第一章 集合与常用逻辑用语（单元复习 重点10类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语知识归纳与题型突破 （题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点02：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 知识点03：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点04：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点05：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点06：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点07：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 知识点08：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点09：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点10：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点11：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点12：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点13：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 03 题型归纳 题型一 集合的表示方法 例题1．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 例题2．（23-24高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，，则集合B中的元素个数为 ． 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）用列举法表示集合 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）用列举法表示集合 2．（23-24高一上·广东广州·期中）用列举法表示集合＝ ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）用另一种形式表示集合. （1）；（2）. 题型二 根据元素与集合的关系求参数　 例题1．（2024·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，若，则实数a的值为 ． 例题3．（23-24高一上·四川达州·期中）设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 2．（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是 . 题型三 根据集合中元素的个数求参数　 例题1．（多选）（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．0 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为 ； （2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是 ． 例题3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合，求集合A满足下列条件时实数a的所有可能取值组成的集合 (1)集合A中有且仅有一个元素; (2)集合A中有两个元素； 巩固训练 1．（23-24高一上·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 题型四 集合的基本关系　 例题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 例题3．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 题型五 根据集合的包含关系求参数　 例题1．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 例题2．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）设使式子有意义的实数的取值范围为集合，集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 例题3．（23-24高一·浙江杭州·期末）已知集合，. （Ⅰ）若，求的取值范围. （Ⅱ）若，求的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合． （1）若是的真子集，求的范围； （2）若，且是的子集，求实数的取值范围． 3．（20-21高一上·湖北武汉·阶段练习）设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值集合. 题型六 集合的基本运算　 例题1．（天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测（二）数学试题）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 例题3．（2024·四川绵阳·模拟预测）集合，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津北辰·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 根据集合的运算结果求参数　 例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 例题2．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 例题3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 巩固训练 1．（23-24高一上·天津和平·期末）设集合， (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 3．（22-23高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 题型八　充分条件和必要条件的判断 例题1．（天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测（二）数学试题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（多选）（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型九　根据充分性和必要性求参数 例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 例题2．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知：关于x的方程有实数根，：. (1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围； (2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 例题3．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）设全集，集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围 巩固训练 1．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知集合，非空集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型十 命题的否定 例题1．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 例题2．（2024·湖南邵阳·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·四川内江·期末）已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十一 根据命题的真假求参数 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（22-23高一上·湖南株洲·期中）已知，若是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知命题：“，”，若为真命题，则实数的取值范围为 . 巩固训练 1．（23-24高三上·天津河东·期中）已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） （    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·吉林长春·阶段练习）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若命题“ ”为假命题，则实数m的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语知识归纳与题型突破 （题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点02：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 知识点03：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点04：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点05：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点06：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点07：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 知识点08：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点09：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点10：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点11：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点12：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点13：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 03 题型归纳 题型一 集合的表示方法 例题1．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】由集合的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 例题2．（23-24高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，，则集合B中的元素个数为 ． 【答案】13 【分析】由题列举出集合B，即得. 【详解】将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13． 1 2 3 4 6 1 1 2 3 4 6 2 1 2 3 3 1 2 4 1 6 1 故答案为：13 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 故答案为： 【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）用列举法表示集合 【答案】 【分析】由集合的描述法可知集合所含元素. 【详解】因为， 所以， 又， 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题. 2．（23-24高一上·广东广州·期中）用列举法表示集合＝ ． 【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}. 【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案 【详解】， 为的因数 则 则答案为 【点睛】本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 3．（23-24高一·全国·课后作业）用另一种形式表示集合. （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)描述法转为列举法时，首先确定集合是有哪些元素组成的，然后将所有元素写在花括号内；(2)列举法转为描述法时，首先明确集合中元素的公共属性，即把握住集合中元素满足什么条件. 【详解】（1）要使是整数，则必是6的约数，当时，是6的约数，∴. （2）. 【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题. 题型二 根据元素与集合的关系求参数　 例题1．（2024·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，若，则实数a的值为 ． 【答案】或0 【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证. 【详解】由题意，， 若，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意； 若，则或， 时，，不符合题意； 时，，符合题意， 综上，或. 故答案为：或0. 例题3．（23-24高一上·四川达州·期中）设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】依题意， 解得. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值. 【详解】因为集合，且， 所以，或， 解得或， 当时，，集合中的元素不满足互异性； 当时，，符合题意． 综上，． 故选：D． 2．（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为且， 所以或，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 故答案为： 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，得到，求出答案. 【详解】由题意得，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 题型三 根据集合中元素的个数求参数　 例题1．（多选）（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】BC 【分析】根据题意分类讨论求解即可. 【详解】因为集合中有且仅有一个元素， 所以当，即时， 若，则符合题意， 若，则不符合题意； 当，即时， 则， 解得（舍）或. 所以的值可能为1，. 故选：BC 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为 ； （2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是 ． 【答案】 或 或 【分析】（1）、根据集合中只有一个元素对分类讨论，当时验证是否只有一个元素；当时，则；即可求出实数的值及相对应的元素； （2）、根据题意可知或集合中只有一个元素，当时，则；结合（1）即可求出的取值范围. 【详解】（1）、 当时，集合中只有一个元素，符合题意； 当，因为A中只有一个元素，则方程有两个相等的实根．，得，此时，集合A中只有一个元素，符合题意； 综上所述，当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素． （2）、若集合，则方程无解，． 由（1）可知当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素． 综上所述：的取值范围是或． 故答案为：或；或. 例题3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合，求集合A满足下列条件时实数a的所有可能取值组成的集合 (1)集合A中有且仅有一个元素; (2)集合A中有两个元素； 【答案】(1)； (2)或. 【分析】将集合中元素的个数转化成方程解的个数，然后利用方程解的情况求解即可. 【详解】（1）集合中有且仅有一个元素，即方程只有一个解， ①当时，方程为，解得，符合要求； ②当时，方程为一元二次方程，，解得； 所以的所有可能取值构成的集合为. （2）集合中有两个元素，即方程为一元二次方程，，且方程有两个解，所以，解得，所以的所有可能取值构成的集合为或. 巩固训练 1．（23-24高一上·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是 【答案】或 【分析】首先将题目等价转换为方程只有一个解，从而对分类讨论即可求解. 【详解】由题意只含有一个元素，当且仅当方程只有一个解， 情形一：当时，方程变为了，此时方程只有一个解满足题意； 情形二：当时，若一元二次方程只有一个解， 则只能， 解得. 综上所述，满足题意的的值是或. 故答案为：或. 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知方程无解，可知且，即可解得； （2）由题可得方程至多一个实数根，易知符合题意，当时需满足，即可求得a的取值范围． 【详解】（1）由A是空集可知方程无解， 若，则方程必有解，不合题意； 若，由方程无解可得， 解得； 即a的取值范围为. （2）由A中至多一个元素可知方程至多一个实数根， 若，则方程有一解，符合题意； 若，则方程至多一个实数根， 即可得，解得； 综上可得，a的取值范围为或 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）需对参数进行分类讨论，分和两种情况求解； （2）结合（1）可直接求解； （3）将（1）（2）结论综合，即为对应取值范围. 【详解】（1）若，则或，当时，方程为， 其解为，所以A是单元素集． 当时，方程为，无实数解，所以A为空集． 所以，若A是空集， 则或 即，所以a的取值范围为； （2）由（1）可知，若A是单元素集，则或即； （3）由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为. 题型四 集合的基本关系　 例题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可. 【详解】由，可得，又，所以 故选：B 例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】B 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由，， 而为奇数，为整数，又， 所以⫋. 故选：B 例题3．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 巩固训练 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析集合M、N，得到，从而得解. 【详解】， ， 因为表示奇数，列举为， 同样表示奇数，所以. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系确定正确答案. 【详解】是无理数，所以A选项错误. 空集是任何集合的子集，所以B选项正确. 集合与集合的元素不相同，所以没有包含关系，所以C选项错误. ，所以D选项错误. 故选：B 3．（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 题型五 根据集合的包含关系求参数　 例题1．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值． 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 例题2．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）设使式子有意义的实数的取值范围为集合，集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）判断有意义条件，即可求出集合； （2）将中的不等式左侧进行因式分解，利用关系对于是空集和非空分类讨论，分别得到关于的不等式，解出即可得到答案. 【详解】（1）由可知，； （2） ①当即时，,满足题意； ②当即时，，要使，则，的值不存在； ③当即时，，要使，则，； 综上：实数的取值范围是或即 例题3．（23-24高一·浙江杭州·期末）已知集合，. （Ⅰ）若，求的取值范围. （Ⅱ）若，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）首先求出集合，及，再根据，得到不等式组，解得即可； （Ⅱ）首先求出，根据，则方程的小根大于，大根小于或等于，令，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为 因，即，即解得或 所以 表示的解集； （Ⅰ）因为，由题意知 所以方程的小根小于或等于，大根大于或等于，令 当则，不等式组无解， 当则，解得， 当则，解得 由此得． （Ⅱ） 由 所以方程的小根大于，大根小于或等于，令 所以解得 【点睛】解决集合的关系问题，一般先化简各个集合，然后利用交集、并集、补集的定义求出结果，属于中档题． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【答案】 【分析】根据，分类讨论求解即可. 【详解】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合． （1）若是的真子集，求的范围； （2）若，且是的子集，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据是的真子集可得得解； （2）由是的子集对集合进行讨论可求解. 【详解】（1）∵若是的真子集 ∴， ∴， ∴； （2）， ∵，∴，，，， ，则，∴； 是单元素集合，，∴此时 ，符合题意； ，不符合. 综上，． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，分类讨论集合的包含关系求参数，属于基础题. 3．（20-21高一上·湖北武汉·阶段练习）设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值集合. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由补集的定义结合集合的性质得出满足意义的方程组进而解出a的值即可； （2）由集合的包含关系，得出，，分别解方程求得a，验证后可得答案. 【详解】（1）由得：，解得：； （2）①若，解得：或， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意， ②若，解得：或， 当时，，，满足题意， 当时，，，满足题意， 综上所述，实数的取值集合为：. 【点睛】本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系求参数，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 题型六 集合的基本运算　 例题1．（天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测（二）数学试题）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】由题可得：或，所以， 故选：B 例题2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 例题3．（2024·四川绵阳·模拟预测）集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交并补运算规则直接计算即可. 【详解】由题，， 所以. 故选：B. 巩固训练 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再根据补集定义即可求解结论． 【详解】集合，，， ， 故选：D． 2．（2024·天津北辰·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知求解，化简集合N后再由交集运算得答案． 【详解】 ∵集合，， ∴，又＝{0,1}， ∴()∩N＝{0,1}． 故选：C． 3．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】， 则， 所以. 故选：C. 题型七 根据集合的运算结果求参数　 例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 例题2．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到集合B，再结合集合的补集和交集运算，即可求解； （2）由可得，分类讨论，结合集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）当，此时，则   所以 （2）若，则    ①当，则，解得，符合题意；   ②当，即时，须满足： ，解得，所以. 综上，实数m的取值范围为. 例题3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 巩固训练 1．（23-24高一上·天津和平·期末）设集合， (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解即得. （2）利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】（1）当时，，而，因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解． （2）若，则，分，讨论，列出不等式组求解即可得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， ，或， ；． （2），， ①当时，，解得， ②当时，则，， 综上，的取值范围是． 3．（22-23高一上·新疆省直辖县级单位·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出； （2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可. 【详解】（1）当时，集合，， ∴； （2）∵，（）， ，∴， ∴， 又，解得. ∴实数a的取值范围是：. 题型八　充分条件和必要条件的判断 例题1．（天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测（二）数学试题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，解得， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例题2．（多选）（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充分不必要条件的知识求得正确答案. 【详解】“”的充分不必要条件可以是：、， 所以BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 例题3．（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 【答案】充分不必要 【分析】根据绝对值的意义，求得不等式的解为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出. 【详解】设的一个必要不充分条件为，则且， 故只有B选项成立. 故选：B 3．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简不等式，即可根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】解：由“”得，由“”解得， 推不出，可推出，故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 题型九　根据充分性和必要性求参数 例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知：关于x的方程有实数根，：. (1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围； (2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若命题p是假命题， 则关于x的方程没有实数根，则，即可得解； （2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由q是p的充分不必要条件，可得是的真子集，再根据集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）若命题p是假命题， 则关于x的方程没有实数根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由：关于x的方程有实数根， 得，解得， 设命题对应的集合为，命题对应的集合为， 则， 因为q是p的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 例题3．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）设全集，集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）若，分和两种情况讨论，进而求得时实数的取值范围； （2）由题意可得，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）若， 当时，有，即； 当时，有或， 解得或， 综上所述，若，则实数的取值范围为， 所以当时，实数的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 当时，显然成立，即； 当时，有或，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 巩固训练 1．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分不必要条件定义转换为集合真包含关系求解即可. 【详解】设集合，集合， 因为p是q的充分不必要条件， 所以， 即. 所以实数a的取值范围为 故答案为：. 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知集合，非空集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，由“”是“”得，列出不等式组即可求解； （2）由交集的结果，结合数轴讨论即可. 【详解】（1）由题意，，解得， ． 由“”是“”的充分条件，得， 则，解得， 故实数的取值范围为． （2）由题意，得，即， 由，得或，解得或， 或； 综上所述. 3．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据充分不必要条件的定义得出关于的不等关系，然后求解． （2）根据集合的包含关系的定义求解． 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得， 又， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由已知， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 题型十 命题的否定 例题1．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：B. 例题2．（2024·湖南邵阳·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据全称命题或者特称命题的否定判断即可； 【详解】根据全称命题或者特称命题的否定， 所以 的否定为， 故选：D. 巩固训练 1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，直接求解. 【详解】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论， 所以命题，的否定是，. 故选：A 2．（23-24高一上·四川内江·期末）已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：因为命题，是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即，， 故选：C 题型十一 根据命题的真假求参数 例题1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由命题为真命题，即不等式在上恒成立， 当，可得，所以. 故选：B. 例题2．（22-23高一上·湖南株洲·期中）已知，若是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解. 【详解】因为是真命题， 所以方程有实数根， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 例题3．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知命题：“，”，若为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先得到命题，根据为真命题分，和三种情况进行讨论即可得到答案 【详解】由命题：“，”可得命题：“，”， 因为为真命题， 所以当时，命题：“，”很明显命题为真，满足题意； 当时，由为真命题可得，解得； 当时，由于二次函数的开口向下，所以，成立， 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高三上·天津河东·期中）已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为且，， 所以，对恒成立， 所以， 因为， 所以是命题“，”是真命题的一个充分不必要条件. 故选：A 2．（20-21高一上·吉林长春·阶段练习）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，命题：，为真命题，分、两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题：，为真命题. ①当时，则，不合乎题意； ②当时，则，令， 则， 所以，当时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若命题“ ”为假命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由命题“ ”为假命题，可得“ ”为真命题，利用判别式可求得答案. 【详解】命题“ ”为假命题，可得“ ”为真命题， 即方程无实数根，所以， 即实数m的取值范围是， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$