专题拓展：函数解析式的常见求法（技巧解密+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展 ：函数解析式的常见求法 1、直接代入法：已知函数的解析式，求的解析式常用此法，如已知，求时，有． 2、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 4、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 6、赋值法：在某些求函数解析式的问题中．通过给自变量赋予特殊值，展现内在联系或减少变量个数，从而解决问题，这种方法叫做赋值法．赋值法常用于求解抽象函数的解析式． 考点一：直接代入法求解析式 例1．（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，，，.故选：A 【变式1-1】（23-24高一上·全国·期中）设，则等于（    ） A． B．   C． D．   【答案】C 【解析】∵，∴ ，故选：C． 【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若，则下列等式中组成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则, 故即．故选：A． 【变式1-3】（22-23高一上·湖北·月考）已知函数，若，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，即.故选：A 考点二：待定系数法求解析式 例2.（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则= . 【答案】 【解析】因为是R上的减函数，所以设， 故， 所以，解得或， 又，得，所以. 故答案为： 【变式2-1】（22-23高一上·河南南阳·月考）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解析】设，则, 因为， 所以，解得， 所以，.故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知是二次函数且，，求. 【答案】 【解析】依题意，设，所以， 而， 所以， 由待定系数法可知，解得， 所以. 【变式2-3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数满足，且，. (1)求函数的解析式； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）设二次函数. 由，得图象的对称轴为， 所以，解得. 由得，，可得. 由得，，解得.所以. （2）， 当或时，，此时. 当时，，此时. 当或4时，，此时. 考点三：换元法求解析式 例3.（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知，则（    ） A．5 B．11 C．18 D．21 【答案】B 【解析】令，则， 所以， 即，所以，故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）若，，则等于（    ） A．1 B．2 C．15 D．30 【答案】C 【解析】方法一：因为，令， 所以，所以，所以， 方法二：因为， 令，所以，所以，故选：C. 【变式3-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以， 综上，.故选：B 【变式3-3】（22-23高一上·湖北鄂州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得. 所以， 因此的解析式为.故选：D. 考点四：配凑法求解析式 例4.（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数， 所以的解析式是.故选：B 【变式4-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，则故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·安徽阜阳·月考）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】，且， 所以，.故选：B. 【变式4-3】（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 所以，所以，即.故选：C. 考点五：方程组法求解析式 例5.（23-24高一上·新疆·月考）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【解析】因为①，所以②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为.故选：D. 【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得，故选：A． 【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 联立两个等式消去，得， 所以.故选：A 【变式5-3】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【解析】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 考点六：赋值法求解析式 例6.（23-24高一上·内蒙古·期中）写出一个满足：的函数解析式为 . 【答案】 【解析】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高一上·云南宣城·月考）已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】令，则 所以由可得 因为，所以 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）对任意实数x，y，函数都满足，则的解析式为 ． 【答案】 【解析】∵对任意实数x,y都成立, ∴令,得, 再令,得, ∴ 故答案为： 【变式6-3】（22-23高一上·安徽池州·月考）设函数满足，且对任意，都有，则= . 【答案】2021 【解析】令，得， 令得，即， 所以，所以， 故答案为：2021 一、单选题 1．（223-24高一上·广东佛山·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则则有， 所以函数的解析式为：.故选：D. 2．（23-24高一上·全国·月考）设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】设，其中，则， 所以，，解得或. 当时，，此时，合乎题意； 当时，，此时，不合乎题意. 综上所述，.故选：B. 3．（23-24高一上·江苏·专题练习）已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， ∵，，∴.故选：B. 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，∴，故选：A. 5．（23-24高一上·福建·期中）已知，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，在中， 设，即, ∴即， 在中，，开口向下，对称轴， ∴， ∴的值域是，故选：A. 6．（23-24高一上·重庆·月考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数，故选：A. 二、多选题 7．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设，则， 所以，解得或， 则或．故选：AD. 8．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，中令，则，A正确； 对于BCD，再令，则，即① 所以，即②， 又因为也符合上式，C正确； 联立①②，解得 ，D错误 ，B错误.故选：AC. 三、填空题 9．（23-24高一上·河南·月考）若满足，则 ． 【答案】 【解析】取得到；取得到，解得. 故答案为：. 10．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数.若恒成立，则 . 【答案】 【解析】函数，由， 得，化简整理得，解得. 故答案为： 11．（23-24高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令，得． 令，则，即，解得， 则不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是正比例函数，函数是反比例函数，且，. (1)求函数和； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）由题意，设，， 因为，，可得， 所以，. （2）当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为. 13．（23-24高一上·四川成都·期中）（1）是一次函数，且满足，求的解析式; （2）已知函数，求函数的解析式． （3）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）由已知是一次函数，设函数，， 则， 即， 即，解得， 所以； （2）由，则； （3）由已知①，，则②， 所以①②得，， 所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展 ：函数解析式的常见求法 1、直接代入法：已知函数的解析式，求的解析式常用此法，如已知，求时，有． 2、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 4、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 6、赋值法：在某些求函数解析式的问题中．通过给自变量赋予特殊值，展现内在联系或减少变量个数，从而解决问题，这种方法叫做赋值法．赋值法常用于求解抽象函数的解析式． 考点一：直接代入法求解析式 例1．（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·全国·期中）设，则等于（    ） A． B．   C． D．   【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若，则下列等式中组成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高一上·湖北·月考）已知函数，若，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点二：待定系数法求解析式 例2.（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则= . 【变式2-1】（22-23高一上·河南南阳·月考）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知是二次函数且，，求. 【变式2-3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数满足，且，. (1)求函数的解析式； (2)若，比较与的大小. 考点三：换元法求解析式 例3.（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知，则（    ） A．5 B．11 C．18 D．21 【变式3-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）若，，则等于（    ） A．1 B．2 C．15 D．30 【变式3-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一上·湖北鄂州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点四：配凑法求解析式 例4.（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·安徽阜阳·月考）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 考点五：方程组法求解析式 例5.（23-24高一上·新疆·月考）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 考点六：赋值法求解析式 例6.（23-24高一上·内蒙古·期中）写出一个满足：的函数解析式为 . 【变式6-1】（23-24高一上·云南宣城·月考）已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为 ． 【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）对任意实数x，y，函数都满足，则的解析式为 ． 【变式6-3】（22-23高一上·安徽池州·月考）设函数满足，且对任意，都有，则= . 一、单选题 1．（223-24高一上·广东佛山·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·月考）设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏·专题练习）已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建·期中）已知，则的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·月考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一上·河南·月考）若满足，则 ． 10．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数.若恒成立，则 . 11．（23-24高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是正比例函数，函数是反比例函数，且，. (1)求函数和； (2)求函数在上的最小值. 13．（23-24高一上·四川成都·期中）（1）是一次函数，且满足，求的解析式; （2）已知函数，求函数的解析式． （3）已知，求的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$