精品解析：山西省太原市2023-2024学年高二下学期期末学业诊断数学试题

2023~2024学年第二学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分. 一､选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是（ ） A. （1）为正相关，（2）不相关，（3）负相关 B. （1）为正相关，（2）负相关，（3）不相关 C. （1）为负相关，（2）不相关，（3）正相关 D. （1）为负相关，（2）正相关，（3）不相关 2. 已知离散型随机变量，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1.6 D. 0.8 3. 有5名同学要去参加3个兴趣小组，每名同学可自由选择其中1个兴趣小组，则他们不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 4. 以下说法正确的是（ ） A. 等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性 B. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 C. 残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 D. 决定系数越小，则相应模型的拟合效果越好 5. 北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 360 D. 720 6. 已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（ ） 1 0 1 0 A. B. C. D. 7. 一般地，多项选择题有四个选项，其中有两个或三个选项正确，其赋分规则是：选对部分正确选项得部分分，选对全部正确选项得满分6分，有错误选项得0分.某道多项选择题有四个选项，其中有三个选项正确，答题时只能选一个､两个或三个选项.小明随机作答，则他得0分概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（ ） A. B. C. 0 D. 二､多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 使用经验回归方程进行预测时，下列结论正确的是（ ） A. 经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B. 经验回归方程一般都有时效性 C. 解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越好 D. 经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值 10. 已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个红球，3个白球.现从袋中不放回连续摸球两次，每次摸出一个球.记事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知某校高二年级数学考试成绩中，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A. 和的分布密度曲线相比，的分布密度曲线更“瘦高” B. 成绩低于74分男生人数在全体男生中的比例小于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例 C. 成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例 D. 成绩高于90分的男生人数在全体男生中的比例高于成绩低于62分的女生人数在全体女生中的比例 12. 已知，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则__________. 14. 已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则__________. 15. 某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为__________. 16. 为备战2024法国巴黎奥运会，某运动队要从6名运动员中选4名参加接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒，在剩下的5人中有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第4棒，则此训练的不同方法种数为__________. 四､解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 求展开式中常数项和的系数. 18. 某校化学课题组为改进某项实验技术，减少实验时间，从而提高实验效率.从该校高二化学社团选取40名学生，并将他们平均分成两个实验组.第一组学生用原方法做实验，第二组学生用新方法做实验.现统计两组同学完成实验的时间（单位：min）如下： 第一组完成实验的时间（单位：min） 8 9 10 12 14 14 16 16 17 17 18 18 18 19 19 20 21 21 22 22 第二组完成实验的时间（单位：） 7 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 16 16 18 19 21 （1）记这40名学生完成实验时间的中位数为，根据上述信息完成实验方法和实验时间样本数据的列联表； 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 新方法 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析新方法的实验效率是否比原方法高. 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10828 19. 某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 （1）已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； （2）若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 20. 在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. （1）求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； （2）若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. 21. 山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季的100天里的出租情况，得到每间民宿租金（单位：元/日）与其出租率（出租天数）的对应关系表和散点图如下： 租金 88 128 188 288 388 488 出租率 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15 （1）请根据散点图判断，与哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）. 261.3 0.46 5.4 121437.86 1.97 -221.19 -1.04 （2）已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金的费用.若民宿出租，则每天需要再支付租金的的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金为多少元时，该民宿在这100天内的收益最大. 附：；对于一组数据，其经验回归方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期高二年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分. 一､选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是（ ） A. （1）为正相关，（2）不相关，（3）负相关 B. （1）为正相关，（2）负相关，（3）不相关 C. （1）为负相关，（2）不相关，（3）正相关 D. （1）负相关，（2）正相关，（3）不相关 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图的点的分布即可得到结论． 【详解】第一个图点的分布比较集中，且随的增加，而增加，是正相关． 第二个图点的分布比较分散，不相关． 第三个图点的分布比较集中，且随的增加，而减少，是负相关． 故选：A． 2. 已知离散型随机变量，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式直接求解即可. 【详解】因为离散型随机变量， 所以. 故选：B 3. 有5名同学要去参加3个兴趣小组，每名同学可自由选择其中1个兴趣小组，则他们不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理可求不同的选法数. 【详解】由题设，5名同学可分5步完成，任何一个同学有3种选择方法，故他们不同的选法数为：， 故选：D. 4. 以下说法正确的是（ ） A. 等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性 B. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 C. 残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 D. 决定系数越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立性检验思想判断AB；利用经验回归问题判断CD. 【详解】对于A，等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性，A正确； 对于B，用独立性检验推断的结论可靠，会犯随机性错误；B错误； 对于C，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，决定系数越大，则相应模型的拟合效果越好，D错误. 故选：A 5. 北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 360 D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 6. 已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（ ） 1 0 1 0 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用期望、方差公式求出，再比较大小即得. 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 7. 一般地，多项选择题有四个选项，其中有两个或三个选项正确，其赋分规则是：选对部分正确选项得部分分，选对全部正确选项得满分6分，有错误选项得0分.某道多项选择题有四个选项，其中有三个选项正确，答题时只能选一个､两个或三个选项.小明随机作答，则他得0分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举所有基本事件，即可根据古典概型概率公式求解. 【详解】不妨设四个选项为其正确选项为， 该考生随机作答的所有选择结果构成的样本空间为,,,,,,,,,,,,,， 由上，得0分的事件有 ,,,,,, 所以得0分的概率为， 故选：D 8. 已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数得，利用赋值法求出结果． 【详解】根据的展开式通项， 当与配对时，，故系数为, 当与配对时，，故的系数为， 所以，故； 故令，则各项的系数和为． 故选：D． 二､多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 使用经验回归方程进行预测时，下列结论正确的是（ ） A. 经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 B. 经验回归方程一般都有时效性 C. 解释变量取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越好 D. 经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，结合经验回归方程的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，A正确； 对于B，经验回归方程适用于有相关关系的两个变量，两者的变化可能会随时间的推移， 互相影响的情况不同，因此经验回归方程一般都有时效性，B正确； 对于C，解释变量的取值范围会影响经验回归方程的适用范围， 解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越差，C错误； 对于D，经验回归方程得到的是响应变量的预报值，不是响应变量的精确值，D错误； 故选：AB 10. 已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个红球，3个白球.现从袋中不放回连续摸球两次，每次摸出一个球.记事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概型、条件概率公式，结合互斥事件的概率逐项计算即得. 【详解】依题意，，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11. 已知某校高二年级数学考试成绩中，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A. 和的分布密度曲线相比，的分布密度曲线更“瘦高” B. 成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例小于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例 C. 成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例 D. 成绩高于90分的男生人数在全体男生中的比例高于成绩低于62分的女生人数在全体女生中的比例 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，依次分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，男生成绩服从正态分布，其均值，标准差， 女生成绩服从正态分布，其均值，标准差， 对于A，因为，所以和的分布密度曲线相比的分布密度曲线更“瘦高”，故A正确； 对于B，，， 所以， 又因为， 则有， 即成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例大于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为，所以， 根据正态分布性质，， 所以， 故成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 因为，， 所以， 根据正态分布性质，， 故，故D错误， 故选：AC． 12. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令可求出，对于B，对原式变形后，根据二项式展开式的通项公式求解判断，对于C，对原式变形后，分别令可求得结果，对于D，对已知等式两边求导后，赋值判断. 【详解】对于A，当时，得，所以A错误， 对于B，因为， 所以， 所以其展开式的通项公式为， 当时，，所以B正确， 对于C，， 令，则， 令，则， 所以两式相减化简得，所以C正确， 对于D，由， 得， 令，得， 所以，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查二项式定理，考查导数的应用，解题的关键是根据题意正确赋值求解，考查分析问题的能力，属于中档题. 三､填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据组合数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】，故或（舍去）， 故答案为：4 14. 已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的数据求出样本的中心点，结合经验回归方程过样本中心点即得. 【详解】由，得， 则，所以. 故答案为： 15. 某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为__________. 【答案】75 【解析】 【分析】求出一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率，再利用二项分布的期望公式计算即得. 【详解】依题意，元件1、元件2、元件3使用寿命超过1000小时的概率均为， 一台这样的电器使用寿命超过1000小时，是元件1使用寿命超过1000小时， 并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1000小时， 因此一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率为， 显然200台这样的电器，使用寿命超过1000小时的台数，， 所以200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为75. 故答案为：75 16. 为备战2024法国巴黎奥运会，某运动队要从6名运动员中选4名参加接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒，在剩下的5人中有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第4棒，则此训练的不同方法种数为__________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意，设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第4棒，对甲排第4棒和第1棒分类，结合排列组合即可得解． 【详解】设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第4棒， 当甲排第4棒时，乙、丙均不参与，则丁及其他两人必参加，有种； 乙、丙都参与有，其他3人任选1人安排在第1棒有，则种； 乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有，最后在3人任选2人安排余下的两棒有，则种； 当甲排第1棒时，乙、丙均不参与，则丁及其它两人必参加，有种； 乙、丙都参与，则丁必不能参与，有种； 乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有，则第4棒在除丁外其他两人选一个有，余下一棒在余下可参与的两人任选一个有，则种； 综上，合适的选择方法种数为种． 故答案为：60 四､解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 求展开式中常数项和的系数. 【答案】常数项是，的系数是. 【解析】 【分析】根据给定的二项式，求出展开式的通项，再求出指定项的系数. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，得，， 由，得，， 所以展开式中常数项是，的系数是. 18. 某校化学课题组为改进某项实验技术，减少实验时间，从而提高实验效率.从该校高二化学社团选取40名学生，并将他们平均分成两个实验组.第一组学生用原方法做实验，第二组学生用新方法做实验.现统计两组同学完成实验的时间（单位：min）如下： 第一组完成实验的时间（单位：min） 8 9 10 12 14 14 16 16 17 17 18 18 18 19 19 20 21 21 22 22 第二组完成实验的时间（单位：） 7 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 16 16 18 19 21 （1）记这40名学生完成实验时间的中位数为，根据上述信息完成实验方法和实验时间样本数据的列联表； 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 新方法 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析新方法的实验效率是否比原方法高. 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 14 6 20 新方法 5 15 20 合计 19 21 40 （2）根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为新方法的实验效率比原方法高，即新方法跟实验效率有关.【解析】 【分析】第一小问先把数据从小到大排序，求出，即可求解； 第二问直接利用卡方计算公式算出结果，跟临界值比较即可求解. 【小问1详解】 先把数据从小到大排序中位数，然后找数据把表格填写完毕. 实验方法 实验时间 合计 大于 不大于 原方法 14 6 20 新方法 5 15 20 合计 19 21 40 【小问2详解】零假设：新方法的实验效率不比原方法高，即新方法跟实验效率无关. 根据列联表得， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为新方法的实验效率比原方法高，即新方法跟实验效率有关. 19. 某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 （1）已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； （2）若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 【答案】（1）分布列见解析， （2）7 【解析】 【分析】（1）由题意可得服从超几何分布，其中，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求出的分布列和数学期望； （2）由题意求出从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为，则，然后利用二项分布的概率公式列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意得服从超几何分布，其中， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； 小问2详解】 由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为， 则，即， 所以， 令，得， 令，得， 所以， 因为，所以当时，最大. 20. 在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. （1）求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； （2）若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. 【答案】（1） （2）建议抽奖人改选2号箱,理由见解析 【解析】 【分析】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”，由全概率公式有，然后结合题意即可求解； （2）利用条件概率求出，即可得解． 【小问1详解】 设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”， 由全概率公式，得 ； 【小问2详解】 因为， ， 所以， 即建议抽奖人改选2号箱． 21. 山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季的100天里的出租情况，得到每间民宿租金（单位：元/日）与其出租率（出租天数）的对应关系表和散点图如下： 租金 88 128 188 288 388 488 出租率 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15 （1）请根据散点图判断，与哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）. 261.3 0.46 5.4 121437.86 1.97 -221.19 -1.04 （2）已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金的的费用.若民宿出租，则每天需要再支付租金的的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金为多少元时，该民宿在这100天内的收益最大. 附：；对于一组数据，其经验回归方程为. 【答案】（1）选，； （2）元. 【解析】 【分析】（1）观察散点图确定回归模型，换元，利用最小二乘法公式求出回归方程. （2）结合（1）求出收益的函数关系，利用导数探讨单调性并求出取最大值时的x值. 【小问1详解】 由散点图知，应选更合适. 由，得，则， ， 所以. 【小问2详解】 依题意， ，求导得， 令，得，解得， 当时，，随着的增大而增大，当时，，随着的增大而减小， 所以当元时，民宿在这100天内的收益最大. 【点睛】易错点睛：非纯属回归方程的求解，换元转化为线性回归方程求解，再利用最小二乘法求解时，要代入对应值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$