第16讲 二次根式（4大知识点+5大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第16讲 二次根式 课程标准 学习目标 二次根式的基本性质 1.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围. 2.能对二次根式进行化简，理解最简二次根式的概念，并掌握满足最简二次根式的两个条件, 知识点01 二次根式的概念 定义:形如的式子叫作二次根式,根号下的数叫作被开方数. 有意义的条件:只有当被开方数是非负实数时,即被开方数a>0,二次根式才在实数范围内有意义》 【即学即练1】 已知，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据，列出不等式，求解即可． 【详解】解：， ， 解得： 故选：C． 知识点02 二次根式的非负性 常见的三个非负式: 【即学即练1】 已知，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据，列出不等式，求解即可． 【详解】解：， ， 解得： 故选：C． 知识点03 二次根式的非负性常见的三个非负式: 【即学即练1】 是二次根式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，即得． 【详解】∵是二次根式， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 知识点04 二次根式的化简 (1) (a>0,b>0); (2)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)且被开方数不含分母的二次根式,叫作最简二次根式. 【即学即练1】 已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 题型01 求二次根式的值 【典例1】当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 【变式3】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型02 求二次根式中的参数 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 【变式1】已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 【变式2】二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 题型03 二次根式有意义的条件 【典例1】已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， ∴且， 故答案为：且 【变式2】已知a为有理数；求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得出，，求出，再代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 题型04 利用二次根式的性质化简 【典例1】二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，二次根式的性质，根据有理化因式的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：B． 【变式1】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．48 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比较简单． 根据二次根式的性质，对进行化简，只要是整数即可 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵是整数， 故是整数， ∴n的最小值为3， 故选：B． 【变式2】已知实数满足，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，关键是依据题意，弄清的取值范围，体现了分类讨论思想．实数满足，分三种情况讨论，①②③，看哪个符合题意，然后把符合题意的代入，即可解答． 【详解】解：实数满足， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， ． 故答案为． 题型05 复合二次根式的化简 【典例1】阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【变式1】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 一、单选题 1．化简二次根式正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与简化，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【详解】解：∵， ∴、、选项不符合题意，选项符合题意． 故选：B． 3．在中，有理数有几个（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查化最简二次根式，求立方根，零指数幂，有理数的概念．掌握化最简二次根式的方法，立方根的概念，零指数幂的概念是解题关键．先化最简二次根式，求立方根，计算零指数幂，再根据有理数的概念判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴有理数为，共5个． 故选B． 4．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 5．以下各式中计算正确的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质逐一化简，即可求解；掌握()，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论正确，故符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：A. 6．实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（      ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 根据实数和在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 7．要使二次根式有意义，则x的取值可以是（   ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的取值可以是5． 故选A． 8．已知，则代数式化简后为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．先根据判断出和的符号，再进行计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 9．计算的结果是（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，零指数幂，先化简各数，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 10．若式子有意义，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式与二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：C． 11．在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②至少存在一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键．根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，说法④正确． 故选：B． 二、填空题 12．将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴要使成立，则需满足，即， ∴， ∴； 故答案为3． 14．化简：（其中） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 15．存在整数，它同时满足以下三个条件：①二次根式和均有意义；②的值仍为整数；③若，则也是整数．的值为 ． 【答案】16 【分析】此题考查了二次根式的性质，正确理解二次根式被开方数大于等于零是解题的关键．先根据二次根式的性质得出a的取值范围，然后根据a为完全平方数得出a的值，然后结合条件②和③进一步求解即可． 【详解】解：由条件①，可得 解得， 则整数的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20， 其中符合条件②的整数只有16，且同时符合条件③， ． 故答案为：16． 16．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数列出不等式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故答案为：． 三、解答题 17．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质． 依据数轴即可得到，再根据二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ， ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值和二次根式，再进行相加减即可． 【详解】解： ． 19．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 20．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 【答案】(1)2， (2)①，；② 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键． （1）根据所给的二次根式的性质即可求解； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：2，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， ∴， ． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 二次根式 课程标准 学习目标 二次根式的基本性质 1.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围. 2.能对二次根式进行化简，理解最简二次根式的概念，并掌握满足最简二次根式的两个条件, 知识点01 二次根式的概念 定义:形如的式子叫作二次根式, 的数叫作被开方数. 有意义的条件:只有当被开方数是非负实数时,即被开方数a>0,二次根式才在实数范围内有意义》 【即学即练1】 已知，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 知识点02 二次根式的非负性 常见的三个非负式: 【即学即练1】 已知，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 知识点03 二次根式的非负性常见的三个非负式: 【即学即练1】 是二次根式，则的取值范围是 ． 知识点04 二次根式的化简 (1) (a>0,b>0); (2)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)且被开方数不含分母的 叫作最简二次根式. 【即学即练1】 已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 题型01 求二次根式的值 【典例1】当时，的值是 ． 【变式1】已知，则代数式的值是 ． 【变式2】一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【变式3】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型02 求二次根式中的参数 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【变式1】已知是整数，则自然数的值是 ． 【变式2】二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 题型03 二次根式有意义的条件 【典例1】已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 【变式1】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【变式2】已知a为有理数；求的值为 ． 题型04 利用二次根式的性质化简 【典例1】二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．48 【变式2】已知实数满足，那么 ． 题型05 复合二次根式的化简 【典例1】阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【变式1】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【变式2】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 一、单选题 1．化简二次根式正确的是（      ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．在中，有理数有几个（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．以下各式中计算正确的是（ 　） A． B． C． D． 6．实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（      ） A．0 B． C． D． 7．要使二次根式有意义，则x的取值可以是（   ） A．5 B．3 C．0 D． 8．已知，则代数式化简后为（      ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 10．若式子有意义，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 11．在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②至少存在一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 12．将根号外的因式移到根号内得 ． 13．若，则 ． 14．化简：（其中） ． 15．存在整数，它同时满足以下三个条件：①二次根式和均有意义；②的值仍为整数；③若，则也是整数．的值为 ． 16．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 三、解答题 17．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 18．计算： 19．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 20．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$