精品解析：甘肃省靖远县第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023—2024年度高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试题 （120分钟 150分） 考试范围：必修一、二册20%，选择性必修一、二册80%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 2. 已知空间向量,若,则（ ） A. 6 B. C. 36 D. 5 3. 有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据： 重金属含量高 重金属含量低 设备甲 6 9 设备乙 1 14 根据以上数据，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校有1500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于125分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为（ ） A. 450 B. 400 C. 600 D. 550 6. 已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若所有样本点都在线性回归方程上，则变量间的相关系数为1 B. 在两个变量x与y的列联表中，当越大，两个变量有关的可能性越大 C. 两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D. 若变量y关于变量x的线性回归方程为，则对所有的，预测值一定与实际观测值有误差 10. 下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，当时，下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则实数a的取值范围是____________． 13. 二项式的展开式中，x的系数为_________. 14. 已知随机变量X的分布列如下表，则____________． X 0 2 4 P 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）求． 16. 如图所示，已知E，F分别是正方体的棱上的两点． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的大小． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 18. 手机碎屏险，即是手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机越来越普及，应运而生的保险．用户购买手机碎屏险后，在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为，x元时愿意购买该手机碎屏险的用户比例）． x 10 20 30 40 50 y 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 参考数据：． （1）根据上面的数据求出y关于x的回归方程； （2）若要使得购买该手机碎屏险的用户比例不低于51%，则保费x至多定价为多少元？ 19. 已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． （1）求点的轨迹方程E; （2）设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024年度高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试题 （120分钟 150分） 考试范围：必修一、二册20%，选择性必修一、二册80%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】三点共线即，由向量平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为三点共线,所以， 由题意得， ，解得. 故选：. 2. 已知空间向量,若,则（ ） A. 6 B. C. 36 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据向量平行求，再代入模的公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A 3. 有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据： 重金属含量高 重金属含量低 设备甲 6 9 设备乙 1 14 根据以上数据，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先完成列联表，然后根据公式求解即可. 【详解】由题意得到如下2×2列联表： 重金属含量高 重金属含量低 合计 设备甲 6 9 15 设备乙 1 14 15 合计 7 23 30 所以. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接用二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以． 故选：C. 5. 某校有1500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于125分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为（ ） A. 450 B. 400 C. 600 D. 550 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求出相应的概率，然后可估计人数. 【详解】因为，， 所以, 则此次数学考试成绩在95分到110分之间的人数约为. 故选：A. 6. 已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 7. 在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 8. 设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解. 【详解】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若所有样本点都在线性回归方程上，则变量间的相关系数为1 B. 在两个变量x与y的列联表中，当越大，两个变量有关的可能性越大 C. 两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D. 若变量y关于变量x的线性回归方程为，则对所有的，预测值一定与实际观测值有误差 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，可以是负相关；对于B，根据卡方的含义即可判断；对于C，根据相关系数的含义即可判断；对于D，实际值可以和预测值有偏差. 【详解】对于A，相关系数，故A错误； 对于B，根据独立性检验的公式可知，当越大，两个变量有关的可能性越大，故B正确； 对于C，根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的相关性就越强，所以C正确； 对于D，可以存在，其对应的预测值与实际值没有误差，故D错误. 故选：BC 10. 下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论直线的斜率，结合方程联立，以及直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】当直线的斜率存在且时,设， 与抛物线方程联立得，令，解得， 则直线的方程为； 当时,直线的方程为，此时直线平行于抛物线的对称轴,且与抛物线只有一个公共点； 当不存在时,直线与抛物线也只有一个公共点，此时直线的方程为. 故选：ABD 11. 已知函数，当时，下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】作差比较大小，可得，利用导数研究函数单调性，可得，判断选项即可. 【详解】函数，当时，， 所以，A选项正确B选项错误. 当时， ，在上单调递增. 此时，得，所以，C选项正确D选项错误；. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论，解出不等式即可． 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 综上所得， a的取值范围是. 故答案为：． 13. 二项式的展开式中，x的系数为_________. 【答案】20 【解析】 【分析】先求出展开式通项公式，再由通项公式中的系数为1即可求出的系数为1的项，进而得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为: ， 由得， 则展开式中的系数为. 故答案为：20. 14. 已知随机变量X的分布列如下表，则____________． X 0 2 4 P 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出期望，再计算出方差. 【详解】因为， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数间的关系求出，再利用两角和的正弦公式可求出； （2）利用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 =×+×=. 【小问2详解】 在中,由正弦定理可得=， 所以，解得. 16. 如图所示，已知E，F分别是正方体的棱上的两点． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 连接， 平面即是平面，要证平面，即证平面， 因为为正方体，所以，平面， 因为平面，所以 因为，平面， 所以平面，即平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用空间向量的方法求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，,，， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 因为，所以. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上的最小值为2，求负实数a的值． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，分类讨论、时对应的单调性即可； （2）由（1）可知的单调性，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， . 当时，，则在上单调递增； 当时，由得；由得， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 解得. 18. 手机碎屏险，即是手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机越来越普及，应运而生的保险．用户购买手机碎屏险后，在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为，x元时愿意购买该手机碎屏险的用户比例）． x 10 20 30 40 50 y 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 参考数据：． （1）根据上面的数据求出y关于x的回归方程； （2）若要使得购买该手机碎屏险的用户比例不低于51%，则保费x至多定价为多少元？ 【答案】（1） （2）25元 【解析】 【分析】（1）计算出，代入公式计算出，得到y关于x的回归方程； （2）在（1）计算上，得到不等式，求出，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，， ， 又 所以， 所以y关于x的回归直线方程为. 【小问2详解】 由，解得，因此保费x至多定价为25元.. 19. 已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． （1）求点的轨迹方程E; （2）设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） 设， 则，得. 当直线的斜率不存在时，，则， 此时直线的方程为； 当直线的斜率存在时，， 直线， 当时，. 综上，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合两点距离公式计算化简即可求解； （2）设，由平面向量数量积的坐标表示求得，易知直线的斜率不存在时其方程为；若存在，利用直线的点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 设动圆圆心为D，由题意知，且， 即，化简整理得， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $