第一章 集合与常用逻辑用语（压轴题专练，全题型压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 2．（2024高一·全国）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 3．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 4．（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A． B． C．对任意的，，，有 D．对任意，，，有 8．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）对非空有限数集定义运算“”：表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④对任意有限集合A，B，C，均有. 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 10．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 02 多选压轴题 1．（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 2．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（    ）    A．已知，则 B．已知或，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（    ） A．若是“阶集”，则 B．若是“阶集”，则为任意正实数 C．若是“阶集”，则 D．若是“阶集”，则 03 填空题压轴 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合，，，若，且A中任意两个元素之和不在C中，则m的最大值为 ． 2．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 3．（2024高一·全国）给定集合，若集合，且对集合中任意两个元素、，不妨设，都有或，则称集合具有性质.假定集合满足形式，则具有性质的集合中的最小元素 . 4．用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 5．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 04 解答题压轴 1．（2024高二下·全国·专题练习）已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 3．已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 5．对于给定的整数，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”. (1)分别判断集合是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由； (2)证明：不存在“减2集”； (3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由） 6．若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 7．对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 2．（2024高一·全国）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 3．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 4．（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】结合新定义，根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，或，时，， 由时知，， 当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可， 显然不止，或，这种情况， 比如，等也满足， 所以“，或，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定且，得到，根据交集的概念联立方程解得答案. 【详解】根据题意：且，解得， 即， 由，解得， 故. 故选：A. 6．（23-24高一上·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案. 【详解】集合，， 根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素， 当中有1个元素时，有一个解，可得； 当中有3个元素时，易知，有三个解， 其中的两个为：， 当有一个解时，令，可得； 当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件， 此时，显然不等于0， 所以或，解得或， 综上所述，设实数a的所有可能取值为， 所以构成集合S元素个数为5，即. 故选：C 7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A． B． C．对任意的，，，有 D．对任意，，，有 【答案】C 【分析】根据②③可推得，进而结合①即可得出.然后根据新定义对每个选项进行运算化简可得． 【详解】由②③可得， 令， ， 即. 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ， ， 对任意的 ，有 ，故C正确； 对于D， ， ， 当时，有，故D错误． 故选：C. 8．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）对非空有限数集定义运算“”：表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④对任意有限集合A，B，C，均有. 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题中条件可得①③正确，通过举反例可得②④错误. 【详解】对于①，若，则A，B中最小的元素相同，则，故①为真命题； 对于②，取集合，，满足，而，故②为假命题； 对于③，若，则A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故③为真命题； 对于④，取集合，，，可知，，， 则不成立，故④为假命题. 综上，真命题的个数为2个. 故选：B 9．已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项. 【详解】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的. 10．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 02 多选压轴题 1．（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 2．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，不满足； 对选项B：若，，此时，满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：BCD. 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（    ）    A．已知，则 B．已知或，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 【答案】BCD 【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论. 【详解】根据差集定义即为且， 由，可得，所以A错误； 由定义可得即为且， 由或，可知或，即B正确； 若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确； 易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确. 故选：BCD 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】AD 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可． 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，，，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设，，，，使，故D正确． 故选：AD． 5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（    ） A．若是“阶集”，则 B．若是“阶集”，则为任意正实数 C．若是“阶集”，则 D．若是“阶集”，则 【答案】ABC 【分析】根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可. 【详解】对于A，若是“阶集”，则，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故B正确； 对于C，若是“阶集”，则，由得出， 当时，，所以，当时，取，，满足， 但是，所以为使成立时，，正实数的取值范围是，故C是正确； 对于D，若是“阶集”，则， 当，，时，，故不成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 03 填空题压轴 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合，，，若，且A中任意两个元素之和不在C中，则m的最大值为 ． 【答案】17 【分析】由已知，，所以集合中的元素最多有个，集合中的元素是5的倍数，将B集合按5的倍数和相差5分为5组，由集合A中任意两个元素之和不在C中，观察5组数中任取两个之和不是5的倍数，从而得到m的最大值. 【详解】由题意得可将B集合分为5组，用card来表示集合中元素个数， ，则； ，则， ，则； ，则； 则； A中任意两个元素之和不在集合C中，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， 所以最多的取法是取和中的一个元素，，故m的最大值为17． 故答案为:17． 2．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 3．（2024高一·全国）给定集合，若集合，且对集合中任意两个元素、，不妨设，都有或，则称集合具有性质.假定集合满足形式，则具有性质的集合中的最小元素 . 【答案】672 【分析】根据题意，具有性质的集合满足形式，且，一定有，且，结合新定义，讨论极端情况，求解即可. 【详解】由题意分析可得具有性质的集合满足形式，且， 那么一定有，且 任意的，都有或 最极端情况，解得. 当时，经检验不满足题意;当时，满足题意. 故答案为：672. 4．用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 【答案】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以或. 当时，关于x的方程有1个实数解， 所以，解得. 当时，关于x的方程有3个实数解， 方程有两个解为0和，则和都不是方程的根， 所以需满足，解得. 当时，的解为，符合题意； 当时，的解为，符合题意. 综上，a的所有可能取值为0，，，即所求集合S为. 故答案为：. 5．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 04 解答题压轴 1．（2024高二下·全国·专题练习）已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 【答案】(1)当时，；当时，不存在； (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果. （3）当时，，，，，，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论. 【详解】（1）若，则，其中， 否则， 若，当时，，， 所以，则相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则相差5， 所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在， 当时， ，，，，，， 则相差不可能1，2，3，4，5，6，这与矛盾， 故不都存在. 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 【详解】（1）恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； （2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； （3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 3．已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1349 【分析】(1)根据题目的定义，即可求得. (2)根据集合相等的概念，可以证明. (3)通过假设 ，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）当，则， （2）证明：因为集合，，且，所以中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，所以. （3）集合，，记为集合中元素的个数，设集合满足题意，则，则， 所以，因为，由容斥原理，， 所以最小的元素为，最大的元素为，所以，即，解得， 实际上，当时满足题意； 证明如下：设，则 ，则，依题意可知，，即，所以的最小值为，所以当时， 集合中元素最多，即时满足题意， 综上，的最大值为. 4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【答案】(1)12； (2)672. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是在第（2）问中求集合的所有非空子集. 5．对于给定的整数，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”. (1)分别判断集合是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由； (2)证明：不存在“减2集”； (3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由） 【答案】(1)是 “减0集”，不是“减1集” (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据“减集”定义结合，判断即可； （2）假设存在“减2集”，若，令，可得中的最小元素为，进而当时，可以得到，，进而可得中至少有一个属于集合，再依次检验即可得矛盾，进而证明结论. （3）假设，则集合中必然还有其他元素，当时，可以得到，，进而得到为奇数，再分中有最大元素和中无最大元素两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，对于结合，，由于，所以，集合是 “减0集”； 对于结合，，由于，所以，集合不是 “减1集”； 所以，集合是 “减0集”，不是“减1集”. （2）证明：假设存在“减2集”，记为，则，，对任意、，若，则； 所以，令，则对任意，，都有，故， 所以，中的最小元素为， 所以，当时，由于，故， 所以，当时，由于，故， 以此类推，，， 所以，中至少有一个属于集合， 若，则，故； 若，则，故； 所以，与中至少有一个属于集合矛盾， 所以，不存在“减2集” （3）解：存在“减1集”， 因为，故假设，则集合中除了元素以外，必然还有其他元素， 所以，当时，由于，故， 当时，由于，故， 以此类推，，， 若，，故； 若为偶数，则必存在使得，与矛盾，不成立； 所以，为奇数， 由于都成立，且， 所以，且， ①若中有最大元素，设为，则为奇数， 因为，故， 所以，，即 所以，或 ②若中无最大元素，下面证明. 首先，必有， 若存在某个奇数，则只能有； 否则，若存在某个，使得，则必有，则与矛盾； 但是，这样一来，中最大元素，这与中无最大元素矛盾. 所以，， 综上，或或 【点睛】本题第二问解题的关键在于正确理解“减集”的概念，结合反证法，令，可得中的最小元素为，进而得当时，可以得到，，中至少有一个属于集合，再依次检验即可得矛盾，进而证明结论；第三问解题的关键在于利用反证法，当时，得到，，且为奇数，再分中有最大元素和中无最大元素讨论求解. 6．若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 【答案】(1)集合不是“好集”,有理数集是“好集”，理由见解析 (2)证明过程见解析 (3)真，理由见解析 【分析】（1）由定义判断. （2）由，，可得，从而可得出. （3）中有时，易得结论，中没有时，可得，进而，再由（2）的结论可得出得，，进而得，从而得，进而，即得出. 【详解】（1）由便可得出，从而得出集合不是“好集”. 有理数集是“好集”，理由是：，对任意，都有，且时，. 故：有理数集是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以，若，则，即，所以，即. 故得证. （3）若中有时，显然有， 下设中不存在，由定义得，所以，则，由（2）得，同理. 若或时，显然； 若或时，显然，可得，所以，由（2）得，所以. 综上：. 故：若，则必有． 7．对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)集合是数域，证明见解析 (3)为数域，不一定是数域，，证明见解析 【分析】（1）按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明； （2）集合是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可； （3）为数域，不一定是数域，，按照数域的定义分别证明是否满足三个条件即可. 【详解】（1）证明：任取，且互质，那么一定是分数，即，故根据数域的概念得整数集不是数域. （2）解：集合是数域，理由如下： ①当或时，则，则至少有两个非零元素； ②当时，，则； ③取， 则，又，所以； ，又，所以； ，又，所以； ，又，所以， 综上，集合是数域. （3）解：为数域，不一定是数域，理由如下： 为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，任取，则， 由于为个数域，则，；， 所以，则，同样，则，，则，所以为数域； 当且两集合无包含关系时，不妨设，则， 若是数域，则，即或， 当时，，即，与假设不符； 当时，，即，与假设不符； 所以此时不是数域； 当或两集合有包含关系时，或，此时是数域； 所以不一定是数域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$