精品解析：河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

高二数学月考试卷 说明：本试题满分150分 考试时间120分钟，请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各图中，变量、具有线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 0或1个 D. 无数个 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 10. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 11. 已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上） 12. 某地区调研考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为________． 13. 计算______． 14. 已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______. 四、解答题（本题共有5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）求值：2lg5＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； （2）已知lg5＝m，lg3＝n，用m，n表示log308． 16. 已知，命题p：，；命题q：，． （1）若命题p为假命题，求a的取值范围； （2）若p和q均为真命题，求a的取值范围． 17. 2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查.统计整理数据得到如下的列联表： 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 女生 25 25 合计 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？ （2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈.设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数． （1）当时，求的在上的最大值和最小值； （2）讨论的单调性． 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明. （3）求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考试卷 说明：本试题满分150分 考试时间120分钟，请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：​. 故选：B. 2. 在下列各图中，变量、具有线性相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用散点图判断可得出结论. 【详解】由散点图可知，A选项中的散点均匀地分布在一条直线附近，变量、具有线性相关关系， BCD选项中的散点没有分布在一条直线附近，故BCD选项中变量、不具有线性相关关系. 故选：A. 3. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 0或1个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念即可判断. 【详解】解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点． 故选：C. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：C. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值判断出选项． 【详解】，是偶函数，排除C，D； 又， 故选：B 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出不等式的解后可得其增区间. 【详解】的定义域为， 而，令，则， 而，故， 故的增区间为. 故选：A. 7. 已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程. 【详解】设 ，由题意知，，则， C在点M处的切线，所以 所以 ，则， 将代入的方程可得，即 抛物线的准线方程为： 则.设与曲线C的切点为， 则，解得或（舍去）， 则，所以的方程为. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题. 8. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得是奇函数且单调递增，则不等式可等价于，即对恒成立，再利用基本不等式即可求解. 【详解】的定义域为，且，是奇函数， 且在上单调递增， 则不等式等价于， ，即对恒成立， ，当且仅当，即时等号成立， . 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查利用奇偶性、单调性以及基本不等式解不等式，解题的关键是判断出函数的奇偶性和单调性将不等式化为，得出对恒成立，利用基本不等式求解. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合A即可判断作答. 【详解】依题意，是的约数，而的约数有， 即，则， 因为，因此 所以CD正确，AB错误. 故选：CD 10. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数，由偶函数的定义可知为偶函数，根据单调性与导数的关系可得在上单调递增，利用单调性和奇偶性比较函数值的大小即可判断各选项的对错. 【详解】构造函数，其中，则， ∵对于任意的满足， ∴ 当时，，则函数在上单调递增， 又函数是偶函数，，∴， ∴在上为偶函数， ∴函数在上单调递减． ∵，则，即，即，化简得，A正确； 同理可知，即，即，化简得，B正确； ，且即，即，化简得，C错误； ，且，即，即，化简得，D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上） 12. 某地区调研考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】由正态分布知，均值，且，所以， 则数学成绩在的概率为， 故答案为：. 13. 计算______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据对数的运算计算得出结果； 【详解】原式； 故答案为：10. 14. 已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在极值点处导数为0求得a，利用导数讨论单调性，然后可求最值. 【详解】记 ， 因为是函数的极值点， 所以，解得 令，解得或 当时，，递减；当时，，递增 又， 所以，该函数在上的最大值是 故答案为： 四、解答题（本题共有5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）求值：2lg5＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； （2）已知lg5＝m，lg3＝n，用m，n表示log308． 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则化简求值. （2）由已知及对数运算性质可得lg2＝1－m，log308＝，即可用m，n表示log308． 【详解】（1）原式＝2lg5＋×3lg2＋lg5·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2lg5＋2lg2＋lg5·lg2＋lg5＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg2(lg5＋lg2)＋lg5＝2＋lg2＋lg5＝2＋1＝3． （2）因为lg5＝m，lg3＝n，则lg2＝1－lg5＝1－m， ∴log308＝＝＝． 16. 已知，命题p：，；命题q：，． （1）若命题p为假命题，求a的取值范围； （2）若p和q均为真命题，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列出不等式求出命题，再求出即可. （2）分离参数，利用基本不等式求出最小值，即得命题，结合（1）的信息即可得解. 【小问1详解】 由命题p：，，得，解得或， 由命题p为假命题，得， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 命题q：，，即，， 而当时，，， 当且仅当，即时取等号，因此， 由（1）知命题p是真命题时，或， 所以p和q均为真命题，a的取值范围是或. 17. 2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查.统计整理数据得到如下的列联表： 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 女生 25 25 合计 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？ （2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈.设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）选科分类与性别有关联 （2）的分布列如下： 1 2 3 期望为2【解析】 【分析】（1）计算卡方即可由独立性检验求解， （2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望. 【小问1详解】 列联表补充如下： 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 50 女生 25 25 50 合计 60 40 100 零假设为：选科分类与性别无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为选科分类与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 由已知，50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为， 因此抽取6名女生中，选择物理类和选择历史类的人数均为3名. 所以随机变量的取值为. ， 所以随机变量的分布列如下表： 1 2 3 所以. 18. 已知函数． （1）当时，求的在上的最大值和最小值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）最大值为9，最小值为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值； （2）求导可得，分类讨论当、、时函数对应的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的最大值为9，最小值为. 【小问2详解】 ，则， 令，解得或， 当即时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当即时，，在R上单调递增； 当即时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明. （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）在上的单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由可求得的值； （2）任取，且，然后计算变形，再判断符号，可得结论； （3）由的单调性，将问题转化为，再令，可得，求出的范围，从而可求得的范围. 【小问1详解】 由，得，则. 【小问2详解】 在上的单调递减．证明如下： 任取，且，则 ， ∵，且， ， ∴，即， 在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可得，在上单调递减，而， 则由可得， 令，可得. 解得：或. 所以或. 不等式的解集为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $