第03讲 整数指数幂（4大知识点+5大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第03讲 整数指数幂 课程标准 学习目标 1. 同底数幂的除法 2. 零次幂和负整数指数幂 3. 整数指数幂的运算法则 1 熟练进行同底数幂的除法运算 2 掌握零次幂和负整数指数幂的计算公式，理解其意义，会用科学记数法表示绝对值较小的数 3 能熟练地运用整数指数幂的运算法则进行计算 知识点01 同底数幂的除法 法则:同底数幂相除,底数 ,指数 . 用字母表示:(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 同底数幂相除的公式: (a≠0,m,n是正整数,且m>n),反过来也成立,即(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 【即学即练1】 1．． A． B． C． D． 易错提醒：同底数幂相除,指数是相减,不要误认为指数亦相除. 【即学即练2】 1.已知，，则 ． 方法总结：在逆用幂的运算性质时,遇到指数的加法要考虑用同底数幂的乘法,遇到指数的减法要考虑用同底数幂的除法,遇到指数的乘法要考虑用幂的乘方. 知识点02 零次幂和负整数指数幂 1. 零次幂:任何不等于零的数的零次幂都等于 ,即 (a≠0). 2. 负整数指数幂:非零数的负整数指数幂可表示为同底数的正整数指数幂的 ,即(a≠0,n是正整数). 【即学即练1】 1． 计算： ． 【即学即练2】 2.计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 方法归纳：运用公式,必须先判断a是否为0;运用公式,应先将指数化负为正,取倒数,再计算. 知识点03 用科学记数法表示绝对值小于1的数 把绝对值 的数表示成的形式(1≤|a|<10,n为正整数). 【即学即练1】 1.某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 方法归纳：用科学记数法表示绝对值小于1的数时,先确定a的值,注意1≤|a|<10,再确定n的值,n等于从左边数第一个不为0的数前面的0的个数(包括小数点前面的0). 知识点04 整数指数幂的运算法则 （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，b≠0，n是整数）. 【即学即练1】 1．化简的结果是x，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 方法归纳：整数指数幂的运算顺序与正整数指数幂的运算顺序一样,即先算乘方,再算乘除,如果有括号,先算括号里面的.需要特别注意的是,最后结果要化为只含有正整数指数幂的形式. 【即学即练2】 2.若，，，，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型01 同底数幂的除法运算 【典例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】计算：． 【变式1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】计算：． 题型02 同底数幂除法的逆用 【典例1】若，，则的值为（    ） A．11 B．3 C．4 D．164 【变式1】已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，，则的值为 ． 题型03 零次幂和负整数指数幂 【典例1】计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例1】在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径（）用科学记数法表示为 ． 【典例2】已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ． 【变式1】用科学记数法表示0.000032＝ ，把2.36用小数表示为 ． 【变式2】红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0．0000077m，将0．0000077用科学记数法表示为 ． 题型05 整数指数幂的运算 【典例1】下列计算正确的有（）． ①             ②          ③   ④          ⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算 （1）（2x2y）3•（-3xy2）÷6xy （2）2a2（3a2-2a+1）+4a3 1．中国移动从深圳至东莞的空芯光纤传输技术试验网取得重大突破，在每公里的链路上，空芯−空芯光纤熔接损耗低至0.0025分贝，将数据0.0025用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．若，下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列四道计算题中，有一题答案是错误的，请找出来（       ） A． B． C． D． 5．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 6．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 7．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 8．计算下列各式，值最大的是（    ） A． B． C． D． 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 10．若，则等于（    ） A．1 B． C． D．6 11．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．若，则 13．计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 14．若，，则 ． 15．年月日，天气软件显示毕节市的空气质量情况为“优”，其中的值为微克立方米，即克立方米．数据用科学记数法表示为 ． 16．已知1纳米米，则5纳米 米．（用科学记数法表示） 17．用小数表示：2×10﹣3= ．24×（﹣2）4×（﹣0.25）4= ． 18．在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的3个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”．在如图的九宫格中，已填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则的值为 ． 19．下列四个结论，其中正确的是 ． ①若，，则可表示为； ②若的运算结果中不含项，则； ③若，，则； ④若，则x只能是2． 20．若，则 ． 21．已知，则 22．若，则的值为 ． 23．已知，若，则 ． 24．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 25．计算： (1)； (2)． 26．计算或化简： (1) (2) 27．例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是 求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则 ， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则；； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)若多项式（、是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值． 28.我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 整数指数幂 课程标准 学习目标 1. 同底数幂的除法 2. 零次幂和负整数指数幂 3. 整数指数幂的运算法则 1 熟练进行同底数幂的除法运算 2 掌握零次幂和负整数指数幂的计算公式，理解其意义，会用科学记数法表示绝对值较小的数 3 能熟练地运用整数指数幂的运算法则进行计算 知识点01 同底数幂的除法 法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减. 用字母表示:(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 同底数幂相除的公式: (a≠0,m,n是正整数,且m>n),反过来也成立,即(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 【即学即练1】 1．． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B 易错提醒：同底数幂相除,指数是相减,不要误认为指数亦相除. 【即学即练2】 1． 已知，，则 ． 【答案】/0.08 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用和幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则并灵活运用是解答的关键．根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 方法总结：在逆用幂的运算性质时,遇到指数的加法要考虑用同底数幂的乘法,遇到指数的减法要考虑用同底数幂的除法,遇到指数的乘法要考虑用幂的乘方. 知识点02 零次幂和负整数指数幂 1. 零次幂:任何不等于零的数的零次幂都等于1,即 (a≠0). 2. 负整数指数幂:非零数的负整数指数幂可表示为同底数的正整数指数幂的倒数,即(a≠0,n是正整数). 【即学即练1】 1．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值和零指数幂的运算方法． 【详解】解：， 故答案为：3． 【即学即练2】 2.计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，先根据负整数指数幂及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可．解题的关键是掌握：，． 【详解】解：． 故选：B． 方法归纳：运用公式,必须先判断a是否为0;运用公式,应先将指数化负为正,取倒数,再计算. 知识点03 用科学记数法表示绝对值小于1的数 把绝对值较小的数表示成的形式(1≤|a|<10,n为正整数). 【即学即练1】 1.某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数0.000000007用科学记数法表示是． 故选：C． 方法归纳：用科学记数法表示绝对值小于1的数时,先确定a的值,注意1≤|a|<10,再确定n的值,n等于从左边数第一个不为0的数前面的0的个数(包括小数点前面的0). 知识点04 整数指数幂的运算法则 （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，b≠0，n是整数）. 【即学即练1】 1．化简的结果是x，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意列式，，整理后得到，，即可求解， 本题考查了，整数指数幂，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：用代替“？”， 根据题意得：，即：， ∴，即：， 方法归纳：整数指数幂的运算顺序与正整数指数幂的运算顺序一样,即先算乘方,再算乘除,如果有括号,先算括号里面的.需要特别注意的是,最后结果要化为只含有正整数指数幂的形式. 【即学即练2】 2.若，，，，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则． 根据整数指数幂的运算法则分别求出、、、，再进行比较即可求解． 【详解】， ， ， ， ， 即． 故选：． 题型01 同底数幂的除法运算 【典例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，根据相关运算法则计算出各选项的结果后再时行判断即可 【详解】解：A.与不能合并，故不符合题意； B. ，原选项计算错误，故不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，原选项计算错误，故不符合题意； 故选：C 【典例2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方以及幂的乘方运算法则，以及同底数幂的乘除法则计算即可求值． 【详解】解： 【变式1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方、单项式乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 运用同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方、单项式乘法法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；     B. ，故该选项错误，不符合题意；     C. ，故该选项错误，不符合题意；         D. ，故该选项正确，符合题意．     故选：D． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，除法运算，合并同类项．先计算积的乘方运算，再计算同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型02 同底数幂除法的逆用 【典例1】若，，则的值为（    ） A．11 B．3 C．4 D．164 【答案】C 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而结合同底数幂的除法运算法则得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】 故选：A． 【变式2】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则求解． 【详解】解：． 故答案为：． 题型03 零次幂和负整数指数幂 【典例1】计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，负整数指数幂，按照相关计算法则计算即可，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方运算法则． 【详解】解：， 故选：C． 5． 故答案为：D． 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零次幂、单项式乘以单项式，分式的乘方，积的乘方，理解“，（），，”及单项式乘以单项式法则是解题的关键． 【详解】A.，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论正确，符合题意； D.，结论错误，不符合题意； 故选：C． 题型04 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例1】在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径（）用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：“飞刃”的直径, 故答案为：． 【典例2】已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ． 【答案】0.0000213 【分析】将一个数表示成 的形式，其中 为整数，这种记数方法叫做 科学记数法，据此即可得出答案； 【详解】解：， 故答案为：0.0000213． 【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数，并根据科学记数法表示的小数写出原数，熟练掌握科学记数法表示数的方法是解题的关键 【变式1】用科学记数法表示0.000032＝ ，把2.36用小数表示为 ． 【答案】 0.0000236 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此可得． 【详解】用科学记数法表示0.000032=3.2×10-5，用小数表示2.36×10-5=0.0000236， 故答案为：3.2×10-5，0.0000236． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式2】红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0．0000077m，将0．0000077用科学记数法表示为 ． 【答案】7．7×10-6． 【详解】试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 试题解析：0．0000077用科学记数法表示为7．7×10-6． 考点：科学记数法—表示较小的数． 题型05 整数指数幂的运算 【典例1】下列计算正确的有（）． ①             ②          ③   ④          ⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】直接利用整数指数幂的法则和乘法公式分别计算得出答案． 【详解】解：①，故①正确；②，故②正确；  ③当m是偶数时，，故③错误；④，故④错误；⑤，故⑤错误. 正确的有①②，共2个. 故选C 【点睛】本题考查了整数指数幂的运算法则和乘法公式，熟练掌握幂的各种性质和法则，乘法公式是解题的基础. 【变式1】已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a，b，c三个数进行化简后再比较大小即可． 【详解】解：，，． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，整数指数幂，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【变式2】计算 （1）（2x2y）3•（-3xy2）÷6xy （2）2a2（3a2-2a+1）+4a3 【答案】（1）-4x6y4；（2）6a4+2a2． 【分析】（1）先根据指数幂的运算性质对等式进行分别运算，再进行乘除运算，即可得到答案； （2）先进行多项式与单项式的乘法运算，再进行加法运算，即可得到答案. 【详解】解：（1）原式=8x6y3•（-3xy2）÷6xy=-4x6y4； （2）原式=6a4-4a3+2a2+4a3=6a4+2a2． 【点睛】本题考查指数幂的乘除运算和多项式与单项式的混合运算，解题的关键是熟练掌握指数幂的乘除运算和多项式与单项式的混合运算. 1．中国移动从深圳至东莞的空芯光纤传输技术试验网取得重大突破，在每公里的链路上，空芯−空芯光纤熔接损耗低至0.0025分贝，将数据0.0025用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，将0.0025写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选A． 2．若，下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了零指数与负整数指数幂，同底数幂的除法运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用零指数与负整数指数幂运算法则，同底数幂的除法法则运算以及合并同类项法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．与无法合并，故此选项不合题意． 故选：A． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法、完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可. 【详解】解：A.     ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故B选项错误； D. ，故D选项正确； 故选D. 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 4．下列四道计算题中，有一题答案是错误的，请找出来（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；负整数指数幂的运算法则；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解： ， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 6．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法运算，涉及积的乘方、幂的乘方及负整数指数幂运算等知识，根据整式乘法运算法则直接求解即可得到答案，熟记积的乘方、幂的乘方及负整数指数幂运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 7．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则，幂的乘方的运算法则为，同底数幂相乘的运算法则为，灵活运用这两个法则是解答本题的关键． 8．计算下列各式，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则进行计算，然后再比较大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴的值最大． 故选：C． 【点睛】此题考查了同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则，解题关键是把底数不相同的化为相同，然后再根据对应运算法则进行计算． 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算、同底数幂的除法、完全平方公式，灵活运用幂的运算法则是解答的关键．利用完全平方公式和幂的运算法则将化为，将已知代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 10．若，则等于（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先利用同底数幂除法逆运算法则化为除法，再利用幂的乘方逆运算变形，代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：C． 11．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握整数指数幂中正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算． 先根据正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别求出、、的值，再进行比较即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 即． 故选：． 12．若，则 【答案】25 【分析】根据同底数幂的除法公式解答即可． 本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， 又， 故． 故答案为：25． 13．计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、单项式乘单项式、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．先算积的乘方、再根据单项式乘单项式的法则计算，再把结果化为只含有正整数指数幂的形式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的幂的乘方，同底数幂除法的逆用，将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：2． 15．年月日，天气软件显示毕节市的空气质量情况为“优”，其中的值为微克立方米，即克立方米．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法的的定义，写成的形式即可． 【详解】解：，故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法的简单应用，解题的关键是掌握用科学记数法表示较小的数的方法． 16．已知1纳米米，则5纳米 米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵1纳米米 ∴1纳米米 ∴， 故答案为：． 17．用小数表示：2×10﹣3= ．24×（﹣2）4×（﹣0.25）4= ． 【答案】0.002，1 【详解】试题分析:2×10﹣3就是把2的小数点向左移动3位即可； 24×（﹣2）4×（﹣0.25）4逆用积的乘方公式即可求解． 解：2×10﹣3=0.002； 24×（﹣2）4×（﹣0.25）4 =（2×2×0.25）4 =1． 故答案是：0.002，1． 考点：幂的乘方与积的乘方；科学记数法—原数． 18．在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的3个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”．在如图的九宫格中，已填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得： 再整理为从而可得答案． 【详解】解：由题意可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义问题，幂的运算的综合题，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，理解题意，再建立方程是解本题的关键． 19．下列四个结论，其中正确的是 ． ①若，，则可表示为； ②若的运算结果中不含项，则； ③若，，则； ④若，则x只能是2． 【答案】①②/②① 【分析】①利用同底数幂的乘法运算法则可知，此选项是正确的； ②利用整式乘法法则展开后可知，此选项是正确的； ③根据已知，利用完全平方公式可知，此选项是错误的； ④幂结果是1，则有两种情况，要么底数是1，要么指数为0，此选项错误． 【详解】解：①若，， 则 ， 故此选项正确； ② ∵不含有项， ∴， ∴， 故此选项是正确的； ③∵ ， ∴， 故此选项是错误的 ④， 当时，，成立； 当时，，成立， 故此选项是错误的． 故答案为：①、②． 【点睛】本题考查幂的运算法则，多项式乘法，完全平方公式，乘方运算；掌握相关运算法则是解题的关键． 20．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法和除法，利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的除法先把转化为，得到，再利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法把转化为，最后把代入计算即可求解，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．已知，则 【答案】2或或0 【分析】本题考查幂的运算，根据分三种情况讨论，①1的任意指数幂，②非零数的零指数幂，③的偶次幂，根据这三种情况建立等式求解，即可解题． 【详解】解： ， ∴分以下三种情况讨论， ①1的任意指数幂， 即，解得； ②非零数的零指数幂， 即且， 解得且， 故； ③的偶次幂， 即，解得， 当时，为偶数， 故； 综上所述，的值为2或或0． 故答案为：2或或0． 22．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由绝对值以及偶次幂的非负性得到，，求出的值再代数求值． 【详解】解： ， 根据绝对值以及偶次幂的非负性， ，，， ，，， 将代入， 原式， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查绝对值以及偶次幂的非负性以及代数求值，解出的值是解题的关键． 23．已知，若，则 ． 【答案】 【分析】先提取公因式推得，根据加减消元法得出；代入得出；结合题意即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 即， 故或（舍去）， ∴， 得：， 整理得：， 故； 将代入得：， 整理得：， 故； ∴； ∵， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法，整式的加减混合运算，加减消元法、幂的乘方．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 24．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）根据，代入即可求得答案； （2）根据，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：原式 将，代入，原式 的值为20． （2）解：原式 将，代入，原式 的值为． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正整数指数幂的定义、负整数指数幂的定义以及任何非零数的零次幂等于1计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则先化简，然后再进行合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查实数的运算、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、合并同类项．熟记相关运算法则是解答本题的关键． 26．计算或化简： (1) (2) 【答案】(1)4； (2) 【分析】（1）根据-1的整数指数幂的特点以及负整数指数幂和0指数幂的法则进行运算，即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘除混合运算法则依次计算即可得到答案； 【详解】（1）解： =1+4-1 =4； （2）解： 【点睛】本题考查了同底数幂的混合运算，涉及了0指数幂和负整数指数幂的相关知识，掌握知识并仔细计算，同时注意计算中需注意的事项是本题的解题关键． 27．例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是 求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则 ， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则；； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)若多项式（、是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值． 【答案】(1)； (2)另一个因式为，的值为 (3) 【分析】本题考查分解因式的应用，多项式的乘法及同底数幂的除法， （1）先把已知条件中的等式右边按照多项式乘多项式法则进行计算，根据计算结果，求出，即可； （2）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果求出，即可得解； （3）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论； 正确理解例题的解答过程、掌握相应的运算法则和等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：；； （2）设另一个因式为， ∴ ， 即， ∴，， 解得：，， ∴另一个因式为，的值为； （3）设另一个因式为， ∴ ， 即， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 28.我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 【答案】(1)3，0 (2)42 (3)2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：3，0； （2）解：设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：42． （3）解：猜想，理由： 设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$