专题拓展：指数型与对数型复合函数（技巧解密+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：指数型与对数型复合函数 一、复合函数的概念 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，函数为与在上的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数． 二、复合函数的单调性 1、复合函数单调性的规律：“同增异减” 若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数． 2、具体判断步骤 （1）求出原函数的定义域； （2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论． 三、复合函数的值域求解 1、指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 2、对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 考点一：判断复合函数的单调性 例1．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数，则函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 . 【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 考点二：根据复合函数的单调性求参数 例2.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【变式2-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三：求复合函数的最值或值域 例3.（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 . 【变式3-2】（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 【变式3-3】（22-23高一上·山东·月考）已知对数函数，并且它的图象过点. (1)求的解析式； (2)若，，求的值域. 考点四：根据复合函数的最值/值域求参 例4.（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【变式4-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【变式4-3】（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 考点五：复合函数的奇偶性及应用 例5.（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【变式5-1】（23-24高一上·辽宁·月考）设且，若函数是上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数（a为常数）的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．都不是 【变式5-3】（23-24高三上·福建莆田·月考）若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 考点六：与复合函数有关的不等式 例6.（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【变式6-1】（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 是定义域为的奇函数. (1)求并判断 的单调性； (2)解关于 的不等式. 【变式6-2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于x的不等式. 【变式6-3】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，. (1)求； (2)已知，且，若，求的取值范围. 一、单选题 1．（22-23高一上·河北石家庄·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南娄底·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东佛山·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·广东·一模）已知函数是奇函数，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的定义域为 B．函数有最小值 C．当时，函数的值域为R D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 8．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．不等式的解集为 D．若在上单调递减，则实数的取值范围为 三、填空题 9．（21-22高一上·山西忻州·期末）函数的值域为R，则a的取值范围为 10．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 . 11．（21-22高一上·山东枣庄·期中）设，且，函数在上的最大值为，则实数的值为 . 四、解答题 12．（23-24高一上·甘肃威武·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 (3)若的值域是，求的值 13．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，其中且． (1)求的值和函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：指数型与对数型复合函数 一、复合函数的概念 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，函数为与在上的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数． 二、复合函数的单调性 1、复合函数单调性的规律：“同增异减” 若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数． 2、具体判断步骤 （1）求出原函数的定义域； （2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论． 三、复合函数的值域求解 1、指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 2、对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 考点一：判断复合函数的单调性 例1．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数，则函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增.故选：D 【变式1-1】（22-23高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】设，则， 对称轴为，当，即，即，即时， 为减函数，函数为增函数， 则为减函数，即函数单调减区间为； 当，即，即，即时，为减函数， 函数为减函数，则为增函数， 即函数单调增区间为. 故答案为： 【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在定义域上单调递减， 故函数的减区间即为函数的增区间， 所以，解得， 即函数的减区间是.故选：D. 【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式，即，解得或， 又由函数在单调递减，在单调递增， 因为在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数单调性的判定方法， 可得函数的单调递增区间为.故选：D. 考点二：根据复合函数的单调性求参数 例2.（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，函数在上单调递增， 函数在单调递增，故在上单调递增，故. 故答案为：. 【变式2-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知函数由复合而成， 在上为增函数，由复合函数的同增异减性， 可知需为R上的增函数， 故，∴，∴或，故选：D. 【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 因为为增函数，函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得，故选：C 【变式2-3】（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得．故选：D 考点三：求复合函数的最值或值域 例3.（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 . 【答案】 【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 【答案】 【解析】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 【变式3-3】（22-23高一上·山东·月考）已知对数函数，并且它的图象过点. (1)求的解析式； (2)若，，求的值域. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设（，且） 的图像过点，，即， ，即，； （2） 令，， 函数转化为函数， 该函数图象开口朝上，对称轴为， 当时，有最小值，， 当时，有最大值，， 的值域为 考点四：根据复合函数的最值/值域求参 例4.（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【解析】因为函数的值域为， 所以函数的值域为， 所以，解得， 因为的值域为,， 所以的最小值为9， 所以，解得，所以．故选：A． 【变式4-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是.故选：D. 【变式4-2】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【解析】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增， 所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时， 所以，解得． 故答案为： 【变式4-3】（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 考点五：复合函数的奇偶性及应用 例5.（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由函数，可得， 因为是奇函数，所以， 即，解得.故选：A. 【变式5-1】（23-24高一上·辽宁·月考）设且，若函数是上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是上的奇函数， 故，即， 故，即， 因为，故，故选：A 【变式5-2】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数（a为常数）的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．都不是 【答案】A 【解析】根据题意，设，其定义域为， 所以函数f（x）为奇函数，故选：A． 【变式5-3】（23-24高三上·福建莆田·月考）若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为为偶函数， ， 则有，解得， 经验证时，符合条件，故选：B. 考点六：与复合函数有关的不等式 例6.（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，所以， 所以， 所以. （2）由（1）及对数复合函数单调性知：， 整理得，所以， 所以不等式的解集为. 【变式6-1】（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数 是定义域为的奇函数. (1)求并判断 的单调性； (2)解关于 的不等式. 【答案】(1)，在上单调递减；(2)． 【解析】（1）由题意，， 此时，，是奇函数， 设任意两个实数满足， 则， 因为，所以，所以，又， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）因为是奇函数，因此原不等式化为， 又在上单调递减，所以不等式化为，即， 所以，又，故解得， 所以原不等式的解集为． 【变式6-2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3) 【解析】（1）因为是奇函数，且定义域为R，则，解得； 所以，检验：当时，， 所以函数是奇函数，所以； （2）在R上单调递增， 证明：，且， 都有， 因为，所以，所以，， 所以，即，所以在R上单调递增； （3）， 因为是奇函数，所以， 因为在R上单调递增，所以，解得， 所以，即不等式的解集为. 【变式6-3】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，. (1)求； (2)已知，且，若，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）令得，， 令，得，， 令，得，； （2）任意，设，则， 时，，， ，是上的减函数， 中，令得， 故为奇函数， ，且， 又，， ，即，则， 当时，，则，即，故； 当时，，则，即，则； 综上，的取值范围为 一、单选题 1．（22-23高一上·河北石家庄·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二次函数开口向下，当时，最大值为， 函数是单调递减函数，所以的值域为.故选：B. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 设，则， 故函数的值域为.故选：C 3．（23-24高一上·湖南娄底·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 令，解得， 即函数的单调递增区间是.故选：D. 4．（23-24高一上·广东佛山·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则t在上递减，在上递增， 又在R上递增，所以的单调递减区间为，故选：B 5．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 因为在上是减函数，由复合函数的单调性知， 函数与的单调性相反； 又因为单调递减，所以需在上单调递增. 函数的对称轴为，所以只需要，故选:A. 6．（23-24高三下·广东·一模）已知函数是奇函数，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，故函数的定义域为． 因为是奇函数，则其定义域关于原点对称， 可得，即， 此时，可得， 可得是奇函数，即符合题意； 故， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为，故选：C． 二、多选题 7．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的定义域为 B．函数有最小值 C．当时，函数的值域为R D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】对于A，当时，，令，解得或， 则的定义域为，故A正确； 对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确； 对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增， 且当时，，则，解得， 所以实数a的取值范围是，故D错误.故选：AC 8．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．不等式的解集为 D．若在上单调递减，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】函数在上单调递增，在上的值域为，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，，A正确，B错误； 不等式，解得，C正确； 依题意，函数，显然在上单调递减， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 因此，即，解得，即实数的取值范围为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．（21-22高一上·山西忻州·期末）函数的值域为R，则a的取值范围为 【答案】 【解析】令， 因为函数的值域为R， 所以为函数值域的子集， 则，所以a的取值范围为. 故答案为： 10．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 . 【答案】 【解析】令，则， 因为，则，且的对称轴为， 可知，所以的值域是. 故答案为：. 11．（21-22高一上·山东枣庄·期中）设，且，函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】令且，则， 且，， 函数是上的增函数； 当，时，，， 即，解得：或（舍）； 当，时，，， 即，解得：或（舍）； 综上所述：实数的值为或. 故答案为：或. 四、解答题 12．（23-24高一上·甘肃威武·月考）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 (3)若的值域是，求的值 【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)1；(3)0. 【解析】（1）当时，， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 13．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，其中且． (1)求的值和函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，定义域为；(2)为奇函数，证明见解析；(3). 【解析】（1）由题设，可得， 又，故，则， 所以，即定义域为. （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知：定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数. （3）由，而在上递减，在定义域上递增， 所以在上递减，且， 故，有，结合定义域知：解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$