精品解析：山东省威海大光华学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

高二月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数在处存在导数为2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的极限定义计算可得. 【详解】由导数的定义可知，. 故选：D. 2. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可. 【详解】由，得或， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由图知，只有C选项的图象符合. 故选：C. 3. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可. 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 4. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案. 【详解】解：因为，所以. 又的图象在处的切线方程为， 所以，解得， 则，所以，代入切线方程得，解得， 故. 故选：B. 5. 若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项进行计算即可. 【详解】的展开式中含项的系数为 ， 解得或（舍）， 故选：B. 6. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可. 【详解】对进行求导，可得， 将代入整理，① 将 代入可得，即， 将其代入① ，解得：，故得. 于是，由可得或，因， 故当时，，当时， ， 即是函数的极小值点，函数没有极大值. 故选：D. 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组. 所以，， 所以. 故选：D 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. e B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案. 【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立． 令，则在上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，故． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析函数的构成，利用基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导公式逐一判断即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C： ，故C正确； 对D： ，故D错误. 故选：ABC. 10. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D. 【详解】对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为增函数 B. 是函数的极小值点 C. 函数必有个零点 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求导，根据导函数满足判断选项AB，再结合，分，，判断选项C；再由函数在上为增函数判断选项D. 【详解】因为，所以， 因为导函数满足， 当时，，则 ，所以 是增函数； 当时，，则 ，所以 是减函数； 故A错误，B正确； 又，则， 当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，可能有1个或个零点，故C错误； 因为函数在上为增函数， 所以，即，整理得，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 【答案】5 【解析】 【分析】求出函数的导数，将代入，可求得答案. 【详解】因为，所以, 即函数的图象在点处的切线的斜率为5， 故答案为：5 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 又，所以在上单调递增， 不等式，即， 等价于，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 设，则______. 【答案】4083 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开式的通项确定系数与二项式系数的关系，即可得结论. 【详解】 又展开式的通项可为 . 故答案为：4083. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项； （3）若第k项是有理项，求k的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）利用二项式定理求出通项，令，求出，代入通项求解即可 （3）当为整数时为有理项，即可求解 【小问1详解】 在展开式的二项式系数和为256， 即， ， 展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项， 所以， 【小问2详解】 ， 由，所以展开式中含的项是第2项， 所以 【小问3详解】 ， 当为整数时为有理项，即， 则k的取值集合 16. 已知函数在处取得极值． （1）求a的值； （2）求函数的极值； （3）求在区间上的最大值． 【答案】（1）或 （2）当时，的极大值为，极小值为；当时，的极大值为，极小值为. （3）当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，由题意可得可求出a的值，再检验即可； （2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （3）由结合（2）可求出在区间上的单调区间，从而可求出其最值. 【小问1详解】 由，得， 因为在处取得极值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，当时，， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 所以符合题意， 当时，， 当或时，，当时，， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 所以符合题意， 综上，或； 【小问2详解】 当时，， 由（1）可知在时取得极大值，在时取得极小值， 所以的极大值为， 极小值为， 当时，， 由（1）知在时取得极大值，在时取得极小值， 所以的极大值为， 极小值为； 【小问3详解】 当时，， 由（1）知在上递减，在上递增， ，， 所以， 令， 则， 令， 则， 所以在上递增，所以， 所以，所以在上递增， 所以， 所以 所以， 所以的最大值为， 当时，， 由（1）知在上递增，在上递减， 所以. 17. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）利用条件概率求解； （3）利用全概率求解. 【小问1详解】 设事件“取出饺子是肉馅”，， 【小问2详解】 设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， 【小问3详解】 设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 18. 已知函数，． （1）当时，证明； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） 当时，，令， 求导可得， 当时，，函数单调递减， 所以时，，函数单调递增， 所以，所以； 所以当时，； （2） 当时，的单调减区间为，单调增区间为， 当时，单调增区间为和，单调减区间为， 当时，单调增区间为， 当时，单调增区间为和，单调减区间为. 【解析】 【分析】（1）令，求导可得，可证结论； （2）求导可得，对分类讨论可得函数的单调性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，可得， ①当时，即时，若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， ②当时，即， 若，，所以在上单调递增， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， ③当，即，若，，所以在上单调递增， ④当，即时， 若，，所以在上单调递增， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 综上所述：当时，的单调减区间为，单调增区间为， 当时，单调增区间为和，单调减区间为， 当时，单调增区间为， 当时，单调增区间为和，单调减区间为. 19. 已知函数（）． （1）当时，过点作的切线，求该切线的方程； （2）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设切点为，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，求出切点，即可得解； （2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有两个交点，求的取值范围． 【小问1详解】 当时，，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，即，所以， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，得，令， 则， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， 当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向， 作出函数的图象和直线， 如图示，在定义域内有且仅有两个零点, 即和有且只有两个交点， 由图象知，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数在处存在导数为2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 2. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 4. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. e B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 11. 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为增函数 B. 是函数的极小值点 C. 函数必有个零点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为___________. 14. 设，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项； （3）若第k项是有理项，求k的取值集合． 16. 已知函数在处取得极值． （1）求a的值； （2）求函数的极值； （3）求在区间上的最大值． 17. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： （1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ （2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，求乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 18. 已知函数，． （1）当时，证明； （2）求函数的单调区间． 19. 已知函数（）． （1）当时，过点作的切线，求该切线的方程； （2）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $