第02讲 分式的乘除（4大知识点+3大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第02讲 分式的乘法和除法 课程标准 学习目标 1. 分式的乘法和除法 2. 分式的乘方 3. 分式的乘、除、乘方的混合运算 1 通过类比得出分式的乘除和乘方法则，并会进行分式乘、除、乘方的运算。 2 了解约分、最简分式的概念，会对分式的结果约分。 知识点01 分式的乘法法则 1． 分式的乘法： 分式乘分式，把分子乘 、分母乘 分别作为积的 ，即 . 【即学即练1】 1．代数式化简的结果为（　　） A． B． C． D． 知识点02 分式的除法法则 1.分式的除法： 分式除以分式，把除式的 颠倒位置后，与被除式相乘. 【即学即练1】 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 知识点03 分式的乘方的法则 1.分式的乘方： 对于任意一个 n，有，即分式的乘方是把 各自乘方. 【即学即练1】 1.化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点04 分式的乘、除、乘方的混合运算 1. 分式的乘、除、乘方的混合运算： 分式的乘、除、乘方混合运算中，要注意运算顺序，应先算 ，再把 转化为 ，然后 再相乘. 【即学即练1】 1．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 题型01 分式的乘法和除法 【典例1】如果   的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算： ． 【变式2】计算： ． 题型02 分式的乘方 【典例1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】计算： (1)； (2). 题型03 分式的乘、除、乘方的混合运算 【典例1】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算： (1)； (2)． 1．的结果是(     ) A．p B． C． D． 2．已知，则M等于（    ） A． B． C． D． 3．下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是 A． B． C． D． 6．下列分式运算中，结果正确的是（　　） A．a﹣3b2÷a﹣2b2＝ B．（﹣）4＝﹣ C．（）2＝ D． +＝ 7．计算a5·(－)2的结果是(     ) A．－a3 B．a3 C．a7 D．a10 8．计算的结果是(　　) A． B． C． D． 9．灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是（    ） A．160米分 B．140米分 C．60米分 D．120米分 10．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（    ）． 姓名 张小亮    得分 ？ 判断题（每小题20分，共100分 （1）当时，分式有意义．            （√） （2）当时，分式的值为0．    （√） （3）．                    （×） （4）．                            （√） （5）．                    （√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 11．如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（    ）    A． B． C． D． 12．某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（   ） A． B． C． D． 13．如图，设，则有（    ） A． B． C． D． 14．化简： ． 15． ． 16．计算： ． 17．的结果是 18．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 19．已知，则 ． 20．在这2016个整数中，使得是最简分数的n共有 个． 21．若有意义，则x的取值范围是 ． 22．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果 ． 23．分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 24．若=，且ab≠0，则的值是 ． 25．化简： (1)； (2)． 26．（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 27．请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 分式的乘法和除法 课程标准 学习目标 1. 分式的乘法和除法 2. 分式的乘方 3. 分式的乘、除、乘方的混合运算 1 通过类比得出分式的乘除和乘方法则，并会进行分式乘、除、乘方的运算。 2 了解约分、最简分式的概念，会对分式的结果约分。 知识点01 分式的乘法法则 1． 分式的乘法： 分式乘分式，把分子乘 分子 、分母乘 分母 分别作为积的 分子、分母 ，即 . 【即学即练1】 1．代数式化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把分子、分母分解因式，然后约分即可解答．本题考查了分式方程的乘除法，公式法分解因式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：． 知识点02 分式的除法法则 1.分式的除法： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 【即学即练1】 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法，掌握先把分式的分子、分母分解因式，转化除法为乘法进行约分是解题的关键． 【详解】解： ， 故选D． 知识点03 分式的乘方的法则 1.分式的乘方： 对于任意一个 正整数 n，有，即分式的乘方是把 分子、分母 各自乘方. 【即学即练1】 1.化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘方．利用分式的乘方法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 知识点04 分式的乘、除、乘方的混合运算 1. 分式的乘、除、乘方的混合运算： 分式的乘、除、乘方混合运算中，要注意运算顺序，应先算 乘方 ，再把 除法 转化为 乘法 ，然后 约分 再相乘. 【即学即练1】 1．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后计算分式的乘法求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 题型01 分式的乘法和除法 【典例1】如果   的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【详解】 解：   因为运算的结果为整式， 所以  中式子一定含有的单项式， 故只有B项符合． 故选：B． 【典例2】化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的乘法，利用分式的乘法法则解答即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先乘方，再计算乘除． （2）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则即可求出答案，熟练掌握运用运算法则是解决此题的关键． 【详解】 ． 题型02 分式的乘方 【典例1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的乘方运算．分别把分子、分母乘方是正确解答本题的关键． 【详解】解：， 故选D． 【变式2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 【变式3】计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 题型03 分式的乘、除、乘方的混合运算 【典例1】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后计算分式的乘法求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方，分式乘法和除法运算法则进行计算即可； （2）根据分式乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．的结果是(     ) A．p B． C． D． 【答案】A 【分析】先将式子中的分子和分母进行因式分解，再进行约分即可． 【详解】 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的计算，准确将式子中的分子、分母进行因式分解是解答本题的关键． 2．已知，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的乘除法的法则进行运算即可． 【详解】解：， M= ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据分式乘除法则逐一计算判断即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化除为乘，然后按照分式乘法法则进行计算即可． 【详解】原式= =-m 故选：C 【点睛】本题考查了分式的的乘除运算，掌握分式乘除运算法则是解答本题的关键． 5．计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方，把分子分母分别乘方进行计算即可得出结果，然后依此作出判断. 【详解】解: . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的乘方，解题关键是掌握分式的乘方计算法则．难点是确定结果的符号.分式乘方时，确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负. 6．下列分式运算中，结果正确的是（　　） A．a﹣3b2÷a﹣2b2＝ B．（﹣）4＝﹣ C．（）2＝ D． +＝ 【答案】A 【分析】结合分式混合运算的运算法则、整式的除法的运算法则以及负整数指数幂的概念进行求解即可． 【详解】解：A、a-3b2÷a﹣2b2＝，本选项正确； B、（﹣）4＝≠﹣，本选项错误； C、（）2＝≠，本选项错误； D、 ＝≠，本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、整式的除法和负整数指数幂，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则． 7．计算a5·(－)2的结果是(     ) A．－a3 B．a3 C．a7 D．a10 【答案】B 【详解】原式= ，故选B. 8．计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可得解. 【详解】， =， =. 故选A. 【点睛】本题考查分式的乘法，约分是分式乘法的关键. 9．灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是（    ） A．160米分 B．140米分 C．60米分 D．120米分 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘除的应用，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上坡的路程为，则上、下坡的总路程为，可逐步求得上下坡的总时间，最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间，计算即得答案． 【详解】设上坡的路程为，则上、下坡的总路程为，上坡时间为，下坡时间为，总时间为，所以平均速度为（米分）． 故选D． 10．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（    ）． 姓名 张小亮    得分 ？ 判断题（每小题20分，共100分 （1）当时，分式有意义．            （√） （2）当时，分式的值为0．    （√） （3）．                    （×） （4）．                            （√） （5）．                    （√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】先判断出张小亮答对了几道题，再求出他的得分即可． 【详解】解：（1）当时，分式有意义．正确； （2）当时，分式的值为0．正确； （3），错误； （4）当时，，错误； （5），正确； ∴张小亮答对了4道题， ∴他的得分应是：分； 故选C． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的性质以及分式的运算．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 11．如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定听装饮料的总数量，然后计算出小球的总体积和纸箱的容积，最后计算二者的比，即为所求的纸盒的空间利用率． 【详解】解：∵长方体纸盒装满了一层底面半径为r，高为4r的圆柱体的听装饮料， ∴长方体的长边放置的球的数量为， 长方体的宽边放置的球的数量为， ∴听装饮料的数量为， ∴听装饮料的总体积：，纸箱容积为, ∴纸盒的空间利用率为． 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除运算，根据题意列出整式并化简求值是解题的关键． 12．某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故选：D． 13．如图，设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】甲图中阴影部分面积为a2-b2， 乙图中阴影部分面积为a（a-b）， 则k= ， ∵a＞b＞0， ∴0＜＜1， ∴1＜+1＜2， ∴1＜k＜2 故选B． 14．化简： ． 【答案】 【分析】根据分式的性质约分计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 15． ． 【答案】 【分析】根据分式的乘除运算法则填空即可． 【详解】解：， 故答案为：，，，． 16．计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 17．的结果是 【答案】 【分析】将分式的乘方变成分子中整式的乘方和分母中整式的乘方，再根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 18．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式． 【详解】解：由题意得：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 19．已知，则 ． 【答案】7 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 20．在这2016个整数中，使得是最简分数的n共有 个． 【答案】1008 【分析】本题考查了完全平方公式、分式的除法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先将转化为，从而可得要使是最简分数，则只需是最简分数，再判断出是偶数，由此即可得． 【详解】解：， 要使得是最简分数，则只需是最简分数， 所以是奇数，即是偶数， 因为在这2016个整数中，共有个偶数， 所以使得是最简分数的共有1008个， 故答案为：1008． 21．若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且且 【分析】根据使分式有意义的条件：分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，，， ∴x的取值范围是且且． 故答案为：且且． 22．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果 ． 【答案】 【分析】根据题干中的程序图分别计算出，，，找到规律，可以得到． 【详解】解：， ， ， 观察上式可得：， ， 故答案为：． 23．分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 【答案】 两 【分析】（1）根据分式的基本性质解答； （2）根据分式的加减法计算法则解答； （3）根据分式的乘除法计算法则解答； （4）根据分式的乘方法则解答． 【详解】解：（1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：． 故答案为：两； （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． 故答案为：，； （3）分式的乘除法： ； ． 故答案为：，； （4）分式的乘方： （n为正整数） 故答案为：． 24．若=，且ab≠0，则的值是 ． 【答案】﹣3． 【详解】试题分析：首先根据=，可得a=b，再把a=b代入进行计算． 解：∵=， ∴a=b， ∴===﹣3， 故答案为﹣3． 考点：比例的性质． 25．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用积的乘方运算计算，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，约分即可得到答案； （2）根据平方差公式以及完全平方差公式展开后，利用去括号法则及合并同类项运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【分析】（1）利用多项式乘法进行计算即可； （2）根据（1）中的结果确定答案； （3）逆运用新公式，把变形为，再化简分式． 【详解】解：（1） ； ． 故答案为：，； （2）． 故答案为：． （3） ． 27．请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）根据题意将分式变形即可； （2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值． 【详解】（1）原式= ； （2）原式=， ∵(x−1)2⩾0,即(x−1)2+2⩾2， 则原式最小值为4−. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$