 故答案为：； （Ⅲ）在数轴上表示为： ； （Ⅳ）原不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键． 5．（2020·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_____________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为_______________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析；（Ⅳ）． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： （Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 未来视野 题型一、 一元二次方程根与系数关系 1．若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系“两根之和为”解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为， ∴， 故选：A． 2．若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故选A． 3．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 4．若一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的加减运算，根据一元二次方程根与系数的关系可得，将代数式化简，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为， ∴， ∴， 故选：B． 5．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及已知式子的值，求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 题型二、 分式方程的应用 1．九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：规定时间为天， 慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天， 又快马的速度是慢马的倍， 可列出方程． 故选：A． 2．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后，某电商用元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据单价比第一批每箱便宜了4元，数量与第一批的数量一样多，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 3．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米， 根据题意，可列方程：2， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 4．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌的自行车相继投放市场某车行经营的甲型车去年销售总额5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． 甲，乙两种型号车进货价和销售价格如下表： 甲型车 乙型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2000 (1)今年甲型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批甲型车和乙型车共60辆，且乙型车的数量不超过甲型车辆的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】(1)1600 (2)甲型车20辆，乙型车40辆 【分析】（1）设今年甲型车每辆售价a元，则去年甲型车每辆售价元，根据“卖出的数量相同，销售总额将比去年减少”列出方程，即可求解； （2）甲型车x辆，这批车获利为w元，则乙型车辆，根据题意，列出w关于x的函数关系式，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设今年甲型车每辆售价a元，则去年甲型车每辆售价元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：今年甲型车每辆售价1600元； （2）解：设甲型车x辆，这批车获利为w元，则乙型车辆，根据题意得： ， ∵乙型车的数量不超过甲型车辆的两倍，甲型车和乙型车共60辆， ∴，且， 解得：， ∵， ∴w随x的增大而减小， 当时，w的值最大， 答：甲型车20辆，乙型车40辆，才能使这批车获利最多． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，正确理解题意表示出两种自行车的获利是解题关键． 5．近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题备受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同． (1)求A种、B种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？ 【答案】（1）每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元；（2）13． 【详解】试题分析：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可． 试题解析：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元， 根据题意得： ， 解得：x=0.5． 经检验，x=0.5是原方程的解， ∴x+0.7=1.2． 答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元． （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台， 根据题意得：0.5m+1.2（20﹣m）≤15， 解得：m≥ ． ∵m为整数， ∴m≥13． 答：A种设备至少要购买13台． 题型三、一元二次方程的应用 1．某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（    ） A．10 B．11 C．12 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程增长率问题，熟悉掌握方程的列法是解题的关键． 根据增长率列出方程运算即可． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 2．一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为，则这个矩形的周长为（    ） A．18cm B．24cm C．28cm D．32cm 【答案】B 【分析】设这个矩形的宽为，则长为，根据这个矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这个矩形的宽为，则长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 这个矩形的周长为． 故选：B． 3．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得，整理，得， 解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ，故每星期的最大利润为6125元．判断即可． 利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件； 正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元； 错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选C． 4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】每支球队都需要与其他球队赛场，但两个队之间只有1场比赛， 可列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意两队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 【答案】C 【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为x⋅x=x2个， 根据题意可列出方程为：1+x+x2=91， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 1．（2024·天津和平·二模）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先整理为一般形式，再根据根与系数的关系判定即可． 【详解】方程整理为：， ∵是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 2．（2024·天津滨海新·二模）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数关系定理解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】是方程的两个根， 则，， 故选A． 3．（2024·天津·三模）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 4．（2024·天津西青·一模）已知方程的两根分别为，，则式子的值等于（    ） A． B．0 C．3 D．7 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积是解决问题的关键．将化为，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入求值即可得到答案． 【详解】解：方程的两根分别为， ， ． 故选A． 5．（2024·天津·一模）若一元二次方程的两个实数根是和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】∵一元二次方程的两个实数根是和， ∴， 故选：A． 6．（2024·天津河北·二模）若，是方程， 的两根，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，即可求解． 【详解】解：∵，是方程， 的两根， ∴ 故选：A． 7．（2024·天津西青·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，且；，则b，c的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，根据根与系数关系列式计算求解即可． 【详解】 故选：B． 8．（2024·天津南开·二模）如果，是方程的两根，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两根， ，， ． 故选：C． 9．（2024·天津河北·一模）若是方程的两根，则（  ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握：是的两根，则，是解题的关键． 由题意知，，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 10．（2024·天津河西·一模）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①利用的长（绳子的长度的长），即可求出的长；②假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是；③假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，解之可得出的值，结合，可得出假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是． 本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：①当的长是时，的长是，结论①正确； ②假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是，结论②不正确； ③假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 符合题意， 假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是，结论③正确． 正确的结论有2个． 故选：C． 11．（2024·天津红桥·二模）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为 ∴ 则种花的面积的最大值为；故②正确 当时，即 即 ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，即 ∴ 解得：，故③正确， 故选：D． 12．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 13．（2024·天津河西·一模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析 (4) 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用数轴表示不等式的解集： （1）移项，合并，系数化1，求不等式的解集即可； （2）移项，合并，系数化1，求不等式的解集即可； （3）定方向，定边界，表示出不等式的解集即可； （4）根据数轴确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ∴； 故答案为：； （2）， ∴， ∴； 故答案为：； （3）数轴表示如图： （4）由数轴可知：不等式组的解集为：； 故答案为：． 14．（2024·天津武清·三模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得_______________； (2)解不等式，得_______________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1)； (2)； (3)在数轴表示解集见解析； (4)． 【分析】本题考查不等式组的解法步骤和不等式组解集在数轴上的画法， （1）根据解不等式的步骤求解即可； （2）根据解不等式的步骤求解即可； （3）利用数轴表示解集即可； （4）根据公共部分确定不等式组的解集； 熟练掌握不等式的解法解题是关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2） ， ， 故答案为：； （3）在数轴表示解集如图：    （4）解集为：， 故答案为：． 15．（2024·天津·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先分别计算出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集，最后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为：． 16．（2024·天津和平·三模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得　　； (2)解不等式②，得　　； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为　　． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）解不等式①求解集即可； （2）解不等式②求解集即可； （3）在数轴上表示解题即可； （4）根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了写出公共部分． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）在数轴上表示为： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 17．（2024·天津红桥·二模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______________； (2)解不等式②，得______________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1） 解不等式①，得 （2） 解不等式②，得 （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下所示， （4）原不等式组的解集为： 18．（2024·天津宝坻·二模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得； 故答案为：； （2）解：解不等式②，得； 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示，如图所示： ； （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为：． 19．（2024·天津红桥·三模）解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． （1）解不等式①即可得解； （2）解不等式②即可得解； （3）把解集在数轴上表示出来即可； （4）根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得：； 故答案为：； （2）解不等式②，得：； 故答案为：； （3）数轴上表示两个解集如图所示： （4）由数轴可知：原不等式组的解集为：， 故答案为：． 20．（2024·天津南开·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得__________； (2)解不等式，得__________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1)； (2)； (3)解集在数轴上表示见解析； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解集在数轴上表示出来如下图， （4）∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$