专题14全等三角形（三大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题15 全等三角形 考点01 全等三角形的性质 1．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．    2．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 4．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．    5．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 6．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ． 7．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 考点02 全等三角形的判定 8．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况） 9．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 10．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．    (1)直接判断的形状：是_________三角形； (2)求证：； (3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 11．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 12．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 13．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)求的大小． 14．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F． (1)求证：△CEF≌△ADF； (2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）． 16．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 17．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 18．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．    (1)求证：DF=CF； (2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 考点03 全等三角形的应用 19．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使； (3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； (4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 22．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 23．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．    【特例证明】 （1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，. ①填空：______； ②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．） 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值． 24．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 25．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 26．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 27．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(    )    A． B．7 C．8 D． 28．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 29．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．    30．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 31．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 32．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．    33．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 34．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形 C．当时， D．当时，或6s 35．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题15 全等三角形 考点01 全等三角形的性质 1．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．    【答案】 【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点． ∵，为的中点， ∴，，． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，则于点，    设，由折叠可知则， ∵， ∴，， 又由折叠得，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 由折叠知，， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在 中，， ∴， 解得：， ∴，，即，， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解． 2．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可； （2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则． 【详解】（1）解：    （2）解：连接， 菱形， ，， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键． 4．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．    【答案】5 【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，    在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 6．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点． 平分，，， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 7．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°， ∵CE=BD=2，AB=AC=6， ∴AE=4， ∴， ∴BF=4， ∴， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， 又∵∠BDP=∠ADB， ∴△BDP∽△ADB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABP的周长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 考点02 全等三角形的判定 8．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键． 9．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 10．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．    (1)直接判断的形状：是_________三角形； (2)求证：； (3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)详见解析 (3)①；②；③ 【分析】（1）由得到，又由，即可得到结论； （2）由，得到，又有，，利用即可证明； （3）①求出直线的解析式和抛物线的解析式，联立得，由即可得到t的值； ②抛物线向左平移2个单位得到抛物线，则抛物线的顶点，将顶点代入得到，解得,根据即可得到t的值； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，先证明，则，设,由得到,则,求得,得到，由抛物线再向下平移个单位，得到抛物线,把代入抛物线,得到,解得,由，得,即可得到点D的坐标． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形 （2）如图，    ∵，， ， ， ∵， ； （3）①设直线的解析式为， ， ∴， ， 将代入抛物线得， ， 解得， ， 直线与抛物线有唯一交点 ∴联立解析式组成方程组解得 ②∵抛物线向左平移2个单位得到， ∴抛物线， 抛物线的顶点， 将顶点代入， ，解得, ∵， ； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N,    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的解析式为， ∴设, ∴， 轴, ∴, ∴， , , , ∴，， , 抛物线再向下平移个单位，得到抛物线， ∴抛物线, 代入抛物线, , 解得, 由，得, ∴， ． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键． 11．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】（1）延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴．      故答案为：． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ．    （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ．    【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 12．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：．    （2）解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 13．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接利用证明全等即可； （2）根据全等的性质，得出，再由，从而求出． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ≌； （2）解：由（1）知≌， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判定． 14．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可； （2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在与中， ， ∴≌（SAS）； （2）解：由（1）得， 又∵和都是等腰直角三角形， ∴且， 在中∵且 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 15．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F． (1)求证：△CEF≌△ADF； (2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)tan∠DAF＝ 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可； （2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD， 根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°， ∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE， 在△CEF与△ADF中， ， ∴△CEF≌△ADF（AAS）； （2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝x， ∴∠DCA＝∠BAC， 根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠EAC， ∴AF＝CF＝8﹣a， 在Rt△ADF中， ∵AD2+DF2＝AF2， ∴x2+a2＝（8﹣a）2， ∴a＝， ∴tan∠DAF＝＝． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键． 16．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 17．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 18．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．    (1)求证：DF=CF； (2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明DF=CF=OC=OD； （2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在△DCF和△DCO中， ， ∴△DCF≌△DCO（ASA）， ∴DF=DO，CF=CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴DF=CF=OC=OD； （2）解：∵△DCF≌△DCO， ∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6， 又∵OD=OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD=OD=6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 考点03 全等三角形的应用 19．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 21．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使； (3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； (4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． （1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可； （2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可； （3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可； （4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可． 【详解】（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作； （2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作； （3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作； （4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作． 22．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以； （3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ， ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵为中点， ∴设， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．    【特例证明】 （1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，. ①填空：______； ②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．） 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值． 【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3 【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案； ②根据正方形的性质可得，，，利用证明即可； （2）过点作交于，利用平行线的性质及正方形的性质易证得，，可证明，利用相似三角形性质即可得出答案； （3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：， ∵将的直角顶点与点重合， ∴， 故答案为：1； ②证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． （2），理由如下： 过点作交于，    ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴． （3）过点作交于，作于，作于，    则， ∴， 即， ∴， 由（2）和已知条件可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则，，， ∴， ∴． 【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键． 24．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论； （2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 25．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，   矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 27．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(    )    A． B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】解：作于点M，    在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 28．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图可知：垂直平分，得到，于是得到点O为的对称中心，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴点O为的对称中心，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∴，故A正确； ∴四边形是菱形， ∴，故C正确； 与不一定相等，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 29．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．    【答案】1 【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】如图所示，    由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由尺规作图痕迹可得，是的平分线， ∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度， ∴点到的距离为1． 故答案为：1 ． 【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键． 30．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)矩形，理由见详解 【分析】（1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，连接，点是上的一点，    ∵四边形是矩形， ∴，，即， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，是的角平分线， 由（1）可知，， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，则，， 如图所示，连接，，过点作于点，      ∵点是的中点，， ∴点是线段的中点，则， ∴在中， ， ∴， ∴，， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． 31．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①等腰直角三角形，见解析；②； 【分析】（1）根据新定义，画出等联角； （2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解； ②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一） （2）①是等腰直角三角形．理由为： 如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，， 四边形为正方形 又， ，而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则． ， ， 由是等腰直角三角形知：， ， ，，而， ， 在中，，， ， ， ， 由，， ∴四边形为正方形，， 由，得：， ∴， ，而， 即，解得：， 由①知：，， ． 【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键． 32．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．    【答案】 【分析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案． 【详解】解：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，    ∵点C的坐标为， ∴，， 在中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键． 33．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据作法可知MN垂直平分AC，根据中垂线的定义和性质找到相等的边，进而可算出三角形ABC的周长． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴DA=DC，AE=CE=2cm， ∵△ABD的周长为11cm， ∴AB+BD+AD=11， ∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查线段的中垂线的定义以及性质，三角形的周长，能够熟练运用线段中垂线的性质是解决本题的关键． 34．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形 C．当时， D．当时，或6s 【答案】D 【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D． 【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°， A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意； B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意； 作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴BC=AE=8 cm， ∴DE=2 cm， 当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E， ∴四边形CEFM是矩形， ∴FM=CE； ∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL）， ∴PF=DE=2，EF=CM=8-t， ∴AP=10-4-(8-t)=10-t， 解得t=6 s； 当PM=CD，且PM∥CD时， ∴四边形CDPM是平行四边形， ∴DP=CM， ∴t=8-t， 解得t=4 s； 综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值． 35．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF．故④正确； 故选B 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$