精品解析：北京市大兴区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024北京大兴初一（下）期末数学 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题纸交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 了解某班学生的身高情况 B. 了解某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某食品厂生产食品的合格率 D. 了解永定河的水质情况 3. 4的算术平方根是（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在三角形中，点D，E，F分别在上，连接，下列条件中，不能推理出的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个说法：若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中说法正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 小兰在学习了“如果，，那么．”，由此进行联想，提出了下列命题： ①对于任意实数，如果，那么； ②对于平面内的任意直线，如果，那么； ③对于平面内的任意角，如果与互余，与互余，那么与互余； ④对于任意图形（其中图形不重合），如果可以平移到，可以平移到，那么可以平移到． 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，则____________． 10. 为了解某校学生进行体育活动的情况，从全校名学生中随机抽取了名学生，调查他们平均每天进行体育活动的时间，在这次调查中，样本容量是______． 11. 已知方程是关于，二元一次方程，则______． 12. 某不等式组解集如图所示，在，和这三个数中，_____是该不等式组的解． 13. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____． 14. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是______． 15. 如图，的一边是平面镜，，点是上一点，一束光线从点射出，经过平面镜上的点反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则_____． 16. 两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有______（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a_____b（填“”，“”或“”）． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23 -26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式，并在数轴上表示它的解集． 19. 解方程组：． 20. 解不等式组：． 21. 如图，点B是射线上一点，射线端点A在直线上，按要求画图并填空： （1）过点B作直线平行直线； （2）用量角器作的角平分线，交直线于点F； （3）作射线，交直线于点G； （4）若，则______（用含α的式子表示）； （5）请用等式写出的数量关系______． 22. 我们已经在小学通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形， 求证：． 方法一： 证明：如图，过点作． 方法二： 证明：如图，过点作，延长到点． 23. 根据《北京市教育委员会关于印发义务教育体育与健康考核评价方案的通知》要求，自2024年起，本市初三年级体育与健康考核评价现场考试内容进行调整，其中运动能力Ⅰ中新增：乒乓球—左推右攻发球、羽毛球—正反手挑球和发高远球两项． 某学校为此在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程，需要购买相应的体育器材上课使用，其中羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，已知一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元． （1）求羽毛球拍和乒乓球拍一套的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，羽毛球拍一套单价打8折，乒乓球拍一套单价优惠4元．若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，且购买羽毛球拍数量不少于23套，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 24. 某校组织全体学生参加“网络安全知识”竞赛，为了解学生们在本次竞赛中的成绩，调查小组从中选取若干名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： a．抽取的学生成绩的频数分布表： 成绩 人数 a 6 15 b 9 b．抽取的学生成绩的频数分布直方图： c．抽取的学生成绩的扇形统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出频数分布表中的数值______，_______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中，竞赛成绩为的扇形的圆心角是______； （4）如果该校共有学生400人，估计成绩在之间的学生有______人． 25. 如图，点E，G在线段上，点F在线段上，，． （1）判断与的位置关系，并证明； （2）若，平分，与互余，求的度数． 26. 如图，网格中标有面积为的长方形． （1）通过裁剪、拼接长方形，可以拼出一个面积为的正方形，请以点D为顶点，在图中画出一个满足条件的正方形，则此正方形的边长为_____； （2）请在图中建立适当的平面直角坐标系，使点位于，线段的中点位于． ①请选用合适的工具，在平面直角坐标系中描出点； ②若点的纵坐标为，连接，三角形的面积是1，直接写出点的坐标． 27. 如图，已知，，点P为直线上一动点． （1）求证：； （2）作射线交直线于点M，交直线于点N，且． ①当点P运动到如图1所示的位置时，用等式表示，与之间的数量关系，并证明； ②当点P运动到如图2所示的位置时，补全图形，直接用等式写出、与之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形M与图形N给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点P与图形N上的所有点的距离的最小值为k，将点P延x轴正方向平移个单位长度得到点，称点是点P关于图形N的“关联点”，图形M上所有点的“关联点”组成的新图形记为，称是图形M关于图形N的“相关图形”． （1）已知，，，其中． ①若，点关于线段的“关联点”的坐标是______； ②若，请用尺规在图中画出点关于线段的“关联点”（保留作图痕迹）； （2）如图，线段关于图形N“相关图形”如图所示（为曲线且除外，其余点的横坐标大于6），如果图形N上的点都在同一条直线上，请在图中画出图形N． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京大兴初一（下）期末数学 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题纸交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，平面直角坐标系内，第一象限的坐标符号为，第二象限的坐标符号为，第三象限的坐标符号为，第四象限的坐标符号为，由此即可得出答案，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第二象限， 故选：B． 2. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 了解某班学生的身高情况 B. 了解某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某食品厂生产食品的合格率 D. 了解永定河的水质情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，由此即可得出答案． 【详解】解：A、了解某班学生的身高情况，适合采用全面调查，故符合题意； B、了解某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查，故不符合题意； C、了解某食品厂生产食品的合格率，适合采用抽样调查，故不符合题意； D、了解永定河的水质情况，适合采用抽样调查，故不符合题意； 故选：A． 3. 4算术平方根是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的求法计算即可得出答案． 【详解】解：4的算术平方根是， 故选：D． 4. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，由二元一次方程的解的定义得出，解关于的方程即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，先解不等式，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：解得：， 在数轴上表示如图所示： 故选：D． 6. 如图，在三角形中，点D，E，F分别在上，连接，下列条件中，不能推理出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由，能判定，故A不符合题意； 由，能判定，故B不符合题意； 由，能判定，故C不符合题意； 由，能判定，不能判定，故D符合题意； 故选：D． 7. 下列四个说法：若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中说法正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的基本性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：①若，则，故①正确，符合题意； ②若，且，则，故②错误，不符合题意； ③若，且，则，故③正确，符合题意； ④若，则，所以，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：C． 8. 小兰在学习了“如果，，那么．”，由此进行联想，提出了下列命题： ①对于任意实数，如果，那么； ②对于平面内的任意直线，如果，那么； ③对于平面内的任意角，如果与互余，与互余，那么与互余； ④对于任意图形（其中图形不重合），如果可以平移到，可以平移到，那么可以平移到． 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，根据实数的大小比较法则即可判断①；根据垂直直线的性质即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平移的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：对于任意实数，如果，那么，故①正确，符合题意； 对于同一平面内的任意直线，如果，那么，故②错误，不符合题意； 对于平面内的任意角，如果与互余，与互余，那么与相等，故③错误，不符合题意； 对于任意图形（其中图形不重合），如果可以平移到，可以平移到，那么可以平移到，故④正确，符合题意； 综上所述，其中所有真命题的序号是①④， 故选：B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表达式，先根据，移项，整理得出，即可作答． 【详解】解：依题意，把方程改写成用含x的式子表示y的形式， 则， 故答案为： 10. 为了解某校学生进行体育活动的情况，从全校名学生中随机抽取了名学生，调查他们平均每天进行体育活动的时间，在这次调查中，样本容量是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了样本容量．熟练掌握样本容量的定义是解题的关键． 根据样本容量的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，样本容量为， 故答案为：． 11. 已知方程是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程指只含有两个未知数、且含未知数的项的次数都为1的方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 12. 某不等式组的解集如图所示，在，和这三个数中，_____是该不等式组的解． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，观察数轴求出不等式组的解集的取值范围，然后估算已知条件中的三个数，从而进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：不等式组解集的范围是大于等于2且小于等于4， ，，， ∴是该不等式组的解， 故答案为：． 13. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设木条长尺，绳子长尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设木条长尺，绳子长尺， 依题意，得： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解，再根据不等式组有解进行解答即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵关于x的不等式组有解， ． 故答案为：． 15. 如图，的一边是平面镜，，点是上一点，一束光线从点射出，经过平面镜上的点反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，由平行线的性质并结合题意得出，求出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 两个数比较大小，可以通过它们差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有______（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a_____b（填“”，“”或“”）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算、不等式的性质，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后利用已知判断化简式子与0的大小关系即可得到答案； （2）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后根据已知得到化简式子与0的大小关系即可得到答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则成立， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则， ∴成立， 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23 -26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值、乘方，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的解法解得不等式的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得， 解集表示在数轴上如图： 19. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用加减消元法求解方程组的解即可． 【详解】解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 20. 解不等式组：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 21. 如图，点B是射线上一点，射线的端点A在直线上，按要求画图并填空： （1）过点B作直线平行直线； （2）用量角器作的角平分线，交直线于点F； （3）作射线，交直线于点G； （4）若，则______（用含α的式子表示）； （5）请用等式写出的数量关系______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查画平行线、作角平分线和垂线，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质以及垂直定义是解答的关键． （1）利用直尺平移画平行线即可； （2）先量得的度数，再画出使的射线即可得到的角平分线； （3）利用直尺画出射线即可； （4）利用平行线的性质得到，，结合角平分线的定义可得结论； （5）利用垂直定义得到，再利用平角定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图，直线l即为所求： 【小问2详解】 解：如图，射线和点F即为所求： 【小问3详解】 解：如图，射线和点G即为所求： 【小问4详解】 解：∵直线，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问5详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 我们已经在小学通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形， 求证：． 方法一： 证明：如图，过点作． 方法二： 证明：如图，过点作，延长到点． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义，选择方法一：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证；选择方法二：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：选择方法一： ∵， ∴，， ∵， ∴． 选择方法二： ∵， ∴，， ∵， ∴． 23. 根据《北京市教育委员会关于印发义务教育体育与健康考核评价方案的通知》要求，自2024年起，本市初三年级体育与健康考核评价现场考试内容进行调整，其中运动能力Ⅰ中新增：乒乓球—左推右攻发球、羽毛球—正反手挑球和发高远球两项． 某学校为此在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程，需要购买相应的体育器材上课使用，其中羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，已知一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元． （1）求羽毛球拍和乒乓球拍一套的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，羽毛球拍一套单价打8折，乒乓球拍一套单价优惠4元．若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，且购买羽毛球拍数量不少于23套，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】（1）羽毛球拍一套80元，乒乓球拍一套50元 （2）羽毛球23套，乒乓球27套 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设羽毛球拍一套价格为元，乒乓球拍一套价格为元，根据“羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买羽毛球拍套，则购买乒乓球拍套，根据“学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，购买羽毛球拍数量不少于23套”求出的取值范围，即可得出购买方案，分别求出每种购买方案所花费的资金，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：设羽毛球拍一套价格为元，乒乓球拍一套价格为元， 由题意得：， 解得：， ∴羽毛球拍一套价格为元，乒乓球拍一套价格为元； 【小问2详解】 解：设购买羽毛球拍套，则购买乒乓球拍套， 由题意得：， 解得：， ∵羽毛球拍数量不少于23套， ∴， ∵整数， ∴的取值可以为、、， ∴共有种方案：方案一：羽毛球23套，乒乓球27套；方案二：羽毛球24套，乒乓球26套；方案三：羽毛球25套，乒乓球25套， 方案一所花资金为：（元）， 方案二所花资金为：（元）， 方案三所花资金为：（元）， ∵， ∴购买方案为：羽毛球23套，乒乓球27套，此时最节约资金． 24. 某校组织全体学生参加“网络安全知识”竞赛，为了解学生们在本次竞赛中的成绩，调查小组从中选取若干名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： a．抽取的学生成绩的频数分布表： 成绩 人数 a 6 15 b 9 b．抽取的学生成绩的频数分布直方图： c．抽取的学生成绩的扇形统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出频数分布表中的数值______，_______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中，竞赛成绩为的扇形的圆心角是______； （4）如果该校共有学生400人，估计成绩在之间的学生有______人． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，频数分布表和扇形统计图，求扇形统计图圆心角，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）先求出总人数，即（人），则（人），因此（人）； （2）根据（1）即可补全频数分布直方图； （3）竞赛成绩为的扇形的圆心角是：，计算即可； （4）用样本估计总体，计算即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图与频数分布直方图可知成绩位于B范围内的人数有6人，占， 抽取学生总人数为：人， ， ， 故答案为：4，16； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：成绩为的扇形的圆心角是， 故答案为：108； 【小问4详解】 解：人， 故答案为：120． 25. 如图，点E，G在线段上，点F在线段上，，． （1）判断与的位置关系，并证明； （2）若，平分，与互余，求的度数． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质，并熟练运用． （1）先证明，结合，证明，从而可得结论； （2）先求解，，，从而可得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ， ， ， ； 小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∴ 26. 如图，网格中标有面积为的长方形． （1）通过裁剪、拼接长方形，可以拼出一个面积为的正方形，请以点D为顶点，在图中画出一个满足条件的正方形，则此正方形的边长为_____； （2）请在图中建立适当的平面直角坐标系，使点位于，线段的中点位于． ①请选用合适的工具，在平面直角坐标系中描出点； ②若点的纵坐标为，连接，三角形的面积是1，直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析， （2）①画图见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，算术平方根的应用等知识，解题的关键是∶ （1）把长方形剪成四个腰为1的等腰直角三角形，然后把这四个等腰直角三角形的顶角顶点拼在一起，即可得到正方形，然后根据算术平方根的定义求出正方形的边长即可； （2）①以中点为坐标原点，所在直线为纵轴，过中点且垂直的直线为横轴建立平面直角坐标系即可； ②根据C、G、E的坐标可得出，点E到的距离为1，根据三角形的面积可求出，则点G的横坐标为2或，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 四边形即为所求， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图， ； ②∵点位于，点的纵坐标为，位于， ∴，点E到的距离为1， ∵三角形的面积是1， ∴， ∴， ∴点G的横坐标为2或， ∴或． 27. 如图，已知，，点P为直线上一动点． （1）求证：； （2）作射线交直线于点M，交直线于点N，且． ①当点P运动到如图1所示的位置时，用等式表示，与之间的数量关系，并证明； ②当点P运动到如图2所示的位置时，补全图形，直接用等式写出、与之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）①，见解析；②图见解析， 【解析】 【分析】本题考查平行线判定与性质、三角形的外角性质，会利用三角形的外角性质和平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． （1）利用平行线的判定与性质证得结论即可； （2）①先利用平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质得到，进而整理可得结论； ②先根据题干叙述画出图形，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质得到，进而整理可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①2∠1=∠2+∠3． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， 即， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形M与图形N给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点P与图形N上的所有点的距离的最小值为k，将点P延x轴正方向平移个单位长度得到点，称点是点P关于图形N的“关联点”，图形M上所有点的“关联点”组成的新图形记为，称是图形M关于图形N的“相关图形”． （1）已知，，，其中． ①若，点关于线段的“关联点”的坐标是______； ②若，请用尺规在图中画出点关于线段的“关联点”（保留作图痕迹）； （2）如图，线段关于图形N的“相关图形”如图所示（为曲线且除外，其余点的横坐标大于6），如果图形N上的点都在同一条直线上，请在图中画出图形N． 【答案】（1）①；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，图形平移的应用，根据题中给出的新定义找出平移规律是解题关键 （1）①若时，经过一，三，四象限，与所有点的距离的最小值为2，根据题中平移方式即可求出点的坐标；②若时，经过一，二，四象限，即可做出 关于线段的“关联点”图形； （2）根据题中给出的图形结合新定义即可做出图形． 【小问1详解】 解：①若时，经过一，三，四象限， 与所有点的距离的最小值为2， 延x轴正方向平移个单位长度得到点， ， 故答案为：； ②若时，经过一，二，四象限，点关于线段的“关联点”如下图： 【小问2详解】 如图，，即为所求； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$