专题11二次函数【好题汇编】-三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题11 二次函数 考点01 二次函数的图像和性质 1．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 2．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的对称轴为，且过，结合抛物线的对称轴即可求解． 【详解】解： ∵二次函数的对称轴为，且图像经过， ∴，即， ∴点在抛物线上， ∴，故结论①正确； 由结论①正确可得，，且，则 ∴，则，故结论②正确； ∵当，时， ∴点离对称轴更近， 当时，；当时，；故结论③错误； 由得，， ∵结论①正确可得，，结论②正确可得，， ∴，， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确； 综上所述，正确的有，个， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，二次函数图像上点的特征，由对称轴确定系数的关系，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；  ②；③；  ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知； 【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，， 对称轴，，，故①错误； 故②错误； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得，故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根， ∴ ∴，故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键． 4．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：二次函数开口向下，则， 二次函数对称轴为，则，，， ∴，故①正确； ∵过点， ∴由对称性可得二次函数与轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ，故②正确； 时， ， 代入得：，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，， ∴当时， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下 ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④． 故选： D． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 5．（2023·湖北·中考真题）拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二次函数整理得，推出，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x轴的交点个数可判断②正确；由，代入可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误． 【详解】解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴相交于点． ∴有两个不相等的实数根， ∴，故②正确； ③∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线与x轴相交于点． ∴抛物线的对称轴为：， 当点在抛物线上，且， ∴或， 解得：，故④错误， 综上，②③正确，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 6．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 7．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 8．（2023·湖北随州·中考真题）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③方程的两个根为； ④抛物线上有两点和，若且，则．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：，由抛物线的对称轴可知：，∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， 则另一个交点， ∴时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点和， ∴的两根为6和， ∴，，则，， 如果方程的两个根为成立， 则， 而，∴， ∴方程的两个根为不成立，故③不正确； ∵，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧， ∵， 即到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故④不正确． 综上，正确的有①②， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 9．（2022·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数），即，所以②正确； ∵图象经过点时，代入解析式可得， 方程可化为，消a可得方程的两根为，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， ，代入可得， 所以③正确． 综上所述，正确的个数是3． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 10．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y=图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 11．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若＞﹣4，则＞c．其中正确结论的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④． 【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0， ∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2， ∴函数的最大值为4a﹣2b+c， ∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误； ∵对称轴为x＝﹣2，c＞0． ∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0， ∴16a+c＞4b，故③正确； ∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c）， ∵抛物线开口向下， ∴若-4<<0，则＞c．若≥0，则≤c，故④错误； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质． 12．（2022·湖北荆门·中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(   ) A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝ 【答案】D 【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0）， ∴Δ=1﹣4a=0， ∴a=； ②函数为一次函数， ∴a=0， ∴a的值为或0； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键． 13．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定． 【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2， ∴|x1|＜|x2|， ∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0< -x1<x2或0<x1< -x2, 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键． 14．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 考点02 二次函数与实际问题 15．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 16．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 17．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．    【答案】① 【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断． 【详解】解：由的顶点为， 得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确； 由当时，，即②不正确； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键． 18．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 19．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确． 【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得， 即， ∵，， ∴，故①错误； ②∵，，， ∴， ∴方程的两个根的积大于0，即， ∵， ∴， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的右侧， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴当时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∵，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ∴，故③正确； ④方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ∴， ∵把代入得，即， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∵在抛物线上， ∴，n为方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下． 20．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值； (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，；． 【分析】（）用待定系数法求出，的值即可； （）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值； 当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论． 【详解】（1）把时，；时，代入得： ，解得：，； （2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，， ∴， ， ， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ∴， ∴， 则与的函数图象如图所示：      由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元， ∴当，时，， 当，时，， ∴的取值范围． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． 21．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．    （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于 【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可； 问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解； （2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解. 【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设，， 由题意得：，， 解得：， ∴． 问题解决（1）  解：依题总，得． 解得，（舍），， 当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度． ， ， ， 在中， 当时，； 当时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型． 22．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．    (1)当___________时，元/； (2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ (3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 【答案】(1) (2)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； (3)当a为时，2025年的总种植成本为元． 【分析】（1）求出当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可； （2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案； （3）根据2025年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴当时，，解得， 即当时，元/； 故答案为：； （2）解：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，， ∵， ∴随着x的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为， 综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； （3）由题意可得， 解得（不合题意，舍去）， ∴当a为时，2025年的总种植成本为元． 【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． 23．（2023·湖北十堰·中考真题）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒． (1)当时，__________； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 【答案】(1) (2)当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元． (3)他们的说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，列式计算即可； （2）根据销售量乘以每盒的利润得到，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）设日销售额为元，则，根据二次函数的性质即可判断当日销售利润最大时，日销售额不是最大，即可判断小强的说法；当时，由，解得，由抛物线开口向下，得到当时，，即可判断小红的说法． 【详解】（1）解：当时，（盒）， 故答案为： （2）由题意得， ， 又∵，即， 解得， ∵， ∴当时，W最大，最大值为， ∴当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元． （3）他们的说法正确，理由如下： 设日销售额为元，则 ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴当时，最大，此时为， 即小强的说法正确； 当时，，解得， ∵抛物线开口向下， ∴当时，∵， ∴当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为． 故小红的说法错误． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是基础，熟练掌握二次函数的性质和正确计算是解题的关键． 24．（2022·湖北襄阳·中考真题）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．    【答案】8 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当x=8时， y有最大值，最大值为4， ∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值． 故答案为：8． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键． 25．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ． 【答案】＜t＜1/0.6<t<1 【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围． 【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2， 由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝， ∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）， ∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3， ∴2＜x3＜， ∴t＝＝， ∴＜t＜1． 故填：＜t＜1 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 考点03 二次函数与几何问题 26．（2024·湖北·中考真题）如图1，二次函数交轴于和，交轴于． (1)求的值． (2)为函数图象上一点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为． ①求与的函数解析式． ②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②的取值范围为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，作轴于点，设，分当点在轴上方和点在轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可； （3）①利用平移的性质得图象的解析式为，得到图象与轴交于点的坐标，据此列式计算即可求解； ②先求得或，中含，，三个整数点（不含边界），再分三种情况讨论，分别列不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数交轴于， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或， 令，则， ∴，，， 作轴于点， 设， 当点在轴上方时，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； 当点在轴下方时，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； ∴或； （3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移， ∴纵坐标不变是4， ∴图象的解析式为， ∴， ∴， 由题意知：C、D不重合，则， ∴； ②由①得， 则函数图象如图， ∵随增加而增加， ∴或，中含，，三个整数点（不含边界）， 当内恰有2个整数点，时， 当时，，当时，， ∴， ∴，或， ∴； ∵或， ∴； 当内恰有2个整数点，时， 当时，，当时，， ∴， ∴或，， ∴； ∵或， ∴； 当内恰有2个整数点，时， 此情况不存在，舍去， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的关键． 27．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别令，解方程，即可求解； （2）分别求得直线，根据得出的解析式，设，进而求得点的坐标，进而根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求解． （3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，先求得点的坐标，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，设，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，进而求得，代入，化简后得出，即，进而即可求解． 【详解】（1）解：由， 当时，，则 当， 解得： ∵在的右边 ∴，， （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵ 设直线的解析式为 ∵在第三象限的抛物线上 设， ∴ ∴ ∴ 设的中点为，则 由，，设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∵平分线段， ∴在直线上， ∴ 解得：（舍去） 当时， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵点与原点关于点对称， ∴, 设直线的解析式为，直线的解析式为 联立直线与抛物线解析式可得，， 即 联立直线与抛物线解析式可得， 即 设，， ∴，，， ∴ ， ∵ ∴， 将代入得： ∴， ∴， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（2023·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．    (1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为． ①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； ②时，的最小值为2，求的值； ③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值． (2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值 (2)的取值范围为或 【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案； ②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可； ③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案． 【详解】（1）∵抛物线经过原点， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ①抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； ②当，即时，随增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为， 当时，则若时，的最小值为，不符合题意， 当时，随增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， ∴的值为1， 综上所述，的值为或1； ③由题意得：当时，则， ∵经过点， ∴，可得， ∴， 由，可得，， 设点，且， ∵轴， ∴， 可得：，则， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值； （2）∵， ∴， ∵直线：经过点、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， 联立方程得：， 解得：，， 当时，， ∴， 当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图， 则，，    ∵， ∴， 即， ∴， 化简得：， 令， 解得：（舍去），， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图， 则，，    ∵， ∴， 即， ∴， 化简得：， 令， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键． 29．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解； （3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即，则， 故抛物线的表达式为：①； （2）解：在中，， ， 则， 故设直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； （3）解：作，   设， ， 且相似比为， 则， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即， 解得：， 则， 则， 过点作轴于点， 则， 即点的纵坐标为：， 同理可得，点的横坐标为：， 即点， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 30．（2023·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．    (1)如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标； (3)若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值． 【答案】(1)； (2)；或,； (3)，或， 【分析】 （1）根据，抛物线的对称轴为，待定系数法求解析式即可求解；当时，求得的范围，进而结合函数图象即可求解； （2）①连接，，交对称轴于点D，由四点共圆，得，证明，求出点D的坐标，确定直线的解析式，进而求得点的坐标，设，，勾股定理即可求解；②由①可得，则当与重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． （3）根据抛物线经过点，，，可得抛物线对称为直线，则，则，进而令，求得的范围，进而根据函数图象可知或，进而分别讨论求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，即 解得：， ∴当时， （2）解：①如图所示，连接，，交对称轴于点D，    ∵， ∴， 则 ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为 则 解得： 所以直线的解析式为 联立 解得：或 ∴， ∵，设， ∵ ∴ 解得： ∴； ②由①可得，当与点重合时，为等边三角形 则与对称，此时，， 综上所述；；或，； （3）解：∵抛物线经过点，，， ∴抛物线对称为直线， 则，则 ∴抛物线解析式为 ∴顶点坐标为 当时， 解得：或 ∵，且为正整数，过点，则当时， ∴或， 当时，将点代入解析式， 解得： ∵ 则， 当时，将点代入解析式 解得： ∵ 则， 综上所述，，或，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 31．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．    【基础训练】 (1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 (2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 (3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： (4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得； （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； （2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； ∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为， 将代入解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线和抛物线的交点， 令，解得：，（舍去）， 故点的坐标为， ∴， ∵点是直线和直线m的交点， 令，解得：， 故点的坐标为， ∴， ． 即的最小值为． （4）解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：    ∵点的坐标为，准线， ∴点的横坐标为，代入解得， 即，， 则的面积为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 32．（2023·湖北·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．    (1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果） (2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数； (3)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线直线的解析式为：，直线的解析式为：．联立两直线解析式，得出点的坐标为．方法1：由题意可得：．过点E作轴于点F．计算得出，又，可得，根据相似三角形的性质得出；方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点．等面积法求得，解即可求解．方法3：如图2，过点作于点．根据，得出，进而得出； （3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值3． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵点，点， 设直线的解析式为：． ∴， ∴， 直线的解析式为：． 同上，由点，可得直线的解析式为：． 令，得． ∴点的坐标为． 方法1：由题意可得：． ∴． 如图1，过点E作轴于点F． ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， 即．    方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴． ∴ ∴，即．    方法3：如图2，过点作于点． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． （3）设点的坐标为，点的坐标为． ∵直线与不重合， ∴且且． 如图3，由点，点，    可得到直线的解析式为：． ∵， ∴可设直线的解析式为：． 将代入， 得． ∴． ∴点的坐标可以表示为． 设直线的解析式为：， 由点，点，得 ， 解得． ∴直线的解析式为：． 同上，由点，点， 可得到直线的解析式为：． ∴． ∴． ∴． ∴点的横坐标为定值3． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 33．（2023·湖北荆州·中考真题）已知：关于的函数．    (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)0或2或 (2)①6，②存在， 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值． （2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积． ②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值． 【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点， ， ， ， 当函数为一次函数时，， ． 当函数为二次函数时， ， 若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时， ， ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点， ， ， ． 综上所述，或0． 故答案为：0或2或． （2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．    依题意得：，解得： 抛物线的解析式为：． 点为抛物线顶点时，，， ，， 由，得直线的解析式为， 在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标， ， ，， ， ． 故答案为：6． ②存在最大值，理由如下： 如图，设直线交轴于． 由①得：，，，，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题． 34．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．    (1)直接判断的形状：是_________三角形； (2)求证：； (3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)详见解析 (3)①；②；③ 【分析】（1）由得到，又由，即可得到结论； （2）由，得到，又有，，利用即可证明； （3）①求出直线的解析式和抛物线的解析式，联立得，由即可得到t的值； ②抛物线向左平移2个单位得到抛物线，则抛物线的顶点，将顶点代入得到，解得,根据即可得到t的值； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，先证明，则，设,由得到,则,求得,得到，由抛物线再向下平移个单位，得到抛物线,把代入抛物线,得到,解得,由，得,即可得到点D的坐标． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形 （2）如图，    ∵，， ， ， ∵， ； （3）①设直线的解析式为， ， ∴， ， 将代入抛物线得， ， 解得， ， 直线与抛物线有唯一交点 ∴联立解析式组成方程组解得 ②∵抛物线向左平移2个单位得到， ∴抛物线， 抛物线的顶点， 将顶点代入， ，解得, ∵， ； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N,    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的解析式为， ∴设, ∴， 轴, ∴, ∴， , , , ∴，， , 抛物线再向下平移个单位，得到抛物线， ∴抛物线, 代入抛物线, , 解得, 由，得, ∴， ． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键． 35．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或 (3)点在定直线上 【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案； （2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案； （3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案． 【详解】（1）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． （2）解：是直线与抛物线的交点， ， ①如图，若时， ， ∴ ， ∴， 解得，（舍去）或． ②如图，若时．过作轴于点． ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∴，， ， ∴， 解得，（舍去）或．    综上，符合题意的的值为2或． （3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点， ∴， ∵直线的解析式为， ∴联立直线与解析式得：， 解得：（舍去），， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 设，直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴ 同理，直线的解析式为；直线的解析式为． 联立，得， 解得：． ∵直线与相交于点， ． 设点在直线上，则，① 整理得，， 比较系数得：， 解得：， ∴当时，无论为何值时，等式①恒成立． ∴点在定直线上． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键． 36．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线：；直线： (2)或或 (3)，或，或， 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式． （2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解； （3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 抛物线的表达式为， 将点代入上式，得， ． 抛物线的表达式为，即． 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得． 直线的表达式为． （2）解：点在直线上，且， 点的坐标为． ，，． 当为等腰三角形时， ①若，则， 即， 解得． ②若，则， 即， 解得或（舍去）． ③若，则， 即， 解得（舍去）或． 综上，或或． （3）解：点与点相对应， 或． ①若点在点左侧， 则，，． 当，即时， 直线的表达式为， ，解得或（舍去）． ，即． ，即， 解得． ，． 当，即时， ，， ，即， 解得（舍去）或（舍去）． ②若点在点右侧， 则，． 当，即时， 直线的表达式为， ，解得或（舍去）， ， ，即， 解得． ，． 当，即时， ，． ，即， 解得或（舍去）． ，． 综上，，或，或，． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 37．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________； (2)连接，交线段于点D， ①当与x轴平行时，求的值； ②当与x轴不平行时，求的最大值； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1);; (2)①；② (3)存在点P， 【分析】(1)令x=0，则y=4，令y=0，则=0，所以x=-2或x=3，由此可得结论； (2)①由题意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行线分线段成比例可知，． ②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y=-x+4．设点P的横坐标为m，则P(m，-)，Q(，-)．所以PQ=m-()=-，因为PQ∥AB，所以=，由二次函数的性质可得结论； (3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．过点C作CFx轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M(8，0)，所以直线CM的解析式为：y=-x+4，令=-x+4，可得结论． 【详解】（1）解：令x=0，则y=4， ∴C(0，4)； 令y=0，则=0， ∴x=-2或x=3， ∴A(-2，0)，B(3，0)． 故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)． （2）解：①∵轴，， ∴，， 又∵轴， ∴△CPD∽△BAD ∴； ②过P作交于点Q， 设直线BC的解析式为， 把B(3，0)，C(0，4)代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴△QPD∽△BAD ∴， ∴当时，取最大值； （3）解：假设存在点P使得，即， 过C作轴，连接CP，延长交x轴于点M， ∴∠FCP=∠BMC， ∵， ∴平分， ∴∠BCP=∠FCP， ∴∠BCP=∠BMC， ∴BC=BM， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，，， 设直线CM解析式为y=kx+b， 把C(0，4)，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或(舍)， ∴存在点P满足题意，即． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标． 38．（2022·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． (1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； (2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． 【答案】(1)①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）； ②△PAB的面积的最大值是3，点P（1，1）； (2)①或； ②13 【分析】对于（1），先求出点A，B的坐标，再将抛物线关系式配方表示出点D的坐标，令 x=0，表示出点C的坐标，然后将m的值代入即可得出①的答案；对于②，先求出直线和抛物线的解析式，再作轴，设点P的横坐标为t，即可表示出点P，E的坐标，然后表示出PE，进而根据三角形的面积公式表示△PAB的面积，再配方讨论极值即可； 对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可． 【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴A（2，0），B（0，-2m）． ∵， ∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）． 令x=0，则， ∴． ①当m=2时，-2m=-4，则， ∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）； ②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线AB于点E． 设点P的横坐标为t， ∴，， ∴， ∴△PAB的面积=， ∵-1＜0， ∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）； （2）由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2）， ①∵y轴上有一点，点C在线段MB上， ∴需分两种情况讨论： 当时，解得：， 当时，解得：， ∴m的取值范围是或； ②当时， ∵， ∴当m=1时，BC的最大值为3； 当时， ∴， 当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13， ∴BC的最大值是13． 【点睛】这是一道关于一次函数和二次函数的综合问题，考查了求函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与三角形的综合，根据二次函数关系式求极值等． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题11 二次函数 考点01 二次函数的图像和性质 1．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；  ②；③；  ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5．（2023·湖北·中考真题）拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 7．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·湖北随州·中考真题）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③方程的两个根为； ④抛物线上有两点和，若且，则．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2022·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若＞﹣4，则＞c．其中正确结论的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2022·湖北荆门·中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(   ) A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝ 13．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 14．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 考点02 二次函数与实际问题 15．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 16．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 17．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．    18．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    19．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是 （填写序号）． 20．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值； (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 21．（2023·湖北武汉·中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．    （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 22．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．    (1)当___________时，元/； (2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ (3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 23．（2023·湖北十堰·中考真题）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒． (1)当时，__________； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 24．（2022·湖北襄阳·中考真题）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．    25．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ． 考点03 二次函数与几何问题 26．（2024·湖北·中考真题）如图1，二次函数交轴于和，交轴于． (1)求的值． (2)为函数图象上一点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为． ①求与的函数解析式． ②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围． 27．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 28．（2023·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．    (1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为． ①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； ②时，的最小值为2，求的值； ③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值． (2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围． 29．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 30．（2023·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．    (1)如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标； (3)若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值． 31．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．    【基础训练】 (1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 (2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 (3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： (4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 32．（2023·湖北·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．    (1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果） (2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数； (3)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 33．（2023·湖北荆州·中考真题）已知：关于的函数．    (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 34．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．    (1)直接判断的形状：是_________三角形； (2)求证：； (3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 35．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 36．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________； (2)连接，交线段于点D， ①当与x轴平行时，求的值； ②当与x轴不平行时，求的最大值； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 38．（2022·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． (1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； (2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 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