第一章 集合与常用逻辑用语（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 4．设全集，则（    ） A． B． C． D． 5．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 6．在下列命题中，是真命题的是（    ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 7．已知全集，集合，，则（   ） A．集合的真子集有8个 B． C．U中的元素个数为7 D． 8．设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 11．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题.写出该命题的否定 ． 13．设集合，则集合的真子集个数为 ． 14．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 16．已知全集，集合，． (1)若，求的值； (2)若，写出集合的所有真子集． 17．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 18．已知集合 . (1)当时，求; (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，显然， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果. 【详解】当时，，此时满足. 当时，，此时满足， 故选:C. 4．设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集，补集的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以或， 因为，所以. 故选：D. 5．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数. 【详解】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 6．在下列命题中，是真命题的是（    ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 【答案】B 【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/ 【详解】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除； 选项B，，，故该选项正确； 选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除； 选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B. 7．已知全集，集合，，则（   ） A．集合的真子集有8个 B． C．U中的元素个数为7 D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件求出集合B，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以 因为集合，所以A的真子集有共7个，故A错； 由，，得，所以，故B错； 由，得U中的元素个数为5，故C错； 由，，，所以， 所以，故D对； 故选：D 8．设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断各个选项. 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，所以，故A错误； 对于B，0属于集合，故B正确； 对于C，属于集合，故C正确. 对于D，空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：BCD. 10．已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 【答案】BC 【分析】解集合B中的方程，得集合B，由已知列举出集合C，验证选项即可. 【详解】，当时，方程的解为或； 当时，方程的解为， 得，A选项错误，B选项正确； 由且，则，共6个． C选项正确，D选项错误. 故选：BC 11．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】AC 【分析】由集合新定义把中的元素代入解出即可. 【详解】由M与N“相交”，可知有一个属于集合M， 若，则； 若，则， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题.写出该命题的否定 ． 【答案】，使得 【分析】利用命题的否定，写出结果即可. 【详解】命题，则该命题的否定是：，使得， 故答案为：，使得 13．设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数． 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 14．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解； （2）首先计算补集，再求交集. 【详解】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 16．已知全集，集合，． (1)若，求的值； (2)若，写出集合的所有真子集． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出集合，由求得的值； （2）由得，求出集合，写出真子集. 【详解】（1）由题意得，， ，即． （2）， ， 集合的所有真子集为：． 17．已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 18．已知集合 . (1)当时，求; (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用集合的补集和交集、并集运算求解即可； （2）由，列不等式组即可得解； （3）由，可知集合A与集合没有公共元素，则有或，求解即可得答案. 【详解】（1）当时，，所以， 或，所以. （2）因为，所以， 若，则； 综上，. 所以实数m的取值范围为. （3）因为，又， ， 当集合时，有：，解得：； 当集合时，有：或， 解得：. 综上所述：实数的取值范围为：. 19．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$